ok On Sun, Nov 10, 2019 at 1:26 PM Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com> wrote:
> Aproveito para repassar o email do Luís, com as correções que ele > efetuou sobre meu rascunho e, mais importante, a motivação do > problema. > > On Wed, Nov 6, 2019 at 8:42 PM Luís Lopes <qed_te...@hotmail.com> wrote: > > > > Sauda,c~oes, oi Bernardo, > > > > Alguns comentários preliminares: > > > > 1) obrigado ao Bernardo pelo tempo e paciência. Não é a primeira vez. > > > > 2) x em p(x) representa o comprimento do lado <a> na resolução algébrica > do > > problema "construir ΔABC dados <a+b,h_a,m_b> ou <s,h,m>". > > > > A construção geométrica é interessante e admite duas soluções > (triângulos). > > Mas apareceram dois outros triângulos estranhos (o lado <a> é negativo) e > > então algebricamente um polinômio de grau 4 vai aparecer. Daí o > surgimento > > e interesse em p(x). > > Uma pergunta: se existe uma construção geométrica para duas raízes > (pelo menos no caso em que há solução), isso não implica que deve > haver uma fatoração construtível deste polinômio? Não sou > especialmente versado em construtibilidade, mas como já haverá um > fator q(x) construtível de grau 2, a divisão p(x)/q(x) também será, e > o quociente tendo grau 2 também implica que as raízes são > construtíveis. Claro que pode ser mais interessante fatorar antes de > construir as raízes, mas se for o único caminho para obter as 2 > outras... > > > 3) análise de p(x) mostra que não adianta procurar por mais de duas > soluções, > > ou seja, o problema admite 0, 1 ou 2 soluções. > > > > 4) com dados construtíveis, as raízes de p(x) são construtíveis também, > ou seja, > > p(x) admite soluções com \sqrt{} somente. > > > > 5) p(x) é fatorável como produto de dois polinômios quadráticos. > > > > 6) a cúbica resolvente de p(x) possui sempre uma raiz racional. > > > > Fim dos comentários. > > > > No teste > > > > 3) h=4sqrt(3); m=(3/2)sqrt(3); s=13 > > já sabemos que as raízes serão complexas pois h>2m. A fatoração > anuncia-se > > complicada. > > > > p(x) = 9x^4 + 156x^3 + 160x^2 - 7384x + 20164 = (Ax^2 + Bx + C)(Dx^2 + > Ex + F) > > > > só consegui fazendo A=3 e em seguida resolvendo o sistema que surge > igualando > > os outros coeficientes. B,D=3,E são camaradas. C,F assustadores: > > > > B = 26 - sqrt(2 (511 + sqrt(317905))) > > C = 1/78 (6578 + 26 sqrt(317905) - sqrt(2) (511 + sqrt(317905))^(3/2) + > 684 sqrt(2 (511 + sqrt(317905)))) > > E = 26 + sqrt(2 (511 + sqrt(317905))) > > F = 1/78 (6578 + 26 sqrt(317905) + sqrt(2) (511 + sqrt(317905))^(3/2) - > 684 sqrt(2 (511 + sqrt(317905)))) > > > > E estes valores não são únicos. Se numericamente foi trabalhoso > simbolicamente seria > > ainda mais. > > De fato! Volto aqui a fazer propaganda do python: a biblioteca sympy > tem uma boa coleção de algoritmos para manipulações simbólicas (sendo > útil inclusive para gabaritar provas de Cálculo I ;-)), com código > aberto, e várias pérolas da matemática até "contemporânea", como um > algoritmo de cálculo de limites com garantia de terminação finita para > uma classe relativamente grandes de expressões. > > > >Juntando tudo, temos (3x^2 + uE + uY)(3x^2 + E + Y/u) = seu polinômio, > e temos ("de fato") > > >apenas uma incógnita. > > Aqui teve um typo: (3x^2 + uEx + uY)(3x^2 + Ex + Y/u) > > Isso, obrigado! > > > Daqui pra baixo me perdi. > > Mas adivinhou o caminho ;-) > > > >Aí eu pedi para o computador calcular as raízes E do polinômio (de > > >quarto grau) que fica determinado pela equação do termo x^2. > > Que polinômio é esse ? > > 3Y/u + uE^2 + 3uY com (u + 1)E = 4s e aparece um E^4. É isso ? > > Isso, porque u = 4s/E - 1, e 1/u vai dar um termo com (4s - E) no > denominador, daí ao eliminar ambos o E^2 vai ter dois fatores com E a > mais. > > > >Deu o seguinte: > > > > 2*s +/- 2*sqrt(2)*sqrt(-h**2 + m**2 + s**2 +/- sqrt(h**4 - 2*h**2*m**2 > > - h**2*s**2 + m**4 - 2*m**2*s**2 + s**4)) > > > > Se você chamar T = m^2 + s^2 - h^2, dá para ficar mais bonitinho: > > > > 2s +/- 2sqrt(2)*sqrt(T +/- sqrt(T^2 - 4 m^2 s^2)) > > > > > São quatro valores. Posso pegar qq um ? Digamos > > E_1 = 2s + 2sqrt(2)*sqrt(T + sqrt(T^2 - 4 m^2 s^2)). Aí acho u_1 = > 4s/E_1 - 1. > > > > E encontro p(x) = (3x^2 + u_1E_1x + u_1Y)(3x^2 + E_1x + Y/u_1). > > Seria isso ? > > Acho que pode pegar o que você quiser sim, a fatoração deveria ser "a > mesma" (as raízes conjugadas vêm juntas, então ao conjugar o E_1 em > E_j deveria aparecer a raiz conjugada junto e, a menos de permutação, > seria igual). Talvez precise de um pouco mais de formalização neste > argumento (quando justamente as raízes não forem conjugadas complexas) > mas acho que dá certo. > > > Abraços, > > Luís > > Grande abraço, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.