Olá Ricardo e demais participantes desta discussão! Considere o conjunto de todas as permutações de (1234): (1243), (3214), ... cada permutação dessas pode ser representada com uma bijeção f:{1,2,3,4}->{1,2,3,4}. Por exemplo, em (1243) a função seria f(1)=1, f(2)=2, f(3)=4, f(4)=3. Pode-se pensar, então, em construir uma operação com as permutações, através da composição de funções. Vou dar um exemplo
(1243) é representado por f(1)=1, f(2)=2, f(3)=4, f(4)=3 (3214) é representado por g(1)=3, g(2)=2, g(3)=1, g(4)=4 (1243) * (3241) é representado pela composta h = f o g, h(1)=4, h(2)=2, h(3)=1, h(4)=3 portanto (1243) * (3241) = (4213) Das operações tradicionais com funções, se conclui que "*" é associativa a*(b*c)=(a*b)*c, não é em geral comutativa, se considerarmos identidade = i = (1234) temos a * i = i * a = a para todo a e toda permutação tem uma inversa a^(-1) tal que a * a^(-1) = a^(-1) * a = i. Vamos definir uma função N:permutações->naturais que conta numa determinada permutação p, quantos são os pares de números da esquerda para a direita na permutação estão com o primeiro elemento maior. Em (1234) temos cada par na ordem certa, portanto N(1234)=0. Em (3241), temos os pares (32), (31), (21), (41) com o primeiro elemento maior portanto N(3241)=4. Agora temos um resultado que é simples LEMA. Cada vez que trocamos dois números de posição numa permutação p e obtemos uma nova permutação p', o número N(p)-N(p') é ímpar. (por exemplo, de p=(1234) com N(p) = 0 substituinto 1 e 3, obtemos p'=(3214) com N(p')=3) Com base neste lema fazemos a seguinte definição, que é consistente DEFINIÇÃO. Dizemos que uma permutação p é PAR (ÍMPAR) se a quantidade de trocas que se precisa fazer com seus elementos para se chegar à i = identidade é PAR (ÍMPAR). Ou o que é no mesmo, p é PAR (ÍMPAR) se N(p) é um número PAR (ÍMPAR). O sgn(p) = 1 se p é PAR e -1 se p é ÍMPAR. Pode-se mostrar que para cada permutação p, existe uma matriz M (reordenação das colunas da identidade) que seu efeito sobre um vetor da base canônica é o mesmo que de p sobre o seu índice M(e_i) = e_(f(i)) onde f é a função associada a p, e que det(M) = sgn(p). A composição de matrizes se relaciona com a composição de funções, e daí sgn(a*b)=sgn(a)*sgn(b). Espero ter ajudado! Eduardo. From: RICARDO CHAVES Esse tal de signum da permutaçao e voce fazer o produtorio >From: [EMAIL PROTECTED] >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Determinantes e Permutações pares e ímpares >Date: Wed, 5 Feb 2003 07:10:34 -0400 > > > "Cláudio \(Prática\)" > > ora.com.br> cc: > Enviado Por: Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Determinantes e Permutações > [EMAIL PROTECTED] pares e ímpares > .puc-rio.br > > > 04/02/2003 06:12 > Favor responder a > obm-l > > > > > > > > > Querido Cláudio, > > > > Obrigado! Com sinceridade, obrigado! O conhecimento real, presente, é > > o que possuímos, fora isto, estamos no passado. Por isso, agradeço sua > > colaboração, com a qual atualizo-me e avanço. > > Cláudio, não sei a definição de permutações pares e ímpares, não sei > > quando o sinal ? sgn(p) - será positivo ou negativo. > > Desta forma, gostaria de receber mais de suas belas explicações. > > Desde já, muito grato, João Carlos. > O signum e uma especie de produtorio com uns termos do tipo p(x)-p(y)/x-y . > > >Caro João Carlos: > >A fórmula geral para o determinante de uma matriz A (n x n) é a seguinte: > >det(A) = SOMATÓRIO sgn(p) * A(1,p(1)) * A(2,p(2)) * ... * A(n,p(n)) > p em Sn > >onde A(i,j) é o elemento da linha i e coluna j, sgn(p) = sinal da >permutação >"p" (+1 se p é par, -1 se p >é ímopar) e onde a soma é tomada sobre cada permutação p dos números 1, 2, >..., n (o conjunto de todas estas permutações é comumente denominado Sn) >ou >seja, é uma soma de n! termos, cada um deles igual ao produto de n >elementos >da matriz. > >Assim, para n >= 4 esta fórmula, apesar de correta (é, de fato, a definição >de determinante) é muito trabalhosa de se aplicar. No entanto, existem >alguns teoremas sobre determinantes - tais como expansão de Laplace ou >sobre >o efeito de operações elementares com linhas e colunas - que permitem que >você reduza o problema ao cálculo de determinantes de ordem menor. > >O que deve estar acontecendo é que, com n >= 4, o número de termos é >= 24 >e >talvez você esteja esquecendo algum termo ou trocando algum sinal. > >Espero que isso ajude. > >Um abraço, >Claudio. > > >----- Original Message ----- >From: >To: >Sent: Monday, February 03, 2003 4:08 PM >Subject: [obm-l] Determinantes e Permutações pares e ímpares > > >No volume 3, A Matemática do Ensino Médio da SBM, p. 137, há regra de >cálculo determinantes por meio de permutações pares e ímpares. Porém, não >estou conseguindo aplicá-la para matrizes quadradas de ordem maior ou igual >a 4. Expliquem-me. > > > ATT. João Carlos > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= > > > > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é >========================================================================= MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. 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