Ao tentar resolver a questão número 1, me equivoquei e fui tentado ao
dividir por 4 um número terminado em ...44, justificando que ele terminaria
em 11, o que nem sempre é verdade. Daí ter concluído o absurdo que um
quadrado não pode terminar na repetição de dois algarismos não nulos. Um
exemplo é 144. Logo, teremos:
1- Olhando mód 10: Os quadrados perfeitos (qp) podem terminar em
0,1,4,5,6,9.
Analisando os dois últimos dígitos iguais...
Se for ímpar, ele não pode ser da forma 4k+3... Logo ele termina 33 ou
77. Mas mod 10, um qp não pode terminar em 3 ou 7.
Basta ver que se terminar em número par...
Pode ser 00, 44 ou 66. Mas o qp par deve ser múltiplo de 4, ou seja...só
pode terminar em 00, 44. Não podemos considerar o caso 00, de acordo com a
questão. Um possível número qp que termina em 44 é 144.
Já terminando em três dígitos repetidos, só precisaríamos analisar a
possibilidade quando estes são 4, devido os casos anteriores.
Daí os únicos números que queremos cujos quadrados terminam em 444 são:
Analisando mód 10:
(..2)^2=..4
(..8)^2=..4
Analisando mód 100:
(..12)^2=..44
(..38)^2=..44
(..62)^2=..44
(..88)^2=..44
Mas ...444, não é divisível por 8 (basta analisar os 3 últimos dígitos),
daí, este quadrado perfeito não pode ser um quadrado de um número múltiplo
de 4.
Ou seja, as únicas possibilidades são 38 e 62.
Analisando mód 1000:
(..038)^2=..444
(..462)^2=..444
(..538)^2=..444
(..962)^2=..444
Daí, Um quadrado pode ter até três números repetidos no final do
número.
Só precisamos analisar a possibilidade quando estes são 4, devido os casos
anteriores.
Provaremos que um quadrado não pode terminar em quatro números 4.
Suponha que existe q^2 = (2n)^2 = x*10^4 + 4444
Daí: (2n)^2= 4*(25*x*10^2 + 1111)
(n)^2 = 25*x*10^2 + 1111
Daí n^2 termina em ...11, ou seja ele é da
forma 4k+3, absurdo, pois
nenhum número de ssa forma é qp.
Segue o
resultado.
Desculpem eventuais erros...
-----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em
nome de Henrique Lima Santana
Enviada em: quarta-feira, 6 de junho de 2001 22:21
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: mais duvidas
alguém pode me ajudar?
1. qual o maior numero de digitos iguais e diferentes de zero com q pode
terminar um numrero quadrado perfeito?
2. quantos triangulos diferentes, de lados inteiros, podem ser
construídos de modo q o(s) lado(s) maior(es) tenha(m) 5 cm de comprimento? 6
cm? n cm? Em cada caso, quantos são isósceles?
3. uma caixa contém 900 cartões,numerados de 100 a 900. retiram-se ao
acaso (sem reposição) cartões da caixa e anotamos a soma dos seus
algarismos. qual é a menor quantidade de cartões q devem ser retirados da
caixa , para garantirmos q pelo menos tres dessas somas sejam iguais?
valeuz
Henrique
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