De uma olhada no livro A Matematica do Ensino Medio vol. 2 do Wagner, Morgado, Carvalho e Lima publicado pela SBM
la tem tudo direitinho... []'s Guilherme Pimentel -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Arnaldo Enviada em: quarta-feira, 14 de novembro de 2001 07:51 Para: Fernando Henrique Ferraz; [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: GA / Baricentro de um Triângulo > > Olá... > > Estava quebrando a cabeça num problema do ITA >(http://www.exatas.f2s.com/matematica/ga005.html) quando achei a solução >usando a 'fórmula' do baricentro: G((xa + xb + xc)/ 3, (ya + yb + yc)/3) do >triângulo. > Depois disso ficou bem fácil o exercício. mas fiquei me >perguntando aqui, de onde que essa fórmula vem. Procurei em vários livros >mas ela é sempre 'empurrada' e nunca demonstrada ou provada. > Comecei a esboçar uma demonstração mas os cálculos ficaram muito >monstruosos. Parti dum triângulo ABC, sendo A(x1,y1), B(x2,y2) e C(x3,y3). >M sendo o ponto médio de AC, N ponto médio de AB e P o ponto médio de BC. A >partir disso achei a equação geral de duas medianas (primeiro calculando o >coefiente angular, a partir de /\y//\x, e dai jogando na formula da equacao >geral da reta), ambas gigantescas... ie.: >EQG de BM: y(x1 + x3 - 2x2) - y2(x1 + x3 - 2x2) = x(y1 + y2 - 2y3) - x2(y1 >+ y3 - 2y2) >EQG de CN: y(x1 + x2 - 2x3) - y3(x1 + x2 - 2x3) = x(y1 + y2 - 2y3) - x3(y1 >+ y2 - 2y3) > A partir disso tentei trabalhar com esses dois 'monstros' , >isolando x numa e inserindo na outra, mas não fiz muitos progressos.. Não >há alguma outra maneira de demonstrar que o Baricentro de um triângulo >sempre corresponde a média simples de x e y? > >grato pela atenção.. > > >Como vai Fernando? Aqui vai uma solução para o seu problema. Seja G o baricentro do triângulo ABC, e seja também Ma o ponto médio do lado BC. Com isso temos que se G é baricentro então vetor(AMa)=(3/2)*vetor(AG):(1) (qualquer livro de geometria demonstra isso), mas como Ma é ponto médio de BC então XMa = (Xb + Xc)/2 e YMa = (Yb + Yc)/2, logo vetor(AMa) = ((Xb+Xc)/2-Xa;(Yb+Yc)/2-Yc) e vetor(AG) = (Xg-Xa;Yg-Ya). Usando a igualdade (1) temos que (3/2)*(Xg-Xa) = (Xb+Xc)/2 - Xa => Xg = (Xa+Xb+Xc)/3. Para acha Yg é igual. > >"Against stupidity, the Gods themselves contend in vain", > Friedrich von Schiller's >- >[]'s >{O-Grande-Mentecapto} >[EMAIL PROTECTED] > > > > > > > > > > http://www.ieg.com.br