Ola carissimo artur e demais colegas desta lista ... OBM-L, O Ronaldo Alonso estava com a mesma duvida e eu enviei um esclarecimento mas nao deve ter chegado na lista. Quando eu disse que se N nao e potencia de 2 entao N e da forma (2^P)*i com P INTEIRO NAO-NEGATIVO e "i" um impar maior que 1 estou admitindo P=0 para incluir todos os impares. Exemplo : N=13 => N=(2^0)*13 ; N=28 => N=(2^2)*7.
Um Abracao Paulo Santa Rita 3,1100,051206 ________________________________ > From: [EMAIL PROTECTED] > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: RES: [obm-l] Problema de teoria dos numeros > Date: Tue, 5 Dec 2006 10:34:55 -0200 > > Oi Paulo, > Vc nao tinha que considera tambem os numeros impares? > A prova que eu encontrei foi a seguinte: > Suponhamos que n seja impar. Entao a(n) = 2^n +1 eh divisivel por 3. > Para n=1, a(n) =3 e a condicao eh satisfeita. Suponhamos que, para algum > impar n, a(n) seja multiplo de 3. Para o impar subsequente, n+2, temos que > a(n+2) = 2^(n+2) + 1 = 4* 2^n + 1 = 4(a(n) -1) + 1 = 4a(n) - 3. Dado que, > pela hipotese indutiva, 3|a(n), temos que 3|a(n+2), completando-se assim a > prova. > Suponhamos agora quer n seja par. Ai vale a sua solucao, alias muito bonita. > Uma outra possibilidade, noa tao bo quanto a sua, eh a seguinte: Se n for da > forma n=2k, com k impar, entao a(n) = 4^k +1. Potências impares de 4 tem, na > base decimal, algarismo das unidades 4. Logo a(n) = 4^k + 1 tem algarismo > das unidades 5, sendo portanto divisivel por 5. > Vemos assim que, se a(n) for primo e n se enquadrar num dos casos acima, > entao n=1 = 2^0 ou n= 2*1 = 2, casos em que n eh potencia de 2 > (considerando-se 1 como potencia 0 de 2). Nos casos acima, outros valores de > n levam a numeros compostos. Se, a(n) for primo e n nao se enquadrar nos > casos acima, entao n eh par e não eh multiplo de nenhum impar >1, sendo > portanto potencia de 2. Isso conclui a prova. > Uma outra prova da infinitude dos primos eh a seguinte: Para todo > n=1,2,3...., n! eh divisivel por 2,3.....n. Entao, nenhum destes numeros > divide n! + 1. Pelo teorema fundamental da aritmetica, n! + 1 pode ser > representado por um produto de primos, dentre os quais, em virtude do que > vimos, não se enquadra nenhum primo <= n. Logo, para todo n existe um primo p > >n, do que concluimos que o conjunto dos primos eh ilimitado e, portanto, > infinito. > Abracos > Artur > -----Mensagem original----- > De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Paulo Santa Rita > Enviada em: segunda-feira, 4 de dezembro de 2006 21:46 > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Assunto: RE: [obm-l] Problema de teoria dos numeros > Ola carissimo Artur e demais > colegas desta lista ... OBM-L, > Seja M um primo tal que M = (2^N) + 1 e suponhamos que N nao e potencia de 2. > Neste caso N e da forma : (2^P)*i, onde P e um inteiro nao-negativo e "i" um > impar maior que 1. Segue daqui que M = (2^A)^ i + 1 com A= 2^P . Fazendo 2^A > = X teremos que M = X^i + 1. Este polinomio e claramente divisivel por X + 1 > em virtude do teorema D'Alembert, pois sendo "i" impar temos que (-1)^i + 1 > = 0. Assim : M = X^i + 1 = (X + 1)*Q(X) => M nao e primo ... ABSURDO ! > A nossa tese e portanto insustentavel e somos obrigados a admitir que N e > potencia de 2, como queriamos demonstrar. Eis aqui outro bonitinho, porem nao > tao simples como este : (Fermat propoe, Euler resolve ) Mostre que a equacao > X^3 = Y^2 + 2 tem uma unica solucao no anel dos inteiros. > Estas questoes de Teoria dos Numeros me levaram a alguns anos atras, quando > eu me correspondia sobre topologia com um colega que esta atualmente fazendo > doutorado em Bio-Matematica na Alemanha. Ele conclui o doutorado agora. Mas o > que importa e que naquela epoca, quando ele ainda fazia Mestrado na Unicamp, > nos combinamos que em cada carta era obrigatorio haver uma prova da > existencia de uma infinidade de numeros primos. O Marcelo mostrou uma prova > muito simples, mas belissima e que eu passo pra vocês : > EXISTEM INFINITOS NUMEROS PRIMOS : > Suponha que a quantidade de numeros primos e finita. Digamos : p1 < p2 < ... > < pn. Consideremos agora o numero P=p1*p2*...*pn, claramente maior que > qualquer dos primos pi. O numero P - 1 e portanto composto. Segue que existe > pi que divide P - 1. Mas pi tambem divide P, logo, pi deve dividir P - (P - > 1 ) = 1 ... ABSURDO ! > A todos, com os melhores > votos de paz profunda, sou > Paulo Santa Rita > 1,1540,041206 > ________________________________ > From: [EMAIL PROTECTED] > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] Problema de teoria dos numeros > Date: Mon, 4 Dec 2006 20:14:35 -0200 > Achei este problema de teoris dos numeros (nao eh dos mais dificeis) bem > bonitinho. > Mostre que, se 2^n +1, n=0, 1,2....for primo, entao n eh potencia de 2 > Artur > ________________________________ > Ligue para os seus amigos grátis. Faça chamadas de PC-para-PC pelo > messenger-- GRÁTIS Experimente agora!<http://get.live.com/messenger/overview> _________________________________________________________________ Descubra e experimente alguns novos serviços online no Windows Live Ideas http://ideas.live.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
