Caro Bruno: Você está certo. Acho que eu tenho é mesmo de parar de tentar me divertir com estes exercícios antes de dormir. É obvio que o q o Paulo fez está, além de correto, muito bem explicado e resumido, o q certamente decorre de sua grande capacidade e qualidade. O erro EXTREMAMENTE CRASSO com certeza foi meu. Agradeço por ter observado. Vc não sabe como eu fiquei pasmo ao ver a parvoíce, a sandice que escrevi. Foi realmente uma falta de atenção ao ler o enunciado (coisa que eu reforço sempre aos meus alunos para tomarem cuidado) e perceber que é PARA TODO r maior q zero. Esta é uma daquelas situações em que vc tropeça na rua e olha pra trás para conferir o çhão, incrédulo que vc se atrapalhou com um coisa tão básica como andar. Creio q, na opinião d Erdös, eu deveria tomar mais café. ABçs.
--- Bruno França dos Reis <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Antonio, > > acho que foi você quem não leu direito nem a questão > e muito menos a > resposta do Paulo Santa Rita. > Em momento algum o Paulo usou a tese para prova-la, > como você afirma. Isso é > realmente um erro comum, mas para pessoas de um > nivel de matematica mais > baixo do que o do Paulo, certamente. > O que ele fez foi admitir a hipotese e que esta > implica a NEGACAO da tese e > em seguida provar que esta é falsa, e a partir dai, > ter a obrigacao de > concluir a veracidade da tese. > > Vou te devolver um exemplo muito parecido com o que > você deu, mas para > explicar o que o Paulo fez. Quero provar: n = 5 ==> > n é impar. > Vamos, para evidenciar a tecnica, definir um numero > par como aquele que pode > ser decomposto como a soma de duas parcelas iguais e > inteiras. > Vamos então admitir a hipotese (n = 5) e supor a > negacao da tese: n é par. > Sendo n par, temos que ser capazes de exibir um > inteiro que somado a si > mesmo de 5. > Ora, 1 + 1 = 2, 2 + 2 = 4, 3 + 3 = 6, e a partir > daqui, k + k > 5. Então não > existe inteiro que somado a si mesmo dê 5. Logo foi > um erro admitir que n é > par, isto é, dado que n = 5, não vale que n é par, > vale a negação disso, > isto é: n não é par. Um número inteiro que não é par > é necessariamente > ímpar, o que conclue a demonstração. > > > O seu contra-exemplo para negar a afirmação proposta > pelo exercicio não vale > pelo simples fato de que para o seu a e o seu b vc > tomou APENAS UM valor de > r, e a hipotese inclue " | a - b |<r PARA TODO VALOR > DE r MAIOR QUE ZERO". > Não satisfeita a hipótese, não há obrigação nenhuma > de que a tese valha. > > > > Para finalizar, um simples argumento (e não mais uma > prova, essas vc ja tem > o suficiente) para tentar convencer a veracidade da > afirmação: > > Temos dois numeros positivos, a e b. Calculamos o > modulo de sua diferença: d > = |b - a|. > Temos então que d >= 0. > Mas eu afirmo pra vc (hipotese): dado um numero real > r positivo (maior que > zero), d < r. Quanto vale d? > Ora, r = 0.5 implica d < 0.5. Mas e se diminuirmos > r? Tomemos então r = > 10^-219287391873. Ora, d < r. Como d será menor do > que QUALQUER valor > positivo, temos então que d é NO MAXIMO 0. Mas pela > definição de d, ele > também é NO MINIMO 0. Ora, nessas condições, d vale > exatamente 0, o que > implica a = b. > > > > Espero que a questão tenha ficado clara agora para > você. Qualquer coisa, > pergunte! > > Abraço > Bruno > 2008/3/26 Antonio Giansante <[EMAIL PROTECTED]>: > > > Creio que você incorreu em um erro muito comum da > > argumentação lógica, justamente por ser ele muito > > sutil de ser percebido (e por isso ser muito usado > em > > concursos públicos): Você não pode usar a tese > para > > prová-la. Por exemplo: Prove que se um número é > > divisível por 2, então ele é par. Aí você começa > > fazendo: suponha que n é par, logo é divisível por > 2. > > Por isso não pode fazer "suponha r=s". creio que > essa > > afirmação da tese é dito modus tollens. Em um > exemplo > > um pouco mais didático: pense na afirmação: Se > chove, > > então molha. Assim, se eu afirmar que se molhou, > > então choveu, vou estar errando, pois poderia ter > > molhado com um copo d'água, uma mangueira, etc Eu > > posso dizer que se chove, com certeza molha, mas > se > > molha, nem sempre foi porque choveu. Espero que > este > > chove-e-não-molha (que é a negação da frase > inicial) > > E creio que essa afirmação é falsa, pois > encontramos > > um contra-exemplo: Seja a#0, b = 2a e r = 3a veja > que > > | a - b |<r mas a#b, o que contradiz a afirmação. > > > > > > > > > > --- Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]> > > escreveu: > > > > > Ola Joel e demais colegas > > > desta lista ... OBM-L, > > > > > > > > > Suponha que a # b, isto é, suponha que "a" e > > > diferente de "b". Neste > > > caso, s = | a - b | e um real positivo. Entao, > > > fazendo r = s e usando > > > a propriedade enunciada, teremos : > > > > > > | a - b | < s => | a - b | < | a - b | ... > absurdo ! > > > > > > Assim, a nossa tese e insustentavel e somos > > > obrigados a admitir que a = b. > > > > > > No endereco abaixo existem muitos problemas > > > olimpicos interessantes : > > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/psr/<http://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/psr/> > > > > > > Um Abraco a Todos > > > Paulo Santa Rita > > > 3,0D31,190308 > > > > > > > > > > > > Em 25/03/08, Joel > Castro<[EMAIL PROTECTED]> > > > escreveu: > > > > tenho pequena dúvida: > > > > > > > > prove: se para todo r maior que zero, o módulo > da > > > diferença de a e b é menor > > > > que r, então a é igual a b. > > > > > > > > valeu!!!!!! > > > > > > > > ________________________________ > > > > Abra sua conta no Yahoo! 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