Estou com o Luiz. Sejam ABC o triangulo, M o medio de BC, e X o tal circulo inscrito. Suponha spdg que o ponto de tangencia de X com BC estah em BM. Sejam P e Q os pontos onde o circulo corta a mediana AM.
Como AP=PQ=MQ=x, temos: Pot(A,X)=2x^2=Pot(M,X) Agora olhe para as tangentes saindo de A e de M: 2x^2=(p-a)^2=(p-c-a/2)^2 p-a=p-c-a/2 a=2c Agora, pela Lei das Medianas: c^2+b^2-2(3x)^2=a^2/2 Botando a=2c e 2x^2=(p-a)^2=((b-c)/2)^2, vem c^2+b^2-9(b-c)^2/4=2c^2 Daqui sai b=2.6c ou b=c. A solucao b=c nao presta (triangulo c,c,2c degenerado). Entao o triangulo tem lados c,2c e 2.6c, ou seja, eh o triangulo 5,10,13, com alguma semelhanca. Como este aqui tem area S=raiz(p(p-a)(p-b)(p-c))=raiz(14.9.4.1)=6raiz(14), eu dei sorte e achei os lados: 5, 10 e 13. Abraco, Ralph. P.S.: Se eu nao tivesse dado sorte, usaria uma razao de semelhanca k para modificar os lados de maneira a chegar aa area pedida. 2009/7/27 luiz silva <luizfelipec...@yahoo.com.br>: > Ola Carlos, > > Não conhecia. > > Aparentemente, o que vou descrever gera a uma solução (não fiz as contas) : > se usarmos potência, conseguiremos determinar os lados do triângulo em > função de duas variáveis a e b. Após isso, pode-se expressar a mediana em > função de uma destas variáváveis (novamente, através da potência de um > ponto) e, através da fórmula da mediana, podemos encontrar a em função de b > ou b em função de a. Assim, teremos os lados expressos através de uma única > variável. > > Podemos agora usar a fórmula da área com o perímetro, para achar o valor da > variável que aparece nas expressões representando os lados e, assim, > determinar os lados do triângulo. > > Particularmente, achei essa possível solução muito "braçal"..por isso não > fiz as contas...sendo assim, com certeza deve haver uma soluão mais > elegante. > > Abs > Felipe > > --- Em dom, 26/7/09, Carlos Gomes <cgomes...@uol.com.br> escreveu: > > De: Carlos Gomes <cgomes...@uol.com.br> > Assunto: [obm-l] Triângulo e mediana > Para: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br> > Data: Domingo, 26 de Julho de 2009, 23:57 > > Olá gente...alguém conhece essa? > > O Circulo inscrito no triângulo ABC divide mediana traçada de A em três > segmentos de mesma medida. Se a área de ABC é 6.Raiz(14). Calcule as medidas > dos lados desse triângulo. > > valew, cgomes > > ________________________________ > Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - > Celebridades - Música - Esportes ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
