Caramba,
Nada como ter amigos com boa memória.
Como se dizia há alguns anos, entrei de gaiato no navio.
Obrigado ao Victor e ao Douglas pela super memória ao identificar o
problema proposto pelo Joao, que imaginei ser mais simples do que de
fato era...
(calculei o ângulo A por geometria de maneira tão simples que achei que
B e C eram imediatos... Ledo engano. Vi a solução...)...
Obrigado aos três... e ao Ghandi,
Abraços a todos,
Nehab
On 05/08/2013 18:00, douglas.olive...@grupoolimpo.com.br wrote:
Camarada Victor, saudações candangas e carrapatonianas, aliás não
existem muitos carrapatos aqui nessa época do ano rsrs, a questão foi
a número 11 da shortlisted da IMO de 1992 , e foi do japão. a
resolução é bem legal no imo compendium.
Grande abraço!!
Douglas Oliveira.
Em 05.08.2013 11:55, Carlos Victor escreveu:
Olá João ,
Esta questão é de uma olimpíada não brasileira ou de um livro de
olimpíadas ( não lembro qual País), mas encontrar os outros ângulos é
um trabalho árduo e há uma estratégia para a sua solução geométrica .
A que conheço ( em que o mestre Antonio Luis( Gandhi) me mostrou) é
traçar os simétricos de D e E em relação à BD e CE ,
respectivamente, sobre BC . Faça uma análise nos triângulos que
surgirão , no sentido de que a bissetriz interna e externa de um
triângulo se encontram num ex-incentro e, aparecerá um ângulo de 120º
que é o mentor da solução, ok ? Vale apena pensar nessa solução ...
Abraços
Carlos Victor
Em 5 de agosto de 2013 11:04, Nehab <carlos.ne...@gmail.com
<mailto:carlos.ne...@gmail.com>> escreveu:
Ora João!
Nem vem. Você é muito inteligente para odiar Geometria...
Não acho má ideia você estudar um pouquinho disso...
Costumo ter sucesso ensinando essa parte maravilhosa da
Matemática para quem odeia Geometria (hahaha) e gosta de
Trigonometria...
Veja que o ângulo A é imediato... Chamando de I o incentro, segue-se:
a) No triângulo BIC, ang(BIC) = 180 - (B/2+C/2) = 90 + A/2
b) No triângulo EID, ang(EID) = 180 - (24 + 18) = 138
c) Mas ang(BIC) = ang(EID) e daí sai A: 90 + A/2 = 138, ou seja,
A = 96
Tente completar a solução...
Grande abraço,
Nehab
On 04/08/2013 23:37, João Maldonado wrote:
Fala professor!
Adorei a resolução, tinha esquecido do 4sen18.cos36 =1 =D
Na verdade o problema era de geometria, mas como eu sou péssimo
em GP, sempre resolvo tudo por trigonometria (meu professor fala
que eu sou louco)
O problema era o seguinte:
Em um triângulo ABC, D e E são os pés das bissetrizes traçadas
dos vértices B e C respectivamente. CED = 24 graus e BDE = 18
graus, calcule os ângulos do triângulo.
De acordo com o que foi dito os ângulos são 2*36 = 72 graus, 12
graus e 96 graus
[]'s
João
------------------------------------------------------------------------
Date: Sat, 3 Aug 2013 23:16:56 -0300
From: carlos.ne...@gmail.com <mailto:carlos.ne...@gmail.com>
To: obm-l@mat.puc-rio.br <mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>
Subject: Re: [obm-l] trigonometria
Caramba, João,
Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim:
a) 66 = 36 + 30, então 36 é um angulo duplamente interessante
pro problema.
b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36
pois 4sen18.cos36 =1.
Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade
é clássica se você estudou os triângulos isósceles que possuem
um ângulo de 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo
lá). Nesses triângulos o lado maior é phi vezes o lado menor, ou
seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o lado menor (uma
semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é manjada
razão áurea.
Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as
alturas deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2.
Logo, 4sen18.cos36 = 1...
c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito...
Então, fica assim:
tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66
tgx. cos36 = B/C onde
B = [2sen66cos36 - *4sen18cos36*] e
C = 2cos66
Desenvolvendo B, vem:
B = sen30 + sen102 - *1* =
B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né)
B = 2sen36cos66
Dai tgx.cos36 = B/C = sen36.
Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x
= 36 + k180)
Abraços
Nehab
On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote:
tgx = tg66 - 2sen18/cos66
Como achar x?
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