From: Felipe Villela Dias > >Pessoal, desculpem o meu nível de ignorância mas me surgiu uma dúvida: todos os >números primos possuem raízes quadradas irracionais? Caso positivo, existe alguma prova >simples para isso?
Vou anexar abaixo a mensagem do Rodrigo Villard Milet que responde a sua pergunta em particular. Se uma raiz racional de um inteiro não é inteira, então ela é irracional. MENSAGEM Na verdade isso é muito mais geral. Se raiz n-ésima de a^m (a natural) não é inteiro, então deve ser irracional. É fácil provar isso, se vc sabe um critério para achar raízes racionais de equações com coeficientes inteiros. LEMA: Dada a equação A(n)x^n + A(n-1)x^(n-1) +... +A(1)x+A(0)=0 e p/q (na forma irredutível) é raiz, então p divide A(0) e q divide A(n). Prova: Substitua p/q na equação. Então A(n)p^n = -q*[A(n-1)p^(n-1) +...+A(0)q^(n-1)] e como p e q não tem fatores em comum, segue que todos os fatores de q se encontram em A(n), logo q | A(n). Analogamente p | A(0). Então considere a equação x^n - a^m=0. Temos que raiz n-ésima de a^m é raiz. Então, pelo lema, se é racional (p/q), teríamos p | a^m e q | 1, logo p/q é inteiro, o que é uma contradição, já que estamos supondo que não é inteiro. Logo raiz n-ésima de a^m (a natural ), se não é inteiro, é irracional. Abraços, Villard ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================