Re: Sobre o Problema 3N+1
Ola Rui e Colegas da Lista, Tudo Legal ? Eu avancei bastante na compreensao deste problema, desde que o Prof Nicolau o apresentou. Mas desde entao não me ocupei mais com ele. Se voce quiser, nos podemos trabalhar nele juntos. Consegui o seguinte : 1) Mapear todos os numeros que com certeza atendem a conjetura, associando a cada um uma sequencia finita de numeros naturais. 2) Para cada sequencia, conseguo determinar o expoente ^que faz com que S^p(N)=1 3) Associar a este mapeamente uma rede bastante complicada. Aqui eu parei. Minha intuicao : Se existe um numero tal que não existe p com S^p(N)=1, isto implica que as sucessivas aplçicaçoes de S conduzirao a uma sequencia infinita. A ideia e mostrar que isto e impossivel. Como fazer esta prova : Estudando as propriedades topologicas da rede ( voce chama de arvore ). Eu terminei me desinteressando pela questao, pois me envolvi com outras temas tambem emocionantes ( acredito que descobri as colunas ocultas do triangulo de Pascal, o que me permite falar em sequencias aritmeticas de ordem racional. Isto esta diretamente ligado a serie de euler : 1 + 1/4 + 1/9 + ... = (pi)^2/6 agora entendo que a formulacao correta - Tio Euler nao viu isso - e : 1 + 1/4 + 1/9 + ... = (1/3!)*(1 - 1/3 + 1/5 ...)*(1 - 1/3 + 1/5 ... ). É o teorema das colunas generalizado. posso portanto pensar em encontrar o valor de : 1 + 1/2^r + 1/3^r + ... A partir daqui surge a funcao : F(r) = 1 + 1/2^r + 1/3^r + ... Ora, esta funcao e um plano vertical cortando a funcao mais geral : F(z) = 1 + 1/2^z + 1/3^z + ... E isto esta ligado a Conjectura de Riemnam. ) Voce deve ser novo na Lista. Nao me lembro de nenhuma mensagem sua anteriormente. Se assim for, seja bem vindo. Eu sou abandonante ( realmente : abandonante = abandonando ) de Engenharia migrando para Matematica. Se voce quer discutir Matematica, sem frescura e estrelismos, vai ser legal a nossa correspondencia. Um Grande abraco pra voce Paulo Santa Rita 4,0944,09052001 From: Rui Viana [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Sobre o Problema 3N+1 Date: Tue, 08 May 2001 19:43:25 -0300 Oi Paulo, Eu soh queria dizer que esse problema do 3N+1 eh um dos que mais me fascina na matematica. Assim como o ultimo teorema de Fermat, ele tem uma formulacao bem simples e ainda estah em aberto. A diferenca eh que esse problema naum eh tao famoso quanto o de Fermat e eh isso que me fascina nele. Eu realmente naum sei quais as implicacoes matematicas de uma possivel solucao ou contra-prova, mas ainda assim de vez em quando eu dou uma pensada nele. A sua ideia eh bem natural , e faz sentido. Resta saber quao dificil saum as demonstracoes do buraco. Um outro jeito de olhar eh contruindo uma arvore que comeca no 1 e vai descendo assim : 1 2 4 8 16 325 6410 . Dai tentar achar algum padrao na posicao de cada numero. sei lah... Seria muito legal se a lista se envolvesse nesse problema, apresentando material relativo ao problema, ideias, solucoes.. []'s Rui Viana From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Sobre o Problema 3N+1 Date: Mon, 07 May 2001 14:10:47 Ola Pessoal ! Pelo que me lembro, o problema 3N+1 foi apresentado a esta lista pelo Prof Nicolau. Este problema tambem e conhecido como problema de Siracura, dentre outras designacoes. Ele pode ser enunciado como segue : Seja F:N - N uma funcao, tal que F(n) = 3n+1, se n e impar F(n) = n/2, se n e par. Se definirmos : F^p(n)=F(F(F(F(...(p)..., isto e, F^p(n) e a composicao de F com ela mesma p vezes, entao : CONJECTURA : Para todo n natural, existe um p natural tal que F^p(n)=1. Este conjectura, pelo que sei, esta em aberto. Muitos Matematicos de Escol tentaram prova-la, sem sucesso. Claramente que isso nao significa que qualquer um de nos tambem nao tera sucesso ... Aqui nos DISCUTIMOS PROBLEMAS. Nao significa que sempre precisamos apresentar uma solucao pronta. Podemos inicia-la, podemos clarificar alguns aspectos ou apenas apresentar ideias : e a discussao ! O problema acima leva-nos a lembrar dos BLACK HOLE ( Buraco Negro ) ou SORVEDOUROS ... Com efeito, se para algum n impar aplicarmos F(n)=3n+1 e o resultado por uma potencia de 2, entao a ulterior aplicacao de F(n)=n/2 ira nos conduzir fatalmente a 1. Isto mostra que a sequencia 2,4,8,16,...,2^p,... funciona como um BLACK HOLE ou SORVEDOURO, de forma que podemos refornular a conjectura da seguinte maneira : CONJECTURA1 : Para todo n natural, existe um p natural tal que F^p(n)=2^r, r um natural qualquer. Quais sao os numeros tais que F(n) = 2^r ? PROPOSICAO : Se F(n)=2^r entao r e par e n e da forma (4^s - 1)/3. Suponha um natural n da forma n=(4^s - 1)/3. Ele e evidentemente impar e, portanto, F(n)=3n+1=4^s=2^(2s).
Re: Sobre o Problema 3N+1 (Complemento)
Oi Rui, Estou complementando minha mendagem anterior : O seu interesse pela questao despertou novamente o meu interesse por ela. Se voce estiver realmente interessado em aborda-la comigo, posso te remeter uma exposicao detalhada dos resultados a que chequei e que mariei na mensagem anterior. Voce da uma olhada e me envia suas impressoes. Conforme ja disse, a minha ideia foi MAPEAR os numeros que, com certeza, atendem a Conjectura de Siracura, associando a cada um uma sequencia conveniente e determinando, atraves desta sequencia, o expoente p de S^p(N)= 1. So a titulo de exemplificacao : a N=(4^s - 1)/3 esta associada a sequecia s. Qual o expoente p tal que S^p(N)=1 ? Claramente : 2s + 1. Pois vamos aplicar S na forma 3N+1 a N (Pois N e impar ). Isso ira gerar: 2^(2s). Aplicando S na forma N/2, 2s vezes chegaremos a S^p(N)=1 com p=2s+1 Nos numeros da forma (2^q)*((4^s - 1)/3) o expoente p e: q+2s+1 e a este numero estara associado a sequencia (s,q). Como voce ve, o que fiz foi estudar a arvore que voce percebeu, acompanhando seu comportamento. Isso nos leva a associar a cada numero que atende a conjectura de siracura uma sequencia finita N=(x1,x2, ...,xn) e, com esta sequencia, podemos nao so descobrir o numero que esta associado a ela como o expoente que devemos associar a p para que S^p(N). Este numero chamei de p(N). A extensao da sequencia permite definir uma distancia entre o numero que ela representa e o famigerado SORVEDOURO ou BLACK HOLE. Este mapeamento nos livra de trabalhar com os imensos numeros que estao associados a este problema e saber tudo que precisamos : qual o numero e qual o expoente. Se algum numero N e tal que nao existe p tal que S^p(N)=1 entao a aplicacao de S em N ira gerar uma sequencia infinita ... ! É possivel isso ? Me parece ser fundamental estudar as propriedades graficas (topologicas) da figura ( voce chama de arvore ) par provarmos algo neste sentido ... A ideia e associar a cada familia bem caracterizada de numeros uma linha. Assim : A familia (4^s - 1)/3, que e a beira do sorvedouro, é uma linha na qual para cada s associamos um ponto. As familias (2^q)*((4^s -1)/3) sao linhas orientadas que vem do infinito e terminam ( ponta da seta ) em (4^s - 1)/3. E assim sucessivamente. Se despirmos esta figura de inconsistencias e ela for um modelo real para o problema, as propriedades desta figura ( cruzamento de linhas, etc ) pode fornecer o que falta par completar a prova. O QUE EU ACHO QUE ME FALTA E FAZER UMA REPRSENTACAO GRAFICA LEGAL DESTA FIGURA, PARA ESTUDA-LA EM SEPARADO. aqui esta uma sintese da ideia em que mais investi. Mas percebi uma outra linha de ataque : 1) definir com precisao ( baseado na funcao S ) o conceito de SORVEDOURO. 2) Mostrar que nao pode haver mais de um SORVEDOURO. Mas eu acredito muito na primeira ideia e nao tirei as implicacoes imediatas ( Nao defini ) desta segunda ideia. Não investi nela. E muito provavel que voce saiba coisas que eu nao sei e, reciprocamente, eu saiba coisas que voce nao sabe. A uniao deste saberes ( ou ignorancias ?) pode nos levar a solucao. O que voce acha ? Eu penso, numa primeira aproximacao ( pois nunca fiz isso antes !), que para duas pessoas investigarem juntas deve haver alguns principios : 1)Cada um deve levar a serio o trabalho do outro 2)Um nao pode querer parecer melhor que o outro 3)Ninguem pode se melindrar por ser corrigido 4)Ninguem pode se melindrar em corrigir. 5)Cordialidade e camaradagem nao fazem mal a niguem O que voce acha ? Acrescenta alguma coisa ? e entao, vmaos trabalhar ? Um grande abraco pra voce ! Do seu colega e, quica, futuro amigo Paulo Santa Rita 4,1042,09052001 From: Rui Viana [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Sobre o Problema 3N+1 Date: Tue, 08 May 2001 19:43:25 -0300 Oi Paulo, Eu soh queria dizer que esse problema do 3N+1 eh um dos que mais me fascina na matematica. Assim como o ultimo teorema de Fermat, ele tem uma formulacao bem simples e ainda estah em aberto. A diferenca eh que esse problema naum eh tao famoso quanto o de Fermat e eh isso que me fascina nele. Eu realmente naum sei quais as implicacoes matematicas de uma possivel solucao ou contra-prova, mas ainda assim de vez em quando eu dou uma pensada nele. A sua ideia eh bem natural , e faz sentido. Resta saber quao dificil saum as demonstracoes do buraco. Um outro jeito de olhar eh contruindo uma arvore que comeca no 1 e vai descendo assim : 1 2 4 8 16 325 6410 . Dai tentar achar algum padrao na posicao de cada numero. sei lah... Seria muito legal se a lista se envolvesse nesse problema, apresentando material relativo ao problema, ideias, solucoes.. []'s Rui Viana From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED]
ajuda
Se f e g são funções reais de variáveis reais, definidas por: f(x) = x.(x+1)(x-1) (f o g)(x) = 2 ^ x - 8 ^ x Determinar a lei de formação da função g.
Re: ajuda
2^x-8^x=2^x(1-2^2x)=2^x(1-2^x)(1+2^x)=(-2^x)(-2^x+1)(-2^x-1), assim g(x)=-2^x. Deve ser isso. Abraco, Salvador On Wed, 9 May 2001 [EMAIL PROTECTED] wrote: Se f e g são funções reais de variáveis reais, definidas por: f(x) = x.(x+1)(x-1) (f o g)(x) = 2 ^ x - 8 ^ x Determinar a lei de formação da função g.
Re: A importancia dos Mestres
On Wed, 9 May 2001, Paulo Santa Rita wrote: Ola Pessoal, Nao sei se voces perceberam, mas os Prof que comumente orientam a Nossa Lista estao sumidos ... Faz bastante tempo que nao vemos uma mensagem matematica dos Prof´s Nicolau, Wagner,Jose Paulo, Ralph, Morgado, Gustavo Tamm e muitos outros ... Atendendo a pedidos, aí vai um problema muito clássico mas sempre interessante. Uma máquina engole bolinhas numeradas 1, 2, ..., n nesta ordem. Dentro da máquina as bolinhas ficam empilhadas, a última que entrou em cima. A qualquer momento a máquina pode cuspir a bolinha que está no topo de sua pilha interna (desde que a pilha não esteja vazia). Seja a_n o número de seqüências diferentes que podem ser cuspidas. Calcule a_n. Exemplo: Para n = 3 temos a_n = 5: ececec - 123 eceecc - 132 eeccec - 213 eececc - 231 eeeccc - 321 onde 'e' e 'c' significam respectivamente 'engole' e 'cospe' Os primeiros valores são 1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796. Este problema tem uma resposta simples que pode ser obtida de muitas formas diferentes. []s, N.
Re: Sobre o Problema 3N+1
Seria interessante que vcs compartilhassem idéias e descobertas na lista, para que possamos todos contribuir... - Original Message - From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Quarta-feira, 9 de Maio de 2001 12:45 Subject: Re: Sobre o Problema 3N+1 Ola Rui e Colegas da Lista, Tudo Legal ? Eu avancei bastante na compreensao deste problema, desde que o Prof Nicolau o apresentou. Mas desde entao não me ocupei mais com ele. Se voce quiser, nos podemos trabalhar nele juntos. Consegui o seguinte : 1) Mapear todos os numeros que com certeza atendem a conjetura, associando a cada um uma sequencia finita de numeros naturais. 2) Para cada sequencia, conseguo determinar o expoente ^que faz com que S^p(N)=1 3) Associar a este mapeamente uma rede bastante complicada. Aqui eu parei. Minha intuicao : Se existe um numero tal que não existe p com S^p(N)=1, isto implica que as sucessivas aplçicaçoes de S conduzirao a uma sequencia infinita. A ideia e mostrar que isto e impossivel. Como fazer esta prova : Estudando as propriedades topologicas da rede ( voce chama de arvore ). Eu terminei me desinteressando pela questao, pois me envolvi com outras temas tambem emocionantes ( acredito que descobri as colunas ocultas do triangulo de Pascal, o que me permite falar em sequencias aritmeticas de ordem racional. Isto esta diretamente ligado a serie de euler : 1 + 1/4 + 1/9 + ... = (pi)^2/6 agora entendo que a formulacao correta - Tio Euler nao viu isso - e : 1 + 1/4 + 1/9 + ... = (1/3!)*(1 - 1/3 + 1/5 ...)*(1 - 1/3 + 1/5 ... ). É o teorema das colunas generalizado. posso portanto pensar em encontrar o valor de : 1 + 1/2^r + 1/3^r + ... A partir daqui surge a funcao : F(r) = 1 + 1/2^r + 1/3^r + ... Ora, esta funcao e um plano vertical cortando a funcao mais geral : F(z) = 1 + 1/2^z + 1/3^z + ... E isto esta ligado a Conjectura de Riemnam. ) Voce deve ser novo na Lista. Nao me lembro de nenhuma mensagem sua anteriormente. Se assim for, seja bem vindo. Eu sou abandonante ( realmente : abandonante = abandonando ) de Engenharia migrando para Matematica. Se voce quer discutir Matematica, sem frescura e estrelismos, vai ser legal a nossa correspondencia. Um Grande abraco pra voce Paulo Santa Rita 4,0944,09052001 From: Rui Viana [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Sobre o Problema 3N+1 Date: Tue, 08 May 2001 19:43:25 -0300 Oi Paulo, Eu soh queria dizer que esse problema do 3N+1 eh um dos que mais me fascina na matematica. Assim como o ultimo teorema de Fermat, ele tem uma formulacao bem simples e ainda estah em aberto. A diferenca eh que esse problema naum eh tao famoso quanto o de Fermat e eh isso que me fascina nele. Eu realmente naum sei quais as implicacoes matematicas de uma possivel solucao ou contra-prova, mas ainda assim de vez em quando eu dou uma pensada nele. A sua ideia eh bem natural , e faz sentido. Resta saber quao dificil saum as demonstracoes do buraco. Um outro jeito de olhar eh contruindo uma arvore que comeca no 1 e vai descendo assim : 1 2 4 8 16 325 6410 . Dai tentar achar algum padrao na posicao de cada numero. sei lah... Seria muito legal se a lista se envolvesse nesse problema, apresentando material relativo ao problema, ideias, solucoes.. []'s Rui Viana From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Sobre o Problema 3N+1 Date: Mon, 07 May 2001 14:10:47 Ola Pessoal ! Pelo que me lembro, o problema 3N+1 foi apresentado a esta lista pelo Prof Nicolau. Este problema tambem e conhecido como problema de Siracura, dentre outras designacoes. Ele pode ser enunciado como segue : Seja F:N - N uma funcao, tal que F(n) = 3n+1, se n e impar F(n) = n/2, se n e par. Se definirmos : F^p(n)=F(F(F(F(...(p)..., isto e, F^p(n) e a composicao de F com ela mesma p vezes, entao : CONJECTURA : Para todo n natural, existe um p natural tal que F^p(n)=1. Este conjectura, pelo que sei, esta em aberto. Muitos Matematicos de Escol tentaram prova-la, sem sucesso. Claramente que isso nao significa que qualquer um de nos tambem nao tera sucesso ... Aqui nos DISCUTIMOS PROBLEMAS. Nao significa que sempre precisamos apresentar uma solucao pronta. Podemos inicia-la, podemos clarificar alguns aspectos ou apenas apresentar ideias : e a discussao ! O problema acima leva-nos a lembrar dos BLACK HOLE ( Buraco Negro ) ou SORVEDOUROS ... Com efeito, se para algum n impar aplicarmos F(n)=3n+1 e o resultado por uma potencia de 2, entao a ulterior aplicacao de F(n)=n/2 ira nos conduzir fatalmente a 1. Isto mostra que a sequencia 2,4,8,16,...,2^p,... funciona como um BLACK HOLE ou SORVEDOURO, de forma que podemos refornular a conjectura da seguinte maneira : CONJECTURA1 : Para todo n natural, existe um p
Re: ajuda
Note que g(x) = - 2^x. Pois, f(x) = x^3 - x e f(g(x)) = 2^x - (2^x)^3, logofaça 2^x = -y, daí temos f(g(x)) = y^3 - y, ou seja, g(x) = -2^x é solução. Como f é função, a solução é única. Abraços, Villard ! -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quarta-feira, 9 de Maio de 2001 12:16 Assunto: ajuda Se f e g são funções reais de variáveis reais, definidas por: f(x) = x.(x+1)(x-1) (f o g)(x) = 2 ^ x - 8 ^ x Determinar a lei de formação da função g.
Re: Sobre o Problema 3N+1
Ola Alexandre e Colegas da Lista, Saudacoes a Todos ! E muito boa a sua observacao... Os alunos-membros desta lista, como eu, em geral sao estudantes serios que buscam algo mais do conhecimento, de forma que uma boa parte de nos ja descobriu uma ou outra coisa interessante. Eu penso que as pesquisas que fazemos como estudantes e uma forma de entreter nossas mentes, pois as Faculdades e muitos Prof´s de faculdade tornam os assuntos desinteressantes e mediocres, os livros adotados sao umas porcarias, de forma que nao nos resta outro caminho senao buscar desafios pessoais que possam satisfazer nossa curiosidade e ansia de saber. Neste sentido, esta Lista e um refugio e um prazer ! Muitos colegas aqui sao brilhantes e ja descobriram fatos dignos de se transformarem em artigos de revistas especializadas. De cabeca eu lembro agora do meu amigo Bruno Leite ( Sobre sequencia harmonica e teorema de bertrand ), do Duda ( acho que sobre numeros perfeitos ), do Benjamim Hinricks ( equacao de Jacobi), Bruno Paleo e varios outros. Tenho certeza que todos eles podem mostrar inovacoes e resultados interessantes, pois sao pessoas inteligentes, serias e dedicadas. Em atencao a sua mensagem, vou citar a primeira descoberta que eu fiz. Isso ocorreu a muito tempo, ha mais de 8 anos ou 9 anos. Eu estava na 8 serie e fazia uma prova para ingressar em uma escola de nivel medio, publica e federal. Se eu tivesse ingressado nesta escola, deveria seguir uma carreira nao-cientifica. As ideias chegaram no momento da prova e eu acabei a prova correndo e comecei a rabiscar na prancheta o que tinha percebido : foi neste momento que eu percebi que nao deveria seguir a carreira a que estaria submetido se ingressasse naquela escola ! Houveram varios outros exames e eu so consegui me livrar no ultimo, o exame medico, quando o medico colocou um colirio nos meus olhos e eu fingi que era um mister magoo ... Estava livre para seguir meu coracao ! A ideia que entao me ocorreu e de como tratar de forma elegante as progressoes aritmeticas de ordem maior que 1. Todos conhecem a formas classica de uma PA : An = A1 + (N-1)*R Se notarmos que R=A2 - A1, entao : An = A1 + (N-1)*(A2 - A1) An = BINOM(N-1,0)*A1 + BINOM(N-1,1)*(A2 - A1) OBS : BINOM(N,P)=N!/(P!*(N-P)!). SE NP ENTAO BINOM(N,P)=0 Para obter a soma : A1 = BINOM(0,0)*A1 A2 = BINOM(1,0)*A1 + BINOM(1,1)*(A2-A1) A3 = BINOM(2,0)*A1 + BINOM(2,1)*(A2-A1) ... AN= BINOM(N-1,0)*A1 + BINOM(N-1,1)*(A2-A1) Somando membro a membro e aplicando o TEOREMA DAS COLUNAS do triangulo de Pascal : Sn = BINOM(N,1)*A1 + BINOM(N,2)*(A2-A1) Ate aqui parece que apenas mudamos a roupagem de formulas tradicionais. Mas e bem assim. Vejamos : Uma PA de 2 ordem (PA2) é uma PA cuja diferença entre cada termo e seu antecessor e uma PA de 1 ordem (PA1). Entao : A2 - A1 = a1 A3 - A2 = a2 A4 - A3 = a3 ... An - An-1 = an-1 Somando tudo : An - A1 = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 mas a1 + a2 + a3 + ... + an-1 e uma PA1. Ja conhecemos as formulas dela. Aplicando : An - A1 = BINOM(N-1,1)*a1 + BINOM(N-1,2)*(a2-a1) como a1=A2 -A1 e a2-a1=(A3-A2)-(A2-A1)=A3-2*A2+A1, fica : An - A1 = BINOM(N-1,1)*(A2-A1) + BINOM(N-1,2)*(A3-2*A2+A1) An=A1 + BINOM(N-1,1)*(A2-A1) + BINOM(N-1,2)*(A3-2*A2+A1) An=BINOM(N-1,0)*A1 + BINOM(N-1,1)*(A2-A1) + BINOM(N-1,2)*(A3-2*A2+A1) Para obter a soma : A1 = BINOM(0,0)*A1 A2 = BINOM(1,0)*A1 + BINOM(1,1)*(A2-A1) A3 = BINOM(2,0)*A1 + BINOM(2,1)*(A2-A1) + BINOM(2,2)*(A3-2*A2+A1) ... AN= BINOM(N-1,0)*A1 + BINOM(N-1,1)*(A2-A1)+ BINOM(N-1,2)*(A3-2*A2+A1) Somando tudo e aplicando o teorema das colunas do traingulo de pascal : Sn = BINOM(N,1)*A1 + BINOM(N,2)*(A2-A1) + BINOM(N,3)*(A3-2*A2+A1) Voce pode aplicar o mesmo raciocinio para obter as formulas para soma e termo geral de progressoes aritmeticas de uma ordem K qualquer. O que eu fiz naquela epoca e muito mais amplo do que o que eu estou mostrando aqui. Mas eu precisaria escrever muito para mostrar tudo e, sobretudo, falar sobre as vantagens de abordar os temas desta maneira em relacao as formas classicas. Estas coisas me interessaram porque na epoca eu nao estava satisfeito com o TEOREMA BRUCUTU, que levava-me a um maldito sistema trabalhoso : A SOMA DOS TERMOS DE UMA PA DE ORDEM k E UM POLINOMIO DE GRAU k+1. Eu queria saber qual a cara deste polinomio, mas nenhum livro ou prof me ensinava como era ( talvez isso nao existisse ). Ai eu tive que partir para a pesquisa solitaria. O resultado abaixo e belo : Se elevarmos todos os termos de uma PA de ordem K ao expoente R, teremos uma PA de ordem K*R OBS : as PA´s constante, tipo : 1,1,1, ou 2,2,2,2 são progressoes aritmeticas de ordem zero. E preciso isso para que o teorema acima nao tenha inconsistencia. Vou enunciar agora um Teorema de Geometria : O semi-perimetro de um triangulo nunca nunca e menor que a soma dos produtos de cada lado pelo cosseno do angulo oposto. Isto e : p = a*cos(A) + b*cos(B) + c*cos(C) Em homenagem a um professor, eu batizei
Re: A importancia dos Mestres
Caro Paulo. Obrigado pelas suas palavras, mas eu tenho escrito para a lista. Ontem mesmo, mandei um sobre o somatorio de n/2^n. JP - Original Message - From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, May 09, 2001 2:08 PM Subject: A importancia dos Mestres Ola Pessoal, Nao sei se voces perceberam, mas os Prof que comumente orientam a Nossa Lista estao sumidos ... Faz bastante tempo que nao vemos uma mensagem matematica dos Prof´s Nicolau, Wagner,Jose Paulo, Ralph, Morgado, Gustavo Tamm e muitos outros ... Estes nossos Mestres trazem, com suas mensagens, as centelhas que ativam o nosso interesse. Eles conhecem questoes interessantes que congregam os interesses de quase todos ... A presenca deles e suas opinioes sao fundamentais : sem elas, parece ate o sol se pos e que so nos resta dormir ... O que esta havendo ? Onde estao nossos orientadores ? O Prof Nicolau falou sobre o Problema 3N+1, O prof Ralph propos a questao sobre campeonatos, Prof Jose Paulo falou sobre os numeros de jacobi, Prof Wagner sobre a reta de Euler etc etc. Eu realmente sinto falta desses Mestres Legais, verdaeiro amigos que nos esclarecem e nos incentivam ! Mudando de assunto : Ontem, na hora do almoco, fui visitar uma livraria. La encontrei alguns livros de um autor chamado Luis Lopes. Nao sei se o Luis Lopes, colega nosso desta lista e o mesmo Luis Lopes autor dos Livros. O certo e que os Livros tem uma virtude inegavel : uma extensa lista de exercicios nao-triviais. Para quem quer se preparar para vestibulares, concursos e olimpiadas, os livros me pareceram muito bons. Vale a pena compra-los ( para quem puder ). O tempo era curto e nao pude ver a parte teorica. Alguns livros estao em frances. Como o frances e facil de ler, nao acho que isto constitui um problema. Ainda nesta vertente, todos sabem que existe uma colecao : Fundamentos de Matematica Elementar, MUITO BOA PARA INICIANTES. Para quem quer se aprofundar, nao. Por que os Professores desta Lista nao se reunem e lancam uma colecao : APROFUNDAMENTOS DE MATEMATICA ELEMENTAR ? isto implica em deixar o trivial para OS FUNDAMENTOS e, quem quiser se aprofundar, compra OS APROFUNDAMENTOS. E apenas uma ideia. Um abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1108,09052001 _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Sobre o Problema 3N+1
Sauda,c~oes (e ao Paulo Santa Rita em particular),
Sejam a_i o termo geral de uma PA de ordem k e S_n a soma a_1 + a_2 + ... +
a_n. Temos os seguintes resultados:
a_i = a_1 + Delta a_1 binom{i-1}{1} + Delta^2 a_1 binom{i-1}{2} + ... +
Delta^k a_1 binom{i-1}{k}
S_n = a_1 binom{n}{1} + Delta a_1 binom{n}{2} + Delta^2 a_1 binom{n}{3} +
... +
Delta^k a_1 binom{n}{k+1},
onde Delta^n a_i = sum (-1)^j binom{n}{j} a_{i+n-j} para j = 0,1,2,...n
(para a prova, ver meu livro de Indução).
Então, para i=1, temos:
Delta^1 a_1 = Delta a_1 = a_2 - a_1
Delta^2 a_1 = a_3 - 2a_1 + a_1
Delta^3 a_1 = a_4 - 3a_3 + 3a_2 - a_1
.
Seja a seqüência 1,3,19,61,141,271...
a_i 1319 61 141
271
Delta a_i216 42 80
130
Delta^2 a_i 14 2638 50
Delta^3 a_i 12 12 12
PA de ordem k=3
a_1 = 1Delta a_1 = 2 Delta^2 a_1 = 14 Delta^3 a_1 = 12
a_i = 2i^3 - 5i^2 + 3i + 1
S_n = (3n^3 - 4n^2 - 3n + 10)n / 6
E todos os problemas deste tipo estão resolvidos.
O resultado abaixo e belo :
Se elevarmos todos os termos de uma PA de ordem K ao expoente R, teremos
uma
PA de ordem K*R
Isto é um corolário do seguinte teorema:
Teorema: A seqüência {a_i} é uma PA de ordem k se e somente se seu termo
geral a_i é um polinômio de grau k em i.
Prova: ver meu livro de Prog.
Portanto, o termo geral a_i do exemplo acima será um pol. de grau 3 e S_n,
um pol. de grau 4 (sem termo independente).
[ ]'s
Lu'is
-Mensagem Original-
De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Quarta-feira, 9 de Maio de 2001 21:08
Assunto: Re: Sobre o Problema 3N+1
Ola Alexandre e
Colegas da Lista,
Saudacoes a Todos !
E muito boa a sua observacao... Os alunos-membros desta lista, como eu, em
geral sao estudantes serios que buscam algo mais do conhecimento, de forma
que uma boa parte de nos ja descobriu uma ou outra coisa interessante.
Eu penso que as pesquisas que fazemos como estudantes e uma forma de
entreter nossas mentes, pois as Faculdades e muitos Prof´s de faculdade
tornam os assuntos desinteressantes e mediocres, os livros adotados sao umas
porcarias, de forma que nao nos resta outro caminho senao buscar desafios
pessoais que possam satisfazer nossa curiosidade e ansia de saber.
Neste sentido, esta Lista e um refugio e um prazer !
Muitos colegas aqui sao brilhantes e ja descobriram fatos dignos de se
transformarem em artigos de revistas especializadas. De cabeca eu lembro
agora do meu amigo Bruno Leite ( Sobre sequencia harmonica e teorema de
bertrand ), do Duda ( acho que sobre numeros perfeitos ), do Benjamim
Hinricks ( equacao de Jacobi), Bruno Paleo e varios outros. Tenho certeza
que todos eles podem mostrar inovacoes e resultados interessantes, pois sao
pessoas inteligentes, serias e dedicadas.
Em atencao a sua mensagem, vou citar a primeira descoberta que eu fiz.
Isso ocorreu a muito tempo, ha mais de 8 anos ou 9 anos. Eu estava na 8
serie e fazia uma prova para ingressar em uma escola de nivel medio, publica
e federal. Se eu tivesse ingressado nesta escola, deveria seguir uma
carreira nao-cientifica. As ideias chegaram no momento da prova e eu acabei
a prova correndo e comecei a rabiscar na prancheta o que tinha percebido :
foi neste momento que eu percebi que nao deveria seguir a carreira a que
estaria submetido se ingressasse naquela escola ! Houveram varios outros
exames e eu so consegui me livrar no ultimo, o exame medico, quando o medico
colocou um colirio nos meus olhos e eu fingi que era um mister magoo ...
Estava livre para seguir meu coracao !
A ideia que entao me ocorreu e de como tratar de forma elegante as
progressoes aritmeticas de ordem maior que 1.
Todos conhecem a formas classica de uma PA :
An = A1 + (N-1)*R
Se notarmos que R=A2 - A1, entao :
An = A1 + (N-1)*(A2 - A1)
An = BINOM(N-1,0)*A1 + BINOM(N-1,1)*(A2 - A1)
OBS : BINOM(N,P)=N!/(P!*(N-P)!). SE NP ENTAO BINOM(N,P)=0
Para obter a soma :
A1 = BINOM(0,0)*A1
A2 = BINOM(1,0)*A1 + BINOM(1,1)*(A2-A1)
A3 = BINOM(2,0)*A1 + BINOM(2,1)*(A2-A1)
...
AN= BINOM(N-1,0)*A1 + BINOM(N-1,1)*(A2-A1)
Somando membro a membro e aplicando o TEOREMA DAS COLUNAS do triangulo de
Pascal :
Sn = BINOM(N,1)*A1 + BINOM(N,2)*(A2-A1)
Ate aqui parece que apenas mudamos a roupagem de formulas tradicionais. Mas
e bem assim. Vejamos :
Uma PA de 2 ordem (PA2) é uma PA cuja diferença entre cada termo e seu
antecessor e uma PA de 1 ordem (PA1).
Entao :
A2 - A1 = a1
A3 - A2 = a2
A4 - A3 = a3
...
An - An-1 = an-1
Somando tudo :
An - A1 = a1 + a2 + a3 + ... + an-1
mas a1 + a2 + a3 + ... + an-1 e uma PA1. Ja conhecemos as formulas dela.
Aplicando :
An - A1 = BINOM(N-1,1)*a1 + BINOM(N-1,2)*(a2-a1)
como a1=A2 -A1 e a2-a1=(A3-A2)-(A2-A1)=A3-2*A2+A1, fica :
An - A1 = BINOM(N-1,1)*(A2-A1) + BINOM(N-1,2)*(A3-2*A2+A1)
An=A1 + BINOM(N-1,1)*(A2-A1) + BINOM(N-1,2)*(A3-2*A2+A1)
Re: A importancia dos Mestres
Oi gente: Oi Paulo: Estou meio sumido por absoluta falta de tempo, mas estou atento a nossa lista. O Luis Lopes que voce citou eh o mesmo que participa da lista. Conheco Luis ha muito tempo, desde quando morava no Canada. Nessa epoca, trocavamos correspondencia (via correio) sobre problemas. A colecao de livros que voce descobriu eh otima mas, o melhor, acho que voce ainda nao conhece: o Manual de Construcao de Triangulos. Tem tudo o que se possa imaginar sobre o tema e mais ainda. Sao 371 problemas de construcao de triangulos com solucoes detalhadas. Obra prima. Abraco, Wagner. -- From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: A importancia dos Mestres Date: Wed, May 9, 2001, 7:08 Ola Pessoal, Nao sei se voces perceberam, mas os Prof que comumente orientam a Nossa Lista estao sumidos ... Faz bastante tempo que nao vemos uma mensagem matematica dos Prof´s Nicolau, Wagner,Jose Paulo, Ralph, Morgado, Gustavo Tamm e muitos outros ... Estes nossos Mestres trazem, com suas mensagens, as centelhas que ativam o nosso interesse. Eles conhecem questoes interessantes que congregam os interesses de quase todos ... A presenca deles e suas opinioes sao fundamentais : sem elas, parece ate o sol se pos e que so nos resta dormir ... O que esta havendo ? Onde estao nossos orientadores ? O Prof Nicolau falou sobre o Problema 3N+1, O prof Ralph propos a questao sobre campeonatos, Prof Jose Paulo falou sobre os numeros de jacobi, Prof Wagner sobre a reta de Euler etc etc. Eu realmente sinto falta desses Mestres Legais, verdaeiro amigos que nos esclarecem e nos incentivam ! Mudando de assunto : Ontem, na hora do almoco, fui visitar uma livraria. La encontrei alguns livros de um autor chamado Luis Lopes. Nao sei se o Luis Lopes, colega nosso desta lista e o mesmo Luis Lopes autor dos Livros. O certo e que os Livros tem uma virtude inegavel : uma extensa lista de exercicios nao-triviais. Para quem quer se preparar para vestibulares, concursos e olimpiadas, os livros me pareceram muito bons. Vale a pena compra-los ( para quem puder ). O tempo era curto e nao pude ver a parte teorica. Alguns livros estao em frances. Como o frances e facil de ler, nao acho que isto constitui um problema. Ainda nesta vertente, todos sabem que existe uma colecao : Fundamentos de Matematica Elementar, MUITO BOA PARA INICIANTES. Para quem quer se aprofundar, nao. Por que os Professores desta Lista nao se reunem e lancam uma colecao : APROFUNDAMENTOS DE MATEMATICA ELEMENTAR ? isto implica em deixar o trivial para OS FUNDAMENTOS e, quem quiser se aprofundar, compra OS APROFUNDAMENTOS. E apenas uma ideia. Um abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1108,09052001 _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Símbolos
Olá a todos. Acabei de entrar na lista e estou com certa dificuldade quanto aos símbolos matemáticos usados no computador. Já sei o que significam os símbolos * e /, mas o que significa o símbolo ^? Obrigada, Tatiana _ Do You Yahoo!? Get your free @yahoo.com address at http://mail.yahoo.com
Re: Sobre o Problema 3N+1
Boa Noite: Sobre o problema 3n+1 e variantes. Uma leitura bastante atual acerca desse problema é o livro de Günter J. Wirshing, The Dynamical System Generated by the 3n+1 Functio (Lecture Notes in Math. #1681, Springer-Verlag). O capítulo 1 é de leitura bastante simples e dá uma boa idéia do estado da arte no assunto, até 1998. Bom divertimento. Manuel Garcia
Re: Símbolos
Tatiana, Este símbolo significa exponenciação: 2^3 (2 elevado ao cubo) Paulo José (Fortaleza) - Original Message - From: Tatiana Peclat [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, May 09, 2001 10:48 PM Subject: Símbolos Olá a todos. Acabei de entrar na lista e estou com certa dificuldade quanto aos símbolos matemáticos usados no computador. Já sei o que significam os símbolos * e /, mas o que significa o símbolo ^? Obrigada, Tatiana _ Do You Yahoo!? Get your free @yahoo.com address at http://mail.yahoo.com
Re: Símbolos
Oi Tatiana, tudo bem? Aqui é a outra Taty da lista.. bem, o ^ significa elevado.. beijinhos TATY - Original Message - From: Tatiana Peclat [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, May 09, 2001 10:48 PM Subject: Símbolos Olá a todos. Acabei de entrar na lista e estou com certa dificuldade quanto aos símbolos matemáticos usados no computador. Já sei o que significam os símbolos * e /, mas o que significa o símbolo ^? Obrigada, Tatiana _ Do You Yahoo!? Get your free @yahoo.com address at http://mail.yahoo.com
Re: Sobre o Problema 3N+1
Um livro que trata do problema do 3n+1 e de vários outros problemas em aberto é Old and New Unsolved Problems in Plane Gometry and Number Theory (Victor Klee and Stan Wagon) MAA - Dolciani Mathematical Expositions - No 11 Paulo José (Fortaleza) - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, May 09, 2001 10:54 PM Subject: Re: Sobre o Problema 3N+1 Boa Noite: Sobre o problema 3n+1 e variantes. Uma leitura bastante atual acerca desse problema é o livro de Günter J. Wirshing, The Dynamical System Generated by the 3n+1 Functio (Lecture Notes in Math. #1681, Springer-Verlag). O capítulo 1 é de leitura bastante simples e dá uma boa idéia do estado da arte no assunto, até 1998. Bom divertimento. Manuel Garcia
Re: Símbolos
x ^ y significa x elevado a y. []s David Olá a todos. Acabei de entrar na lista e estou com certa dificuldade quanto aos símbolos matemáticos usados no computador. Já sei o que significam os símbolos * e /, mas o que significa o símbolo ^? Obrigada, Tatiana
