Tem um outro produtório trigonométrico que também é interessante, onde os argumentos estão em PA e não em PG:
Pondo x = Pi/(2m), com m natural, calcular sen(x)*sen(2x)*...*sen((m-1)*x) E também, pondo y = Pi/(2m+1), calcular sen(y)*sen(2y)*...*sen(my). Idem para cossenos (com x e com y). *** E, aproveitando a definição de y acima, aqui vão duas somas trigonométricas a partir das quais dá pra demonstrar que 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... converge para Pi^2/6. cot^2(y) + cot^2(2y) + ... + cot^2(my) e csc^2(y) + csc^2(2y) + ... + csc^2(my). A fonte disso tudo é o livro The USSR Olympiad Problem Book, de D.O.Shklarsky, N.N.Chentzov e I.M.Yaglom - editora Dover. https://www.amazon.com/USSR-Olympiad-Problem-Book-Mathematics/dp/0486277097/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1532443620&sr=1-1&keywords=the+ussr+olympiad+problem+book São os problemas 230 e 231 do livro. []s, Claudio. 2018-07-24 11:14 GMT-03:00 Rodrigo Renji <rodrigo.uff.m...@gmail.com>: > > Olá! o pessoal postou várias soluções, mas motivado pelo seu email acabei > escrevendo de um outro modo e colocando num blog, se quiser dar uma olhada, > tem um material extra de produtórios para download também > > Link > https://matematicapurafm.blogspot.com/2018/07/produtos- > envolvendo-funcoes.html > > > <https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=webmail> > Livre > de vírus. www.avast.com > <https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=webmail>. > <#m_-1341014617474966322_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2> > > Em 23 de julho de 2018 18:34, Kevin Felipe Kuhl Oliveira < > kevin_k...@usp.br> escreveu: > >> Veja se concorda com o seguinte raciocínio: >> >> sen(x) = 2*cos(x/2)*sen(x/2) = 2*cos*(x/2)*(2 cos(x/4)*sen(x/4)) >> >> Então, teremos (pode-se provar por indução): >> sen(x) = 2^(n)*cos (x/2)*cos(x/4)*cos(x/8)*cos(x/16)*….*cos >> (x/2^n)*sen(x/2^(n)) >> >> Dividindo ambos os lados da igualdade por x: >> >> (sen(x))/x = >> 2^(n)*cos(x/2)*cos(x/4)*cos(x/8)*cos(x/16)*….*cos(x/2^(n))*sen(x/2^(n))/x >> = >> =cos(x/2)*cos(x/4)*cos(x/8)*cos(x/16)*….*cos(x/2^(n))*[sen( >> x/2^(n))/(x/2ˆ(n))] >> >> Quando n tende a infinito, sen(x/2^(n))/(x/2ˆ(n)) tende a 1. >> >> Assim, prova-se a igualdade do problema cos(x/2). cos(x/4).cos(x/8)... >> = (sen(x))/x. >> >> Att. >> >> Kevin Kühl >> Em 23 de jul de 2018 17:24 -0300, marcone augusto araújo borges < >> marconeborge...@hotmail.com>, escreveu: >> >> Como mostrar que cos(x/2). cos(x/4).cos(x/8)... = (senx)/x ? >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
