1) Suponha que (Xn) nao seja constante. Entao existem X_i # X_k com i # k. Como (Xn) e peirodica, segue que :
X_i = X_(i+p) = X_(i+2p) = ... converge para X_i X_k = X_(k+p) = X_(k+2p) = ... converge para X_k
Isto e, existem ao menos duas sub-sequencias de (Xn) que convergem para limites diferentes,
vale dizer, (Xn) nao e convergente ... ABSURDO !
2) Suponha que (Xn) nao e constante. Entao existem X_i # X_k com i # k. Sem perda de
generalidade podemos supor X_i < X_k. Se L for o limite de (Xn) tome um E > 0 tal que
(L-E,L+E) contenha NO MAXIMO UM dos valores {X_i , X_k}. Entao NAO EXISTE N' natural
PARA TODO N > N' implica Xn pertence a (L-E,L+E), pois AO MENOS UM DENTRE
X_i = X_(i+p) = X_(i+2p) = ... X_k = X_(k+p) = X_(k+2p) = ...
Caira fora de (L-E,L+E) ... OUTRO ABSURDO !
Vemos portanto que a nossa tese e sempre insustentavel e, portanto, se a sequencia for
periodica e convergente, ela tambem deve ser constante.
Um Abraco Paulo Santa Rita 2,2322,150304
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Subject: [obm-l] Duvida de analise (1)
Date: Mon, 15 Mar 2004 22:14:26 -0300
Segue um problema que nao consegui resolver, agradeço a ajuda do pessoal da lista.
"Uma sequencia (x_{n}) diz-se periodica quando existe p pert N tal que x_{n+p} = x_{n} para todo n pert N. Prove que toda sequencia periodica convergente é constante."
Começei esboçando a hipoteses de uma maneira mais evidente:
hip:
I) (x_{n}) é periodica, i.e existe p pert N tal que x_{n+p} = x_{n}
II) (x_{n}) é convergente, i.e x_{n} possui limite, seja a = lim(x_{n}) este limite então para todo numero real eps > 0, tem-se um n_{0} natural tal que todos os termos x_{n] com indice n > n_{0} obedece |x_{n} - a| < eps.
tese: (x_{n}) é constante. i.e x_{n} = x_{n-1} para qualquer n > 0.
dem: ???? :o(
Obrigado
-- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
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