Ok eu tentei assim. .
Suponha que $f(0) = g(0) = 0$, que o período de $f$ é $1$ e que o período
de $g$ é um numero $a$ irracional. Seja $b$ o período de $f+g$. Tome um $x$
real qualquer. Voce consegue provar que existe um n inteiro tal que $x +
nb$ está perto de um inteiro e simultaneamente perto de $ma$ para algum $m$
inteiro (tome um $n_0$ tal que x + n_0b dista $epsilon$ de um inteiro,
depois tome o conjuntos dos $n$ inteiros tais que $nb$ dista no maximo
epsilon de um inteiro, dentre estes $n$ voce usa um principio da casa e dos
pombos dividindo a reta em $a/epsilon$ partes para mostrar que há dois
deles que estão na mesma parte (modulo a)...subtraindo você encontra n_1
tal que $n_1b dista no máximo $\epsilon$ (modulo a). Agora voce considera
os multiplos de $n_1b$, da forma $k n_1 b$ até chegar no $k$ conveniente
que te dê $x + k n_1b$ perto (digamos por 2epsilon) modulo $a$.
Ao final você acabará provando que f+g(x) = 0 (usando a continuidade...) e
isso te dará o absurdo.
Em 18 de janeiro de 2013 21:22, Artur Costa Steiner
<steinerar...@gmail.com>escreveu:
> Obrigado Pedro. Eu me perdi naquela parte da sequência ser densa. Mas, com
> base, na sua idéia, acho que podemos também seguir o seguinte raciocínio.
>
> No caso de r ser múltiplo racional de p. Conforme mostrado, para todo x,
> g(x + T) = g(x). Isto implica que T = mp seja período de g. Logo, mp é
> múltiplo inteiro de seu período fundamental q. Assim, mp = kq para algum
> inteiro positivo k, do que deduzimos que p/q = k/m é racional. Logo, temos
> uma contradição.
>
> No caso de r/p e r/q serem irracionais. Aqui eu me perdi, vou analisar
> mais.
>
> Abraços
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em 18/01/2013, às 19:26, Pedro Angelo <pedro.fon...@gmail.com> escreveu:
>
> > Vamos lá..
> >
> > Imagine que f é periódica de perÃodo fundamental p, e g é periódica
> de
> > perÃodo fundamental q, com p/q irracional, e suponha por absurdo que
> > h=f+g é periódica de perÃodo r. Então r não pode ser ao mesmo tempo
> > múltiplo racional de p e de q. Suponhamos que r não é multiplo inteiro
> > de q, ou seja, r/q é irracional.
> >
> > Digamos que r é múltiplo racional de p, ou seja, existem números
> > inteiros n e m não nulos com nr=mp=T. Então f(x+T)=f(x) e h(x+T)=h(x)
> > para todo x. Portanto a diferença h-f=g entre eles também satisfaz a
> > mesma equação: g(x+T)=g(x) para todo x. Além disso, podemos aumentar
> > quantos perÃodos T quisermos: g(x+kT)=g(x) para todo k inteiro e todo
> > x real. É fácil ver onde isso vai chegar: g(x) é constante num
> > conjunto denso, e por ser contÃnua, é constante, o que é absurdo pela
> > suposição que você fez.
> >
> > Digamos então que ambos r/p e r/q são irracionais. Nesse caso, temos
> > h(x+kr)=h(x) para todo x. Portanto, f(x)+g(x) = f(x+r) + g(x+r) =
> > f(x+2r) + g(x+2r) = etc = h(x). Podemos fixar um x r substituir a
> > sequência x+kr por uma sequência a_k contida num perÃodo de f, de
> > maneira que f(x+kr)=f(a_k), e fazer o mesmo para g, obtendo
> > g(x+kr)=g(b_k). Dados quaisquer dois elementos a e b, a dentro do
> > perÃodo de f onde a_k é denso, e b dentro do perÃodo de g onde b_k é
> > denso, podemos construir duas subequencias. Uma delas, a'_k, é
> > subsequência de a_k convergindo para a, e a outra é uma subsequência
> > b'_k de b_k usando somente os Ãndices usados em a'_k. (temos que
> > corrigir a'_k para usar somente os Ãndices usados na construção de
> > b'_k). Agora, olhamos para o limite quando k vai para infinito de
> > f(a'_k)+g(b'_k). Por um lado, essa expressão é igual a h(x) para todo
> > k. Por outro, f(a'_k) tende para f(a) e g(b'_k) tende para g(b) (já
> > que f e g são contÃnuas). Portanto, para quaisquer a e b,
> > f(a)+g(b)=h(x), ou seja, ambas f e g são constantes! Absurdo!
> >
> > Foi difÃcil mas saiu : ) tá um bocado confuso, mas espero que dê pra
> > entender. Se alguém tiver uma solução mais simples, eu adoraria ver.
> >
> > 2013/1/18 Artur Costa Steiner <steinerar...@gmail.com>:
> >> Eu estou querendo provar isto, mas ainda não cheguei lá não.
> >>
> >> Sejam f e g funções de R em R contÃnuas, periódicas e não
> constantes. Então, f + g é periódica se, e somente se, a relação entre
> os perÃodos mÃnimos de f e de g for racional.
> >>
> >> A parte se é fácil de mostrar. Para a recÃproca, observei que, sendo
> p e q os perÃodos mÃnimos de f e de g, então conjunto A = {mp - qn, me e
> n inteiros positivos} , é denso em R. Para todo x, há uma sequênvia em A
> que converge para x, e isso acaba nos mostrando que
> >>
> >> lim k --> oo, k inteiro, f(-n_k q) + g(m_k p) = f(x) + g(x)
> >>
> >> Mas disto não se conclui que f + g não é periódica.
> >>
> >> Abraços
> >>
> >> Artur Costa Steiner
> >>
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> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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