De fato, se f for derivavel em uma vizinhanca de a, a gente pode usar o TVM
e obter:
f(a+g(x))-f(a+h(x)) / (g(x)-h(x))= f'(c(x))
para x suficientemente proximo de 0, onde c(x) eh algum numero entre a+g(x)
e a+h(x). Tomando x->0, tem-se g(x) e h(x)->0 e portanto c(x)->a. Se f'(x)
for continua em a, entao f'(c(x))->f'(a).
Isso inclui f polinomial e muitos outros casos tipicos. Por isso que o
contra-exemplo teve de ser tao chato.
Abraco, Ralph.
2014-06-28 22:43 GMT-03:00 Artur Costa Steiner <artur_stei...@yahoo.com>:
> Acho que sim. Uma forma um pouco diferente de provar a mesma coisa.
>
> Creio que, se L = 1 ou o limite em o de g/h não existir, cada caso tem que
> ser analisado individualmente. Eu analisei uns casos com L = 1, casos
> simples, porque para g e h complicadas pode ficar quase que intratável.
> Cheguei de fato a f'(a), mas não tenho nenhuma prova de que isto seja
> sempre verdade. Por exemplo, com f(x) = sen(x), g(x) = x, h (x) = e^x - 1 e
> a = 0, o limite g/h é 1 e o do quociente q é f'(a). Mas, claro, isso não
> prova nada que seja geral.
>
> Se f for polinomial, então o limite do quociente sempre será f'(a) para
> qualquer real a, mesmo que L = 1 ou que o limite de g/h não exista nos
> reais expandidos.
>
> Artur
>
> Enviado do Yahoo Mail para iPad
>
> ------------------------------
> * From: * Pacini Bores <pacini.bo...@globo.com>;
> * To: * <obm-l@mat.puc-rio.br>;
> * Subject: * [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Este limite é
> igual a f'(a) ?
> * Sent: * Sun, Jun 29, 2014 12:08:35 AM
>
> Será que eu poderia ver também o que o Artur concluiu, como abaixo?
>
> Para L diferente de 1?
>
> ( vou escrever sem o x, para facilitar).
>
> O limite pedido pode ser escrito como :
>
> lim{[ (f(a+g)-f(a))/g][g/h] - [( f(a+h)-f(a))/h]}/(g/h-1) = (f´(a).L -
> f´(a))(L-1)= f´(a).
>
>
> E para L=1, ficaríamos ainda sem condições de levantar o símbolo de
> indeterminação oo/oo.
>
> Abraços
>
> Pacini
>
>
>
> Em 26 de junho de 2014 15:50, Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com> escreveu:
>
>> Pois é. Em espírito, a minha ideia foi tomar a+g(x) MUITO PERTO de
>> a+h(x), de forma que aquele quociente está muito mais para f'(a+g(x))
>> (ou f´(a+h(x)), sei lá, eles estão MUUUITO PERTO um do outro) do que
>> para f'(a). Como o Artur disse, é importante no exemplo que g(x)~h(x)
>> (MUUUUUUUUUUUITO PERTO), o que fica bem traduzido por lim g/h=1.
>>
>> Enfim, se f´(x) não for contínua, f'(a+g(x)) não precisa se aproximar
>> de f'(a) quando g(x) vai para 0, e daí vem o problema todo -- minha
>> função não é C1.
>>
>> 2014-06-26 15:08 GMT-03:00 Artur Costa Steiner <steinerar...@gmail.com>:
>> > Se lim (x --> 0) g(x)/h(x) = L <> 1 no sistema dos reais expandidos,
>> então a
>> > resposta é sim.
>> >
>> > Utilizando a notação o, a diferenciabilidade de f em a implica que, para
>> > todo h tal que a + x permaneça no domínio de f, tenhamos
>> >
>> > f(a + h) = f(a) + f'(a) h + o(h), sendo o uma função contínua em 0 tal
>> que
>> > o(0) = 0 e tal que o(h)/h --> 0 quando h --> 0. Com isto, o seu
>> quociente
>> > de Newton generalizado q torna-se
>> >
>> > q(x) = (f(a) + f'(a) g(x) + o(g(x)) - (f(a) + f'(a) h(x) +
>> o(h(x)))/(g(x) -
>> > h(x)) =
>> >
>> > f'(a) + (o(g(x) - o(h(x))/(g(x) - h(x))
>> >
>> > Suponhamos que lim ( x --> 0) g(x)/h(x) = L em R, diferente de 1. Então,
>> > existe uma vizinhança deletada de 0 na qual h não se anula e, dividindo
>> o
>> > numerador e o denominador por h(x), seu quociente de Newton generalizado
>> > pode então ser escrito como
>> >
>> > q(x) = f'(a) + (o(g(x))/g(x) g(x)/h(x) - o(h(x)/h(x))/(g(x)/h(x) - 1)
>> >
>> > Assim,
>> >
>> > lim ( x --> 0) q(x) = f'(a) + (0 . L - 0)/(L - 1) = f'(a) + 0 = f'(a)
>> >
>> > Bateu!!!!!!
>> >
>> > Se L = + ou - oo, então lim (x -->0) g(x)/h(x) = 0. Divindindo agora em
>> cima
>> > e em baixo por g(x), que não se anula em uma vizinhança deletada de 0,
>> um
>> > raciocínio similar ao anterior mostra que bate de novo com f'(a).
>> >
>> > Mas pode acontecer que L = 1 ou que, quando x --> 0, não exista lim
>> > g(x)/h(x). E agora, José?
>> >
>> > Eu fiz uns testes com L = 1 e bateu, mas não sei se é sempre verdade
>> não. O
>> > raciocínio acima não serve para L = 1, pois o denominador tende a 0. E
>> se o
>> > limite de g(x)/h(x) não existir em 0, a coisa parece ainda mas
>> complicada.
>> > Como o Ralph esquematizou, acho que nestes casos pode dar qualquer
>> coisa. O
>> > limite de q pode ser f'(a) como outro valor, como pode nem existir.
>> >
>> > Abraços
>> >
>> > Artur
>> >
>> >
>> >
>> > Em terça-feira, 24 de junho de 2014, Merryl <sc...@hotmail.com>
>> escreveu:
>> >>
>> >> Boa noite, amigos. Gostaria de ajuda com isto,
>> >>
>> >> Seja f uma função de R em R, diferenciável em a. Sejam g e h funções
>> >> contínuas em 0 tais que g(0) = h(0) = 0. Suponhamos que exista uma
>> >> vizinhança deletada de 0 na qual g - h não se anule. Então, é verdade
>> que
>> >>
>> >> lim (x --> 0) [f(a + g(x)) - f(a + h(x))]/[g(x) - h(x)] = f'(a) ?
>> >>
>> >> Não tenho certeza. Este limite tem que existir? Se existir, é de fato
>> >> f'(a)?
>> >>
>> >> Obrigada
>> >>
>> >> Amanda
>> >>
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>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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