Olá!
Um resultado muito importante da Teoria dos Números é: Todo quadrado de um par é par e múltiplo de 4 ( i.e., pode ser escrito assim: 4(n^2) ou 4m ). Todo quadrado de um impar é impar e pode ser escrito da seguinte forma: 8n+1 (i.e., deixa resto 1, na divisão por 8). Obviamente, também deixa resto 1, na divisão por 4. Obs.: ― Provar o resultado acima é muito fácil. Para o quadrado de um par, é óbvio. Para o quadrado de um impar, basta fazer o quadrado desse impar (2n+1) e, depois, analisar as 2 hipóteses possíveis: ― (i) “n” é par; e (ii) “n” é impar. Agora, o problema: Pitágoras: a^2 = b^2 + c^2 (neste problema, “a”, “b” e “c” são inteiros e positivos). Logo, “b” e “c” não podem ser, ambos, ímpares, porque 8n+1 + 8m+1 = 8p+2, i.e., deixa resto 2, na divisão por 8, logo não é um quadrado. 1A. PARTE: um dos catetos é múltiplo de 4. Hipótese 1: “b” é par (=2n) e “c” é impar. Nesta hipótese, a hipotenusa tem que ser impar (é óbvio!): 8m+1 = 4(n^2) + 8p+1. Logo: m = (n^2)/2 + 1. Logo: n^2 é par. Logo: “n” é par. n=2q. Logo: b = 2n = 4q. Logo, “b” é múltiplo de 4. Hipótese 2: “b” é par (=2n) e “c” também é par (=2p). Nesta hipótese, a hipotenusa tem que ser par (é óbvio!): 4(m^2) = 4(n^2) + 4(p^2). Logo: m^2 = n^2 + p^2. Já foi visto que a soma de 2 quadrados ímpares não é um quadrado. Logo, “n” ou “p” é par. Já que há simetria, que seja, p.ex., “n”. n=2q. Logo: b = 2n = 4q. Logo, “b” é múltiplo de 4. 2A. PARTE: “b” e “c” não podem ser, ambos, ímpares ― já foi visto! 3A. PARTE: b = m^2-n^2 e c = 2mn é, de fato, suficiente. b^2 + c^2 = m^4 + 2(m^2)(n^2) + n^4 = (m^2 + n^2)^2 = a^2 (que é um quadrado). Obs.: ― Esta é uma condição suficiente, não é uma condição necessária! Albert Bouskela <mailto:bousk...@gmail.com> bousk...@gmail.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de marcone augusto araújo borges Enviada em: quarta-feira, 4 de julho de 2012 19:17 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Prove que... As medidas dos lados de um triângulo retângulo são representadas por números inteiros.Prove que a medida de um dos catetos é representada por um múltiplo de 4. Mostrar que as medidads dos catetos não podem ser ambas números ímpares e considerar essas medidas sendo b = m^2 - n^2 e c = 2mn é suficiente?
