30 p/ mim, 20 p/ voce, e nao se fala mais nisso. ;) ;) ;) 2012/8/29 <bousk...@gmail.com>
> Nananinanão!!!**** > > ** ** > > Eu resolvi primeiro! Mandei ver Catalan e pronto! Reconheço que é tiro de > canhão pra matar mosca, mas as 50 pratas são minhas!**** > > ** ** > > Ralph, não me leve a mal, é que eu tô precisando dessa grana, pô!**** > > ** ** > > *Albert Bouskela* > > bousk...@gmail.com**** > > ** ** > > *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em > nome de *Ralph Teixeira > *Enviada em:* quarta-feira, 29 de agosto de 2012 10:34 > *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br > *Assunto:* [obm-l] Fwd: [obm-l] Solução única**** > > ** ** > > Nao sei porque esta mensagem nao apareceu na lista.... Estou tentando de > novo, para ver se ganho os R$50.**** > > ---------- Forwarded message ---------- > From: *Ralph Teixeira* <ralp...@gmail.com> > Date: 2012/8/28 > Subject: Re: [obm-l] Solução única > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > **** > > Hmmm.... Veja se voce conhece este fato:**** > > **** > > FATO: f(x)=(1+r/x)^x eh uma funcao crescente (para x>=1) que tende para > e^r quando x->+Inf. Ou seja, (1+r/x)^x < e^r sempre que x>=1.**** > > **** > > Agora sim!**** > > **** > > i) Nao ha solucao com b>a>=3. De fato, escrevendo b=a+r, vem:**** > > **** > > a^b-b^a = a^a.(a^r-(1+r/a)^a) > a^a.(a^r-e^r) > a^a.(a-e) > 3^3.(0.2) > 1* > *** > > **** > > onde usei que r>=1 para sumir com r (note que > (a^r-e^r)=(a-e)(a^(r-1)+a^(r-2)+...+e^(r-1)) e este termo imenso eh >=1), e > que a>=3 e que e=2.781828... no finzinho. **** > > **** > > ii) Nao ha solucao com 3<=b<a. De fato, escrevendo a=b+r, vem:**** > > **** > > a^b-b^a = b^b.((1+r/b)^b-b^r) < b^b.(e^r-b^r) < 0 pois b>e e r>=1.**** > > **** > > Como obviamente tambem nao ha solucao com a=b, as unicas possiveis > solucoes tem pelo menos um dos numeros menores do que 3. Agora eh soh > analisar os casos a=1, a=2, b=1 e b=2:**** > > **** > > -- Se a=1 entao 1-b=1, nao presta.**** > > -- Se a=2, entao 2^b-b^2=1, isto eh, 2^b=b^2+1. Entao b eh impar, digamos, > b=2k+1, entao 2^b=4k^2+4k+2 nao eh divisivel por 4, entao b=1. De fato > (a,b)=(2,1) serve.**** > > -- Se b=1, entao a-1=1, isto eh, a=2, o que jah vimos acima.**** > > -- Se b=2, entao a^2-2^a=1, isto eh, 2^a=a^2-1=(a+1)(a-1). Entao ambos a-1 > e a+1 tem que ser potencias de 2 (cuja diferenca eh 2!), ou seja, a-1=2 e > a+1=4. Assim, a=3.**** > > **** > > Cade meus 50 reais? ;)**** > > **** > > Abraco,**** > > Ralph**** > > **** > > 2012/8/28 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com>**** > > Meu amigo me passou um desafio anteontem, falou que se eu resolvesse até > ontem a meia-noite, ele me dava 50 reais. > Acontece que por mais insistente que eu tenha sido não saiu muita coisa :) > > A aposta já acabou e ele também não sabe a resolução, e eu quero muito > saber como se resolve isso! > Se alguém puder me dar uma ajuda eu agradeço > > Prove que a^b - b^a = 1 admite única e exclusivamente a solução (3, 2), > para a e b naturais maiores de 0. > > > []'s > João > **** > > ** ** > > ** ** >
