2014-02-15 10:20 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com>:
> Se x é um numero real,seja [x] o maior inteiro n tal que n < = x > Exemplos [pi] = 3 e [3] = 3 > Seja x - [x] = ´´parte decimal de x´´ > Eu desconfio que as ´´partes decimais´´ de (n.2^1/2)/2 e n.{1 - (2^1/2)/2} > somam 1. > Nao consigo justificar.Alguem ajuda? > > No capítulo 3 do Concrete Mathematics, tem vários truques legais pra trabalhar com isso. Para n par, sua conjectura é verdadeira (eu uso * p/ multiplicação): (n * 2^1/2)/2 + n * (1 - 2^1/2)/2 - [(n * 2^1/2)/2] - n * (1 - 2^1/2)/2 = n/2 - [(n * 2^1/2)/ 2 + [n(1 - 2^1/2) / 2] ] (a gente pode por inteiros dentro) = n/2 - [(n * 2^1/2)/2 + [n/2 - n*2^1/2 / 2] ] (n/2 é inteiro e sai) = - [(n * 2^1/2)/2 + [- n * (2^1/2) / 2 ] = - [(n * 2^1/2)/2 - ]n * (2^1/2) / 2[ ] (aqui usamos a função ]x[ = min{n inteiro | n >= x} e a propriedade [-x] = -]x[... a notação ficou um pouco confusa...) Como (n*2^1/2)/2 é irracional nós obtemos na expressão acima: - [ -0.abc... ] onde 0.abc é uma fração maior que 0. E isso se reduz ao valor 1. Fazendo operações similares pra n ímpar concluímos que: -1/2 - [ (n * 2^1/2)/2 - ](n * 2^1/2 + 1)/2[ ] (aqui eu usei o fato de que (n+1)/2 é inteiro e compensei de acordo) Esse valor não pode ser inteiro já que a expressão entre [ ] vai resultar em um número inteiro que será subtraído de -1/2. -- []'s Lucas -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.