Ola Amigos desta lista de discussao de problemas, Observe que se quaisquer dois dos numeros "a, b, c, d" forem iguais entao o produto :
P = (a-b)(c-a)(d-a)(d-c)(d-b)(c-b) Sera zero e, portanto, divisivel por 12. Assim, sem perda de generalidade, podemos supor que os numeros sao, dois a dois, distintos. Uma das formas de mostrar que o produto e divisivel por 12 e mostrar que ele e divisivel por 3 e por 4. CASO 1) E DIVISIVEL POR 3 Como sao 4 numeros inteiros, dois a dois distintos, entao, pelo algoritmo da divisao : a=3*q1 + r1 b=3*q2 + r2 c=3*q3 + r3 d=3*q4 + r4 Como r1, r2, r3 e r4 sao restos de divisao por tres entao necessariamente pertencem ao conjunto {0,1,2} e dai segue que a quatro numeros precisamos associar 3 restos. Entao pelo principio de Dirichelet ( Principio das Gavetas, Principio das casas dos pombos ), ao menos dois deles terao o mesmo resto. Supondo - sem perda de generalidade - que sejam "c" e "d" estes numeros, e que o resto comum seja "r", teremos : c=3*q3 + r d=3*q4 + r donde : (c-d)=3*(q3 - q4) => 3|(c-d) => 3|(d-c) => 3|P CASO 2) E DIVISIVEL POR 4 Usando a notacao e o raciocinio do caso ANTERIOR : Se dois deles deixarem o mesmo resto quando divididos por 4, a diferenca entre eles sera divisivel por 4 e, portanto, o produto P tambem. Supondo que dois quaisquer nao deixam o mesmo resto quando divididos por 4, podemos supor, sem perda de generalidade, que : a=4*q1 b=4*q2 + 1 c=4*q3 + 2 d=4*q4 + 3 E basta notar que : (b-d)=(b-a)+(a-d)=[4*(q2-q1) + 1] + [4*(q1 - q4) + 3] (b-d) = 4*(q2 - q4) + 4 = 4*(q2 - q4 + 1) => 4|(b-d) => 4|(d-b) logo 4|P Vemos portanto, claramente, que qualquer que sejam as hipoteses possiveis, o numero P sera sempre divisivel por 3 e por 4, isto e, ele e sempre divisivel por 12. Um problema de alguma forma relacionado com este, porem nao tao simples como este, e o seguinte : PROBLEMA RELACIONADO : Seja I = { a1, a2, a3, ..., an } um conjunto de N numeros inteiros, dois a dois distintos. Suponha que ai < aj se i < j. Seja tambem P o produto de todas as diferencas da forma ( aj - ai) com J > i. Qual e o maior numero natural D que sempre divide P, independente da escolha dos ai ? Um Abraco Paulo Santa Rita 2,1154,141002 > >Gostaria que vcs me ajudassem a resolver essa questão do IME. >Agradeço desde já pela ajuda. >"Considere quatro números inteiros a, b, c e d. Prove que o produto: >(a-b)(c-a)(d-a)(d-c)(d-b)(c-b) >é divisível por 12." > _________________________________________________________________ Converse com seus amigos online, faça o download grátis do MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================