On Mon, Oct 15, 2018 at 8:07 AM Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com> wrote: > > Derivando e igualando a zero o lado esquerdo da sua equação, ficamos com: > -2*cos(x)*sen(x) + sen(x) = 0 ==> > sen(x) = 0 ou cos(x) = 1/2 ==> > x = 0 ou x = pi ou x = 2pi > ou x = pi/3 ou x = 5pi/3. > > Assim, uma definição que me parece adequado para equações em geral (e não > necessariamente polinomiais) da forma f(x) = 0 é que uma raiz de > multiplicidade n é raiz de f, f’, ... , f^(n-1) mas não é raiz de f^(n). > > Naturalmente, se f não tiver todas as derivadas, precisaremos achar uma > definição diferente. Mas talvez, neste caso, nem faça sentido falar em > multiplicidade de uma raiz.
Essa definição funciona relativamente bem se f é analítica, porque o comportamento local é determinado por inteiros. Se f for apenas diferenciável, talvez seja complicado dizer algo, como o exemplo clássico de exp(-1/x^2). A raiz tem multiplicidade infinita? Enfim, existem, como você falou, boas razões para incorporar multiplicidade (por exemplo estabilidade numérica), mas isso em geral só faz sentido no mundo analítico, onde a noção de "grau" é dada pelas derivadas. Acho que mesmo no mundo C-infinito já pode haver problemas, mas não sou especialista (nessas :D) patologias. A questão original, incluindo multiplicidades, pode ser resolvida simplesmente usando as relações de Girard, que dependem de forma simples da equação. Vou tentar dar um exemplo que ilustra meu ponto de vista: qual o produto das raízes da equação x^2 - 4x + c? "Qualquer um" dirá "c". Mas, naturalmente, se c = 4, a única solução é x=2, e portanto (sem usar multiplicidades) este produto seria apenas 2. E daí a fórmula fica muito mais complicada, com um caso especial, e descontínua. A grande sacada do Girard foi, justamente, propor incorporar as multiplicidades, para simplificar as fórmulas (além, é claro, de incluir também as soluções negativas, antes consideradas como "absurdas" - este foi, provavelmente, o maior motivo de as pessoas considerarem raízes negativas como algo que fazia sentido, e portanto os números negativos também). Mas isso não quer dizer que a equação x^2 - 4x + 4 tenha duas soluções. É apenas uma forma mais conveniente de interpretar as raízes quando se pensam nas relações de Girard (e várias outras fórmulas). Neste sentido, acho que este tipo de questão mais atrapalha (porque "era só para usar a fórmula") - a menos que, justamente, se discuta *porque* falamos de multiplicidade: para que as fórmulas fiquem mais simples (e você pode incluir "bonitas" também, por minha conta). Nada mais. E esta "simplificação" do entendimento através da simplificação das fórmulas não se justifica sempre: este mesmo debate sobre multiplicidades leva a considerar objetos no infinito (para que todas as retas se intersectem sempre em um ponto), complexos (para x^2 + 1 = 0 ter raiz), etc. Muitas vezes, é útil ter esse entendimento unificado, onde tudo "só depende do grau". Mas será mesmo que se eu perguntar para você "em quantos pontos a reta x=3 corta a parábola y=x^2?" você vai dizer "2, é óbvio"? Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
