----- Original Message ----- From: "Tcheka Republica" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Tuesday, March 25, 2003 1:55 PM Subject: [obm-l] Questão IME 96
> > Essa é uma questão do IME do ano de 1996. > Gostaria que alguem ajudasse-me a resolve-la: > > Seja um octógono convexo. Supondo que quando todas as suas digonais são > traçadas, não há mais de duas diagonais se interceptando no mesmo ponto. > Quantos pontos de interseção (de diagonais) existem neste octógono ? > > > Obrigado pela ajuda. > Wander > > Caro Wander: O enunciado contém um erro, pois cada um dos 8 vértices do octógono é extremidade de 5 diagonais - assim, não é possível que apenas 2 diagonais se encontrem em cada ponto. No entanto, vamos supor que o problema peça o número de pontos de interseção de diagonais que não são vértices do octógono. Nesse caso, começamos calculando o número de diagonais de um octógono convexo - igual a 8*(8-3)/2 = 20. Se cada par de diagonais se encontra num ponto, teremos que o número de pontos de interseção será: C(20,2) = 20*19/2 = 190. No entanto, alguns desses pontos são justamente os vértices do octógono, onde 5 diagonais se encontram. Assim, em cada vértice existirão C(5,2) = 5*4/2 = 10 pares de diagonais se encontrando. Assim, devemos subtrair 8*C(5,2) = 80 do número que achamos anteriormente, o que dará um total de: 190 - 80 = 110 pontos de interseção de diagonais que não são vértices. Há um outro detalhe a se considerar: o problema pede o número de pontos de interseções de diagonais NO octógono. Isso pode significar duas coisas: i) o número de pontos NO PLANO do octógono, podendo algum ponto ser exterior ao octógono - nesse caso, vale a solução acima; ou ii) o número de pontos NO INTERIOR do octógono: Aqui, o raciocínio é um pouco diferente. Cada quatro vértices do octógono determinam um quadrilátero, o qual tem apenas duas diagonais (as quais são também diagonais do octógono) que se encontram num ponto, o qual é diferente para cada quadrilátero formado por vértices do octógono. Assim, cada quadrilátero determina um ponto de interseção e vice-versa. Além disso, cada 4 vértices determinam um quadrilátero e vice-versa. Segue-se que: número de pontos de interseção = número de quadriláteros = número de maneiras de se escolher 4 vértices dentre os 8 existentes = C(8,4) = 8*7*6*5/(4*3*2*1) = 70 pontos de interseção de diagonais INTERIORES ao octógono. Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================