Que tal tentar obte-la na raça?Tentar mesmo,desenhar e ver... -- Mensagem original --
>Caros colegas da lista: > >Curiosamente, também vale a identidade: > >tan(4*Pi/11) + 4*sen(Pi/11) = raiz(11) > >A demonstração que eu vi também usa complexos, exatamente como a do Nicolau. >Ela está em: http://www.nrich.maths.org.uk/askedNRICH/edited/56.html > >Por acaso alguém conseguiu uma solução do tipo que o Morgado falou - via >uma >construção geométrica? > >Um abraço, >Claudio. > >----- Original Message ----- >From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Sent: Thursday, March 06, 2003 12:06 PM >Subject: Re: [obm-l] Problemas em aberto IV > > >> On Sun, Mar 02, 2003 at 11:12:21AM -0300, A. C. Morgado wrote: >> > O Luís Lopes mandou ha algum tempo: >> > Prove que >> > tan(3*Pi/11) + 4*sin(2*Pi/11) = sqrt(11). >> > >> > Embora eu tenha uma ideia muito clara do que fazer (usar trigonometria >> > do tempo dos gregos, isto eh, construir um conveniente quadrilatero >> > inscrito e aplicar o teorema de Ptolomeu), quando tentei nao consegui. >> >> Eu fiz algo bem diferente; usei álgebra e maple: >> >> >> > pp := ((z^3 - z^(-3)) + 2*(z^2 - z^(-2\ >> > ))*(z^3 + z^(-3)))^2 + 11*(z^3 + z^(-3))^2; >> / 3 1 / 2 1 \ / 3 1 \\2 / 3 1 \2 >> pp := |z - ---- + 2 |z - ----| |z + ----|| + 11 |z + ----| >> | 3 | 2 | | 3 || | 3 | >> \ z \ z / \ z // \ z / >> >> > p1 := expand(pp); >> 2 4 4 4 8 6 4 10 4 >4 >> p1 := 4 + 4 z + ---- + 4 z + ---- + 4 z + 4 z + ---- + 4 z + ---- >+ --- >> 2 4 6 8 >10 >> z z z z >z >> >> > p2 := expand(z^10 * p1); >> 10 12 8 14 6 18 16 4 20 >> p2 := 4 z + 4 z + 4 z + 4 z + 4 z + 4 z + 4 z + 4 z + 4 z >> >> 2 >> + 4 z + 4 >> >> > factor(p2); >> 5 6 4 7 3 9 8 2 10 >> 4 (z + z + z + z + z + z + z + z + z + z + 1) >> >> 10 9 8 7 6 5 4 3 2 >> (z - z + z - z + z - z + z - z + z - z + 1) >> >> A idéia é que z = exp(Pi*i/11). >> Temos tan(3*Pi/11) = -i (z^3 - z^(-3))/(z^3 + z^(-3)), >> sin(2*Pi/11) = -i/2 * (z^2 - z^(-2)) donde após pequenas >> simplificações queremos verificar que pp acima vale 0. >> Expandimos, fatoramos e descobrimos que pp é múltiplo de >> z^10 - z^9 + z^8 - ... - z + 1. Ora, este polinômio de fator >> tem exp(Pi*i/11) por raiz. >> >> Observe que as contas não são tão pesadas assim, >> daria para fazer na mão. >> >> Claro que o Luís Lopes e o Morgado podem achar que uma solução >> geométrica seria mais elegante... >> >> []s, N. >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >> ========================================================================= > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >========================================================================= > TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE ------------------------------------------ Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================