Re: dúvida
Um automóvel comporta dois passageiros nos bancos da frente e três no detrás. Calcule o número de alternativas distintas para lotar o automóvel com pessoas escolhidas dentre sete, de modo que uma dessas pessoas nunca ocupe um lugar nos bancos da frente Vamos chamar de (A) a pessoa que nunca pode ocupar o banco da frente. Quando (A) ocupa um dos bancos de trás sobram 6 pessoas para ocupar os outros quatro bancos e portanto temos arranjo(6,4) = 360 maneiras distintas,mas como (A) pode acupar três bancos então o total de maneiras distintas são 3*360 = 1080. http://www.ieg.com.br
Traducao dos Problemas Russos
Ola Pessoal, Tudo Legal ? Talvez interesse a alguns estudantes que se preparam para Olimpiadas a traducao que fiz dos 100 primeiros problemas russos. Coloquei em formato Word para Windows. Como nao podemos remeter para esta lista mensagens com arquivos anexados, quem se interessar em ter estas traducoes basta me enviar um pedido por e-mail que responderei com as traducoes anexadas. Acrescento abaixo o primeiro problema : 1) Dados 12 vértices e 16 arestas dispostos como no diagrama abaixo : X-X-X | | | X--X--X--X--X | | | | X--X-X--X Prove que qualquer curva que não passa por qualquer dos vértices mas que cruza todas as arestas devera cruzar ao menos uma das aresta mais de uma vez. Um Grande abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1251,141101 _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito! http://explorer.msn.com.br
Re: dúvida
Arnaldo wrote: Um automóvel comporta dois passageiros nos bancos da frente e três no detrás. Calcule o número de alternativas distintas para lotar o automóvel com pessoas escolhidas dentre sete, de modo que uma dessas pessoas nunca ocupe um lugar nos bancos da frente Vamos chamar de (A) a pessoa que nunca pode ocupar o banco da frente. Quando (A) ocupa um dos bancos de trás sobram 6 pessoas para ocupar os outros quatro bancos e portanto temos arranjo(6,4) = 360 maneiras distintas,mas como (A) pode acupar três bancos então o total de maneiras distintas são 3*360 = 1080. Hum... Praticamente correto. Se o cidadão estiver no carro, então realmente teremos 1080 maneirs de arrumar todo mundo. Mas ele pode ficar de fora, por quê não? Nesse caso, teríamos 6 pessoas para distribuir em 5 lugares. Fazendo as contas, temos 720 maneiras. Somando os dois casos (com A e sem A), temos 1080+720=1800. []'s Alexandre Tessarollo PS: O povo daqui não vai comentar a prova do IME deste ano não? Estava interessantíssima, especialmente se tentarmos resolvê-la APENAS com conteúdo de 2º grau/Ensino Médio...
Re: dúvida
concordo com o alexandre a prova do IME deste ano foi bem elaborada, embora eu ache que duas questões estavem pesadas demais para alunos de 2 grau( 7 e a 9) devemos lamentar também uma falha grave no enunciado da questão 8 valeu luis felipe - Original Message - From: Alexandre Tessarollo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, November 14, 2001 2:02 PM Subject: Re: dúvida Arnaldo wrote: Um automóvel comporta dois passageiros nos bancos da frente e três no detrás. Calcule o número de alternativas distintas para lotar o automóvel com pessoas escolhidas dentre sete, de modo que uma dessas pessoas nunca ocupe um lugar nos bancos da frente Vamos chamar de (A) a pessoa que nunca pode ocupar o banco da frente. Quando (A) ocupa um dos bancos de trás sobram 6 pessoas para ocupar os outros quatro bancos e portanto temos arranjo(6,4) = 360 maneiras distintas,mas como (A) pode acupar três bancos então o total de maneiras distintas são 3*360 = 1080. Hum... Praticamente correto. Se o cidadão estiver no carro, então realmente teremos 1080 maneirs de arrumar todo mundo. Mas ele pode ficar de fora, por quê não? Nesse caso, teríamos 6 pessoas para distribuir em 5 lugares. Fazendo as contas, temos 720 maneiras. Somando os dois casos (com A e sem A), temos 1080+720=1800. []'s Alexandre Tessarollo PS: O povo daqui não vai comentar a prova do IME deste ano não? Estava interessantíssima, especialmente se tentarmos resolvê-la APENAS com conteúdo de 2º grau/Ensino Médio...
Re: Traducao dos Problemas Russos
Caro Paulo Santa Rita Gostaria sim de ter suas traduções. Parabéns pelo domínio do idioma russo. Arconcher. - Original Message - From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED]; [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, November 14, 2001 2:52 PM Subject: Traducao dos Problemas Russos Ola Pessoal, Tudo Legal ? Talvez interesse a alguns estudantes que se preparam para Olimpiadas a traducao que fiz dos 100 primeiros problemas russos. Coloquei em formato Word para Windows. Como nao podemos remeter para esta lista mensagens com arquivos anexados, quem se interessar em ter estas traducoes basta me enviar um pedido por e-mail que responderei com as traducoes anexadas. Acrescento abaixo o primeiro problema : 1) Dados 12 vértices e 16 arestas dispostos como no diagrama abaixo : X-X-X | | | X--X--X--X--X | | | | X--X-X--X Prove que qualquer curva que não passa por qualquer dos vértices mas que cruza todas as arestas devera cruzar ao menos uma das aresta mais de uma vez. Um Grande abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1251,141101 _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito! http://explorer.msn.com.br
problema
Quem não conseguir fazer pelo menos diga uma idéia.Esta forma é a chamada forma infixa(forma no qual nós escrevemos) , mas existem as formas prefixa e posfixa(esta última usada em expressoes algébricas em compiladores pois se trata de uma forma mais eficiente de interpretar uma expressão algébrica).Depois digo como é a forma posfixa.Mas por favor tentem resolver essa questào para mim. Seja uma sequencia de operandos e operadores mostrados como abaixo: A+B.C; Separando por parenteses poderiamos obter duas expressões algébricas: (A+B).C ou A+(B.C); Repare que temos três operandos e dois operadores(multiplicação e soma).Dada uma sequencia de n operandos e n-1 operadores ,de quantas formas diferentes se pode formar expressões algébricas separadas por parenteses??? obs:Obviamente que a sequencia começa por um operando e termina com outro operando. ___ Yahoo! GeoCities Tenha seu lugar na Web. Construa hoje mesmo sua home page no Yahoo! GeoCities. É fácil e grátis! http://br.geocities.yahoo.com/
IME (era: Re:dúvida)
luis felipe wrote: concordo com o alexandre a prova do IME deste ano foi bem elaborada, embora eu ache que duas questões estavem pesadas demais para alunos de 2 grau( 7 e a 9) devemos lamentar também uma falha grave no enunciado da questão 8 valeu luis felipe Já que ninguém comenta, comento eu. Comecemos pela questão 9. Resolva a equação sqrt(5-sqrt(5-x))=x sabendo-se que x0. Eu já devo ter visto umas 4 soluções diferentes, mas em quase todas havia pelo menos um passo não justificado ou questionável... Uma delas era: Seja f(x) = sqrt(5-x). Temos f(f(x))=x. Logo, f(x)=f^(-1)(x). Aí vem a parte é fácil ver que os gráficos de f(x) e de f^(-1)(x) se cruzam sobre a reta y=x. A partir daí, temos f(x)=x, resolve-se uma equação do segundo grau e pronto. Mas falta demonstrar a parte é fácil ver... Outra diz: Aplicando f(x) nela mesma 2n vezes, com n tendendo ao infinito, teremos f(f(f(f((f(x))...=x. Logo, podemos trocar todos os f(f(f...(f(x))...))) de dentro do primeiro f por x. Assim teremos f(x)=x e novamente é só resolver a eq do segundo grau. A solução, olhando com carinho, está certa, mas foi utilizado o conceito de limite. Ainda há uma terceira, esta já sem erros mas um pouco mais longa. Trata-se da solução do Poliedro: Como x0 e real, temos que 0x5. Tome y=sqrt(5-x) (I). A equação original transforma-se em sqrt(5-y)=x (II) Elevando I e II ao quadrado, temos: y^2=5-xIII x^2=5-yIV Fazendo III-IV, temos y^2-x^2=y-x (y+x)(y-x)=y-x (y+x)(y-x)-(y-x)=0 (y-x)(y+x-1)=0 Segue que y-x=0V OU y+x-1=0VI De V segue a nossa equação do segundo grau. Considerando o intervalo 0x5, só teremos uma resposta - a certa. Falta examinar VI. Substituindo-a em III ou IV, teremos uma equação do segundo grau que resulta só uma resposta no intervalo 0x5. Contudo, como elevamos ao quadrado as eqs I e II p/chegarmos a III e IV, precisamos verificar via teste se essas duas soluções servem ou não. Fazendo isso só teremos a resposta correta... Há ainda uma resposta, esta feita pelo Prof. Raul Agostino: Elevando a equação ao quadrado e arrumando, temos: 5-x=sqrt(5-x) Elevando novamente, temos: 25-10x^2+x^2=5-x O que todo mundo tenta daqui em diante é somar tudo num lado só, chegar num polinômio do QUARTO grau e não conseguir resolvê-lo - ele não possui raízes óbvias, sequer inteiras... O pulo do gato segue abaixo, se vc não quiser ver, pare aqui.. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Bum!! Brincadeirinha... :0) Olhando com MUITO carinho e MUITA boa vontade, podemos arrumar a equação assim: 25-(2x^2+1)5+x^4+x=0 Um olho treinado verá uma equação do SEGUNDO grau em CINCO. Isso mesmo, algo da forma a(5^2)+b(5)+c=0. Resolvendo, teremos: 5=(2x^2+1 +-sqrt(4x^4+4x^2+1-4x^4-4x))/2 Dentro da raiz fica 4x^2+1-4x = (2x-1)^2. Tirando a raiz, deveríamos colocar o módulo mas, como já existe o +-, basta colocar direto mesmo. Fica: 5=(2x^2+1 +-(2x-1))/2 Resolvendo e respeitando os intervalos, teremos a solução... []'s Alexandre Tessarollo
RES: dúvida
Concordo que as provas de Matematica e Fisica do IME deste ano estavam interessantes. As questoes 7 e 9 eram realmente mais dificeis, mas elas nao eram exatamente piores para alunos de 2o grau do que de 3o.. Para os que nao viram a prova, vcs podem acha-la em www.ime.eb.br. A questao 7 envolve uma figura, mas a 9 eu coloco aqui: Se x0, resolva: sqrt[5-sqrt(5-x)] = x. Existem muitas solucoes interessantes para essa questao. Uma delas (bastante interessante por sinal) pode ser encontrada em www.gpi.g12.br. Uma outra, tmb interessante, pode ser encontrada em www.pensi.com.br. Uma solucao um pouco mais natural foi distribuida pelo curso Elite (nao sei o endereco na internet). Mas a ideia mais simples possivel para um aluno eh simplesmente elevar ao quadrado, como sempre e a questao nao fica tao dificil assim qto parece: Eleve ao quadrado, deixe a raiz que sobra sozinha e eleve ao quadrado de novo. Vc cai numa equacao de 4o grau. Essa equacao nao tem raizes racionais (se nao ninguem precisava dizer q a questao era dificil :). Como a questao nao pode ser impossivel, vc tenta uma fatoracao um pouco menos obvia, do tipo (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) e iguala cada coeficiente com o da eq. q vc tem. Quase que imediatamente, vc cai numa eq. do 3o grau em ´a´ que tem 1 como raiz e ai eh bem facil achar os outros termos da fatoracao. As contas sao bem rapidas, da pra fazer. O interessante eh que esse tipo de abordagem tem de fato mtas chances de funcionar sempre. Se nao desse certo, i.e, se a equacao em ´a´ nao tivesse raiz racional, entao a fatoracao acima teria ´a´ irracional, e dificilmente a multiplicacao entre os dois polinomios daria um polinomio de coeficientes inteiros (claro q isso eh possivel, e ´dificilmente´ eh mto subjetivo.) Quanto a questao 8, gostaria de tirar uma duvida aqui na lista. Me disseram que a definicao de paralelogramo pode ser estendida para o R^n e nesse caso um paralelogramo no R^3 pode ser entendido como um paralelepipedo. Tentei fazer a questao nesse caso e nao consegui. Alguem tem alguma sugestao? (se supusermos o paralelepipedo retangulo fica facil, mas e no caso geral). A questao eh: Dado um paralelepipedo (na prova era paralelogramo) de lados a,b,c e area total dada S, determine quando o volume desse solido eh maximo. (acho que estava assim na prova). (aceito ajuda pro caso geral!!) Cabe lembrar que foi divulgado no site oficial do IME que essa questao sera anulada, sendo atribuido 0.5 ponto a todos os candidatos. Ja a questao da parabola (vejam no site) eh mais dificil de ser feita com o conteudo normal do 2o grau. Se vc conhece um pouco das propriedades da parabola (os alunos de 2o grau provavelmente ja as estudaram em fisica) vc consegue. De outro modo, uma opcao pra achar a tangente a uma PARABOLA em P eh pegar uma reta generica passando por P e forcar ela a nao ter nenhuma outra intersecao com a parabola. No geral, achei as provas legais, ambas possiveis de serem feitas com o conteudo de ensino medio. Mta gente reclamou da ultima questao da prova de Fisica. De fato, ela tinha um item, cujo valor individual nao passa de 3 decimos, que era mais complicado para um aluno de ensino medio. Mas com as dicas da prova, e uma analise dimensional sortuda, o candidato poderia ter chegado a resposta do problema.. Mas o meu conselho para o pessoal que vai fazer a prova do IME eh estudar e ter uma ideia inicial de Calculo.. Ajuda bastante, e faz muito pouco tempo que calculo saiu do programa da prova do IME. Abracos, Marcio -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de luis felipe Enviada em: quarta-feira, 14 de novembro de 2001 13:48 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: dúvida concordo com o alexandre a prova do IME deste ano foi bem elaborada, embora eu ache que duas questões estavem pesadas demais para alunos de 2 grau( 7 e a 9) devemos lamentar também uma falha grave no enunciado da questão 8 valeu luis felipe Alexandre Tessarollo PS: O povo daqui não vai comentar a prova do IME deste ano não? Estava interessantíssima, especialmente se tentarmos resolvê-la APENAS com conteúdo de 2º grau/Ensino Médio...
Re: IME (era: Re:dúvida)
sqrt(5-sqrt(5-x))=x Mknha solução é uma mistura de tudo o que você falou No braço, elevando ao quadrado e tal: 5-sqrt(5-x)=x^2 5-x^2=sqrt(5-x) 25-10x^2+x^4=5-x x^4-10x^2+x+20=0 Agora note que as raízes de sqrt(5-x)=x são raízes da equação original, certo (eu não disse TODAS)? Isto dá uma dica de que o meu polinômio de quarto grau deve ser divisível por x^2+x-5 De fato, aquela equação se torna: (x^2+x-5)(x^2-x-4)=0 E agora é fácil achar as 4 raízes x1=(-1+sqrt(21))/2 x2=(-1-sqrt(21))/2 x3=(1+sqrt(17))/2 x4=(1-sqrt(17))/2 Mas o processo de elevar ao quadrado pode introduzir raízes estranhas! Por exemplo, olhe a equação original e note que x=0, o que invalida x2 e x4. De fato, para reverter os passos onde elevamos ao quadrado, temos de verificar duas coisas: i) 5-x^2=0 ii) x=0 Para x1, note que x1=5, então sqrt(5-x1)=x1; portanto sqrt(5-sqrt(5-x1))=sqrt(5-x1)=x1 satisfaz a equação. Para x3, note que x3^2=(18+2sqrt(17))/4=20/4=5, e, portanto, 5-x3^2=0; assim, x3 não serve! Assim, a única solução é x1=(sqrt(21)-1)/2. Abraço, Ralph
RES: IME (era: Re:dúvida)
Oi Alexandre! Bom, acabei de comentar essa questao :)) Acho que o pessoal nao comentou pq a lista estava com problemas! Quanto as suas observacoes, cabem alguns comentarios! A primeira solucao que vc coloca (divulgada pelo gpi) eh essencialmente identica a ´solucao do Poliedro´ (trocando y por f(x)). A maioria dos alunos de ensino medio sabem ateh mais do que o que vc disse. Sabem que se vc tem uma bijecao de A em ACR e vc coloca os dois graficos num mesmo eixo, entao eles sao simetricos em relacao a bissetriz y=x e em particular soh podem se encontrar sobre a reta. Soh nao concordo que a segunda solucao esteja totalmente correta, embora a ideia seja legal. Nao me parece obvio, a principio, que a sequencia f(f(f( .. .f(x) ))) seja convergente (talvez ateh seja e eu nao esteja vendo o motivo direto). De fato, eh quase que imediato do enunciado que se a sequencia tiver sempre um numero par de f´s, entao ela converge (de fato eh constante qdo x satisfaz a equacao dada). Se tem um numero impar de f´s, ela tmb converge (tmb eh constante). Falta mostrar que esses dois valores sao iguais, e isso eh mto parecido com resolver o problema inicial.. Uma solucao feita desse jeito esta eh www.pensi.com.br Vc vai inclusive notar varias semelhancas entre essa e a sua penultima solucao, pq essencialmente o problema final eh o mesmo. A sua ultima solucao eh bastante legal. Essa foi a solucao do curso Elite, que eu falei no ultimo email. Nao conheco esse professor que vc cita, mas se nao me engano, essa solucao tambem foi dada em prova, por um aluno do elite. t+ Marcio -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Alexandre Tessarollo Enviada em: quarta-feira, 14 de novembro de 2001 18:18 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: IME (era: Re:dúvida) luis felipe wrote: concordo com o alexandre a prova do IME deste ano foi bem elaborada, embora eu ache que duas questões estavem pesadas demais para alunos de 2 grau( 7 e a 9) devemos lamentar também uma falha grave no enunciado da questão 8 valeu luis felipe Já que ninguém comenta, comento eu. Comecemos pela questão 9. Resolva a equação sqrt(5-sqrt(5-x))=x sabendo-se que x0. Eu já devo ter visto umas 4 soluções diferentes, mas em quase todas havia pelo menos um passo não justificado ou questionável... Uma delas era: Seja f(x) = sqrt(5-x). Temos f(f(x))=x. Logo, f(x)=f^(-1)(x). Aí vem a parte é fácil ver que os gráficos de f(x) e de f^(-1)(x) se cruzam sobre a reta y=x. A partir daí, temos f(x)=x, resolve-se uma equação do segundo grau e pronto. Mas falta demonstrar a parte é fácil ver... Outra diz: Aplicando f(x) nela mesma 2n vezes, com n tendendo ao infinito, teremos f(f(f(f((f(x))...=x. Logo, podemos trocar todos os f(f(f...(f(x))...))) de dentro do primeiro f por x. Assim teremos f(x)=x e novamente é só resolver a eq do segundo grau. A solução, olhando com carinho, está certa, mas foi utilizado o conceito de limite. Ainda há uma terceira, esta já sem erros mas um pouco mais longa. Trata-se da solução do Poliedro: Como x0 e real, temos que 0x5. Tome y=sqrt(5-x) (I). A equação original transforma-se em sqrt(5-y)=x (II) Elevando I e II ao quadrado, temos: y^2=5-xIII x^2=5-yIV Fazendo III-IV, temos y^2-x^2=y-x (y+x)(y-x)=y-x (y+x)(y-x)-(y-x)=0 (y-x)(y+x-1)=0 Segue que y-x=0V OU y+x-1=0VI De V segue a nossa equação do segundo grau. Considerando o intervalo 0x5, só teremos uma resposta - a certa. Falta examinar VI. Substituindo-a em III ou IV, teremos uma equação do segundo grau que resulta só uma resposta no intervalo 0x5. Contudo, como elevamos ao quadrado as eqs I e II p/chegarmos a III e IV, precisamos verificar via teste se essas duas soluções servem ou não. Fazendo isso só teremos a resposta correta... Há ainda uma resposta, esta feita pelo Prof. Raul Agostino: Elevando a equação ao quadrado e arrumando, temos: 5-x=sqrt(5-x) Elevando novamente, temos: 25-10x^2+x^2=5-x O que todo mundo tenta daqui em diante é somar tudo num lado só, chegar num polinômio do QUARTO grau e não conseguir resolvê-lo - ele não possui raízes óbvias, sequer inteiras... O pulo do gato segue abaixo, se vc não quiser ver, pare aqui.. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Bum!! Brincadeirinha... :0) Olhando com MUITO carinho e MUITA boa vontade, podemos arrumar a equação assim: 25-(2x^2+1)5+x^4+x=0 Um olho treinado verá uma equação do SEGUNDO grau em CINCO. Isso mesmo, algo da forma a(5^2)+b(5)+c=0. Resolvendo, teremos: 5=(2x^2+1 +-sqrt(4x^4+4x^2+1-4x^4-4x))/2 Dentro da raiz fica 4x^2+1-4x = (2x-1)^2. Tirando a raiz, deveríamos colocar o módulo mas, como já existe o +-, basta colocar direto mesmo. Fica: 5=(2x^2+1 +-(2x-1))/2 Resolvendo e respeitando os intervalos, teremos a solução... []'s Alexandre Tessarollo
RES: RES: IME (era: Re:dúvida)
Uma referencia que eu achei aqui em casa pode ser o livro Fundamentos da Matematica Elementar, VOL 1, Gelson Iezzi e Carlos Murakami. A muito tempo nao mexo nesses livros, mas gostava muito deles no 2o grau. Na pagina 238 do meu livro (7a edicao da editora Atual) tem o item Propriedades dos graficoes de f e f^-1 que trata exatamente disso. Marcio -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Alexandre Tessarollo Enviada em: quarta-feira, 14 de novembro de 2001 19:23 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: RES: IME (era: Re:dúvida) M. A. A. Cohen wrote: Quanto as suas observacoes, cabem alguns comentarios! A primeira solucao que vc coloca (divulgada pelo gpi) eh essencialmente identica a ´solucao do Poliedro´ (trocando y por f(x)). De fato é. Só que o Poliedro faz o trabalho sujo e o GPI pura e simplesmente joga um é fácil ver e pronto. A maioria dos alunos de ensino medio sabem ateh mais do que o que vc disse. Sabem que se vc tem uma bijecao de A em ACR e vc coloca os dois graficos num mesmo eixo, entao eles sao simetricos em relacao a bissetriz y=x e em particular soh podem se encontrar sobre a reta. Hum... Isso validaria a solução do GPI, mas eu honestamente não me lembro de ter visto isto em nenhum livro de segundo grau. Se vc puder dar referências, agradeço...
Re: IME (era: Re:dúvida)
Na verdade é possível resolver para o caso geral sqrt(a-sqrt(a-x))=x sabendo-se que x0. Essa foi a segunda maneira que eu, particularmente, enxerguei... a primeira foi a de aplicar infinitas vezes f(x) = sqrt(5-x), que pra mim foi a mais imediata... Voltando ao caso geral, a idéia é resolver a equacao de segundo grau em a... Essa nao foi a primeira e nem será a última vez que se resolve uma equacao em x por um artifício desses... eu já tinha utilizado este artifício para uma equacao MUITÍSSIMO parecida com este caso geral... Dentre as 4 respostas obtidas para x, apenas uma é a correta... Se alguém desejar, eu mostro em detalhes, mas nao creio q seja necessário... -Mensagem Original- De: Alexandre Tessarollo [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Quarta-feira, 14 de Novembro de 2001 19:17 Terezan Assunto: IME (era: Re:dúvida) luis felipe wrote: concordo com o alexandre a prova do IME deste ano foi bem elaborada, embora eu ache que duas questões estavem pesadas demais para alunos de 2 grau( 7 e a 9) devemos lamentar também uma falha grave no enunciado da questão 8 valeu luis felipe Já que ninguém comenta, comento eu. Comecemos pela questão 9. Resolva a equação sqrt(5-sqrt(5-x))=x sabendo-se que x0. Eu já devo ter visto umas 4 soluções diferentes, mas em quase todas havia pelo menos um passo não justificado ou questionável... Uma delas era: Seja f(x) = sqrt(5-x). Temos f(f(x))=x. Logo, f(x)=f^(-1)(x). Aí vem a parte é fácil ver que os gráficos de f(x) e de f^(-1)(x) se cruzam sobre a reta y=x. A partir daí, temos f(x)=x, resolve-se uma equação do segundo grau e pronto. Mas falta demonstrar a parte é fácil ver... Outra diz: Aplicando f(x) nela mesma 2n vezes, com n tendendo ao infinito, teremos f(f(f(f((f(x))...=x. Logo, podemos trocar todos os f(f(f...(f(x))...))) de dentro do primeiro f por x. Assim teremos f(x)=x e novamente é só resolver a eq do segundo grau. A solução, olhando com carinho, está certa, mas foi utilizado o conceito de limite. Ainda há uma terceira, esta já sem erros mas um pouco mais longa. Trata-se da solução do Poliedro: Como x0 e real, temos que 0x5. Tome y=sqrt(5-x) (I). A equação original transforma-se em sqrt(5-y)=x (II) Elevando I e II ao quadrado, temos: y^2=5-xIII x^2=5-yIV Fazendo III-IV, temos y^2-x^2=y-x (y+x)(y-x)=y-x (y+x)(y-x)-(y-x)=0 (y-x)(y+x-1)=0 Segue que y-x=0V OU y+x-1=0VI De V segue a nossa equação do segundo grau. Considerando o intervalo 0x5, só teremos uma resposta - a certa. Falta examinar VI. Substituindo-a em III ou IV, teremos uma equação do segundo grau que resulta só uma resposta no intervalo 0x5. Contudo, como elevamos ao quadrado as eqs I e II p/chegarmos a III e IV, precisamos verificar via teste se essas duas soluções servem ou não. Fazendo isso só teremos a resposta correta... Há ainda uma resposta, esta feita pelo Prof. Raul Agostino: Elevando a equação ao quadrado e arrumando, temos: 5-x=sqrt(5-x) Elevando novamente, temos: 25-10x^2+x^2=5-x O que todo mundo tenta daqui em diante é somar tudo num lado só, chegar num polinômio do QUARTO grau e não conseguir resolvê-lo - ele não possui raízes óbvias, sequer inteiras... O pulo do gato segue abaixo, se vc não quiser ver, pare aqui.. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Bum!! Brincadeirinha... :0) Olhando com MUITO carinho e MUITA boa vontade, podemos arrumar a equação assim: 25-(2x^2+1)5+x^4+x=0 Um olho treinado verá uma equação do SEGUNDO grau em CINCO. Isso mesmo, algo da forma a(5^2)+b(5)+c=0. Resolvendo, teremos: 5=(2x^2+1 +-sqrt(4x^4+4x^2+1-4x^4-4x))/2 Dentro da raiz fica 4x^2+1-4x = (2x-1)^2. Tirando a raiz, deveríamos colocar o módulo mas, como já existe o +-, basta colocar direto mesmo. Fica: 5=(2x^2+1 +-(2x-1))/2 Resolvendo e respeitando os intervalos, teremos a solução... []'s Alexandre Tessarollo
