Oi Ana
O T. Fundamental da Álgebra é corolário do seguinte teorema: Se f: C -> C é inteira e lim z -> oo f(z) = oo, então f apresenta um zero em C. Este teorema pode ser demonstrado com base na fórmula integral de Cauchy ou, o que me parece mais facil, com base no Teorema de Liouville, conforma citou o Carlos: Uma funcao inteira eh limitada se, e somente se, for constante (alias, o T. de Liouville eh consequencia da formula integral de Cauchy). Prova: Suponhamos que f, com as caracteristicas citadas, nao se anule em C e definamos g = 1/f. Entao, g é inteira e lim z -> oo f(z) = 0. Como g eh continua (pois é holomorfica em C), isto implica que seja limitada (pois tem limite finito quando z -> oo), seguindo-se, assim, do T. de Liouville, que g é constante. Em razao disto, para todo z de C temos que g(z) = lim z -> oo g(z) = 0. Deduzimos, assim, que g eh identicamente nula, o que contraria sua defincao como g = 1/f. Logo, f se anula em C. Se p for um polinomio, eh imediato que p eh inteira. Se p nao for constante (grau >= 1), entao o termo lider domina os demais quando |z| -> oo, sendo claro que lim z -> oo p(z) = oo. Em virtude do teorema geral que provamos, segue-se entao que p se anula em C, ficando assim provado que o corpo dos complexos eh algebricamente fechado. Aquela outra parte que alguns autores incluem no T. F. da Algebra, qual seja, p(z) = k (z - z1)...(z - z_n), sendo k um complexo nao nulo, n o grau do polinomio e os z_i as raizes, incluindo possiveis multiplicidades, eh de fato provado na algebra, consequencia direta do algoritmo de Briot/Ruffini. Eh de fato bem simples (desde que se conheca alguma analise complexa). Artur _________________________________________________________________ Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos do Messenger! http://www.amigosdomessenger.com.br/
