Pois é, a gente perde os amigos mas não perde as piadas... Foi mal. O
fato é que eu não sei fazer o problema não (exceto "de cabeça" como eu
fiz).
Agora, um problema mais clássico é o seguinte: seja S a soma dos
algarismos de 50^50. A soma dos algarismos de S é T, e a soma dos
algarismos de T é U. Calcule U.
Não seria este o enunciado? Este eu sei fazer sem ser "de cabeça".
Afinal, como o Salhab disse, basta olhar para 5^50. Agora preciso de
uma estimativa do número de algarismos de 5^50. Se eu não tiver log5
(base 10) na mão, eu faço assim:
a) Decorei que 2^10=1024>10^3 (é bom para estimar potências de 2)
Então: 5^10=(10^10)/(2^10)<10^7
Elevo à quinta: 5^50<10^35,
Isto é, 5^50 tem, no máximo, 35 algarismos. Assim, S é no máximo
9*35=315. A soma dos algarismos de S seria, no máximo, 2+9+9=20. Em
outras palavras, T<=20.
b) Agora, 5^3 = 125 deixa resto 8 (ou -1 se você for mais liberal) na
divisão por 9;
assim, 5^6 deixa resto 8^2=64 oops-quero-dizer 1 na divisão por 9.
Então 5^48 deixa resto 1 na divisão por 9
e enfim 5^50 deixa resto 5^2=25 oops-quero-dizer 7 na divisão por 9.
c) Como a soma dos algarismos de um número deixa o mesmo resto que o
próprio número na divisão por 9, tanto S como T deixam resto 7 na
divisão por 9. Então T só pode ser 7 ou 16 (25 já é demais, pois vimos
que T<=20).
d) Se T=7 então U=7; se T=16 então U=7. Resposta: U=7.
Abraço,
Ralph
P.S.: "De cabeça", eu sei que
5^50=88817841970012523233890533447265625, então S=151 e T=7.
P.S.2: "Cabeça" = "Meu Desktop". :) ;) :) ;)
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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