Ué, mas ela já está aí!
Se você quer algo com linguagem chata, tá bom:
Seja D(N) o conjunto dos divisores de N
1) d pertence a D(N)
acarreta
N/d pertence a D(N)
2) d1>d2 acarreta N/d1 < N/d2
3) Sejam os conjuntos D(N,d) = {d,N/d}.
Para cada d pertencente a D(N), o conjunto D(N,d) está contido em D(N).
Ademais, D(N,d1)=D(N,d2) se e so se d1=d2 ou d1=N/d2.
Além disso, se d=N/d (ou d^2=N) o conjunto D(N,d) tem somente um elemento.
De quebra, o produto dos elementos de cada D(N,d) é N (excetuando o caso d^2=N).
Portanto, os conjuntos D(N,d), com d variando entre todos os divisores
de N menores que a raiz quadrada de N, particionam o conjunto D(N) (em
outras palavras, são dois a dois disjuntos e a uniao deles é D(n)).
Agora a parte lúdica:
Se colocarmos os divisores de N em uma fila indiana, e a cada um
colocarmos uma etiqueta "eu sou elemento do conjunto D(N,d)" (em que
escolhemos o d tal que d^2 <= N), veremos que os números das pontas
terao etiquetas iguais, e o produto de ambos será N. É justamente isto
o que eu demonstrei acima, ó pá!
Se o numero de divisores for impar, tera um cara que nao tem etiqueta
repetida, justamente a raiz quadrada exata de N.É justamente isto o
que eu demonstrei acima, ó pá!
Esta é a demonstração mais formal que eu consigo escrever, sem ficar enjoado...
Em 02/09/10, ennius<enn...@bol.com.br> escreveu:
>
> Caro Torres,
>
> É exatamente a formalização que desejo obter.
>
> Um abraço!
> Ennius
>
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