Talvez uma maneira menos tecnica mas que pelo menos pra mim e mais facil de
ver e a seguinte:
10^2 = 8 mod 23
Queremos todo k tal que 10^k = 8 mod 23
n^(a+b) = n^a * n^b
se k = 2 + t entao 10^k = 10^2 * 10^t e 10^k mod 23 = 8 * 10^t mod 23
o problema entao se reduz a encontrar todos valores de t para os quais 10^t
= 1 mod 23
Como eu tb nao entendo quase nada de congruencias eu sempre procuro chegar
em a ~= 1 mod b que em geral da pra se resolver com conhecimentos minimos
From: "Marcelo Salhab Brogliato" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fw: congruência
Date: Sun, 5 Mar 2006 00:20:37 -0300
Opa,
bem, nao consegui entender algumas coisas... se puder, por favor, da uma
explicada um pouco melhor..
isso eu entendi:
10^11 = 10*(10^2)^5 = 10*8^5 = 10*16
mas nao entendi pq o fato de nao ser congruo a 1 (mod 23) faz com que 22
seja o menor numero com essa propriedade!
Tbem nao entendi pq: 10^a = 10^b (mod 23) <=> a = b (mod 22)
abraços,
Salhab
----- Original Message -----
From: Marcio Cohen
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Saturday, March 04, 2006 11:22 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fw: congruência
Como 23 eh primo, 10^22 = 1 (mod 23), e como 10^2 = 8 e 10^11 =
10*(10^2)^5 = 10*8^5 = 10*16 != 1 (mod 23), 22 eh o menor numero com essa
propriedade.
Logo, 10^a = 10^b (mod 23) se e somente se a = b (mod 22).
Como 10^2 = 8 (mod 23), a resposta é que os valores de k para os quais
temos 10^k = 8 (mod 23) são exatamente os inteiros positivos que deixam
resto 2 na divisão por 22 (2, 24, 46, ...)
Abraços,
Marcio
----- Original Message -----
From: Marcelo Salhab Brogliato
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Saturday, March 04, 2006 7:06 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Fw: congruência
Olá,
vc quer saber para quais valores de k temos:
10^k = 8 (mod 23), certo?
bom, temos que:
100 = 8 (mod 23)
10^(2n) = 8^n (mod 23)
isso é, para k par temos que a unica solucao é k=2 (n=1).
ainda nao consegui extender essa solucao para k impar.. estou
tentando!
PS: sei mto pouco sobre congruencia, talvez minha solucao esteja
errada
abraços,
Salhab
----- Original Message -----
From: Leo
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Saturday, March 04, 2006 12:16 AM
Subject: [obm-l] Fw: congruência
----- Original Message -----
From: Leo
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, March 03, 2006 8:11 PM
Subject: congruência
Como resolver a seguinte congruência
10^k cong 8 (mod 23) ... pra k=2 eh verdadeira mas como achar o caso
geral???
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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