Re: Probleminha
Ola Humberto, Bem-Vindo ! Se a+b1 entao a1-b. Imagine agora um quadrado de lado b dentro do quadrado de lado 1 ... Qualquer que seja a posicao deste quadrado, o maximo que podera sobrar na direcao vertical bem como na horiontal e 1-b. Mas a 1-b. Logo, nao e possivel colocar um outro quadrado de lado sem que haja superposicao das figuras. Se alguem raciocinasse assim, eu aceitaria, mas suspeito que nao e isso que voce quer ver ... Seja um sistema cartesiano ortogal. Imagine um quadrado no primeiro quadrante com um vertice na posicao (0,0). Escolha um ponto (X,Y) neste quadrado como centro de um quadrado de lado b. Usando os lados do quadrado de lado b como suporte, trace as quatro retas. Isso vai permitir a voce delimitar, no maximo, oito retangulos. Usando o fato de que : 1) a 1-b 2) se c d nao e possivel colocar totalmente dentro de um retangulo de altura d um quadrado de lado c, qualquer que seja a largura do retangulo. Mostre que em nenhumas das regioes ( no maximo oito ) cabera o quadrado de lado a Se mesmo assim voce nao ficar satisfeito, voce deve saber que esta lidando com FORMAS e nao somente com NUMEROS. Ha algum tempo atras eu li um livro sobre FORMAS MODULARES no qual o autor mostrava como representar analiticamente ( por equacoes com diversos niveis de modulos ) as diversas figuras lineares, tais como quadrados, losangos etc. Esta e a maneira mais geral, mas eu nao estou me lembrando agora destas equacoes e li tal livro em uma biblioteca. Bom, eu vou ficando por aqui ... Mesmo porque agora surgiu um problema legal : eu nao me lembro o autor e o titulo do livro acima e gosto de fazer experiencias mentais, trazendo para a memoria com clareza fatos ha muito vividos. Um abraco pra voce ! Paulo Santa Rita 5,1325,170102 From: Humberto Naves [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Probleminha Date: Wed, 16 Jan 2002 21:12:43 -0300 (ART) Oi Pessoal, Sou novo aqui na lista, e estou propondo um probleminha legal que encontrei. Não o resolvi ainda, tentei por Geometria Analitica e chegou numa desigualdade, quando acabar mando a solucao (Como posso mandar uma figura atraves da lista). Problema: Prove que eh impossivel colocar dentro de um quadrado de lado 1, dois quadrados de lados a e b, com a+b1, sem superposicao. Esse problema foi proposto por P. Erdos e outro matematico que naum me lembro! Obrigado, Humberto Silva Naves ___ Yahoo! GeoCities Tenha seu lugar na Web. Construa hoje mesmo sua home page no Yahoo! GeoCities. É fácil e grátis! http://br.geocities.yahoo.com/ _ Associe-se ao maior serviço de e-mail do mundo através do MSN Hotmail. http://www.hotmail.com/br
Re: Probleminha
On Wed, Jan 16, 2002 at 09:12:43PM -0300, Humberto Naves wrote: Oi Pessoal, Sou novo aqui na lista, e estou propondo um probleminha legal que encontrei. Não o resolvi ainda, tentei por Geometria Analitica e chegou numa desigualdade, quando acabar mando a solucao (Como posso mandar uma figura atraves da lista). Você pode mandar attachments de figuras desde que eles sejam pequenos. Problema: Prove que eh impossivel colocar dentro de um quadrado de lado 1, dois quadrados de lados a e b, com a+b1, sem superposicao. Esse problema foi proposto por P. Erdos e outro matematico que naum me lembro! Não sei fazer (na verdade acabo de ler o problema e não pensei) mas parece um pouco o problema da Ibero: Quantos quadrados de lado menor do que 1/2 são necessários para cobrir um quadrado de lado 1? Bem, o problema da Ibero era provar que 5 quadrados não bastam... []s, N.
Re: Probleminha (ampliacao)
Ola Pessoal,
Um detalhe : O Problema abaixo, apresentado pelo Humberto, nao informa se os
quadrados de lados a e b podem estar com seus lados inclinados em
relacao aos lados do quadrado original ( de lado unitario ). Eu estou
supondo que exige-se que os quadrados de lados a e b mantenham os seus
lados paralelos aos lados do quadrado original.
Se eu entendi mal o problema, vale dizer, se se permite que os quadrados de
lados a e b podem ser inclinados, a solucao fica diferente :
1) Estabeleca um sistema de eixos cartesianos ortogonais. Considere um
quadrado de lado unitario TOTALMENTE DENTRO DO PRIMEIRO QUADRANTE com um
vertice na origem deste sistema de eixos.
Os pares (X,Y) que compoe este quadrado, sao, obviamente , os que satisfazem
as inequacoes : 0 = X = 1 e 0 = Y = 1
2) Um quadradindo de lado a dentro do quadrado acima pode ser
caracterizado univocamente de diversas maneiras. Em particular, pode ser
caracterizado por um par nao-ordenado {(Xa,Ya),M }, onde (Xa,Ya) e o centro
do quadradindo e M a inclinacao de um de seus lados.
3) Os lados do quadradinho estao contidos em equacoes da forma :
Ys=Mx + S, Yi=Mx + I, yi'=(1/M)X + I' e ys'=(1/M)X + S'. Para qualquer
ordenada de um ponto no quadradinho existem duas das retas acima, uma
inferior ( I ou I' ) e outra Superior ( S ou S') tal que
I ( ou I')= y = S ( ou S')
4) As abscissas dos pontos que compoe o quadradinho satisfazem uma inequacao
da forma :
A x B
( A e B saem facilmente em funcao de M, de a e de (Xa,Ya))
Exemplo : a*(sen(M) + cos(M)) e a distancia horizontal entre os vertices
leste e oeste.
5) Os passos acima vao caracterizar um quadrinho como um conjunto de
inequacoes. Montando as inequacoes para o quadradinho de lado b, Centro
(Xb,Yb) e inclinacao N, mostre que se a+b1 e (X,Y) varia no quadradinho de
lado unitario, para qualquer M,N existe ao menos um ponto que satisfaz os
dois sistemas de inequacoes.
6) EstE foi um ESBOCO DE SOLUCAO ... NO BRACO ! E feia mas e um caminho.
Melhor que nao ter ideia alguma de como encarar o problema. Imagino que ha
alguma forma mais elegante de caracterizar os quadradinhos e, portanto, de
mostrar a necessaria intersecao que eles devem ter. Esta caraterizacao
elelgante, inclusive, serviria para tratar muitos outros problemas
semelhantes. Alguem se habilita ?
Um abraco
Paulo Santa Rita
5,1544,170102
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: Probleminha
Date: Thu, 17 Jan 2002 15:28:37
Ola Humberto,
Bem-Vindo !
Se a+b1 entao a1-b. Imagine agora um quadrado de lado b dentro do
quadrado de lado 1 ... Qualquer que seja a posicao deste quadrado, o maximo
que podera sobrar na direcao vertical bem como na horiontal e
1-b. Mas a 1-b. Logo, nao e possivel colocar um outro quadrado de lado
sem que haja superposicao das figuras.
Se alguem raciocinasse assim, eu aceitaria, mas suspeito que nao e isso que
voce quer ver ...
Seja um sistema cartesiano ortogal. Imagine um quadrado no primeiro
quadrante com um vertice na posicao (0,0). Escolha um ponto (X,Y) neste
quadrado como centro de um quadrado de lado b. Usando os lados do
quadrado
de lado b como suporte, trace as quatro retas. Isso vai permitir a voce
delimitar, no maximo, oito retangulos. Usando o fato de que :
1) a 1-b
2) se c d nao e possivel colocar totalmente dentro de um retangulo de
altura d um quadrado de lado c, qualquer que seja a largura do
retangulo.
Mostre que em nenhumas das regioes ( no maximo oito ) cabera o quadrado de
lado a
Se mesmo assim voce nao ficar satisfeito, voce deve saber que esta lidando
com FORMAS e nao somente com NUMEROS. Ha algum tempo atras eu li um livro
sobre FORMAS MODULARES no qual o autor mostrava como representar
analiticamente ( por equacoes com diversos niveis de modulos ) as diversas
figuras lineares, tais como quadrados, losangos etc. Esta e a maneira
mais
geral, mas eu nao estou me lembrando agora destas equacoes e li tal livro
em
uma biblioteca.
Bom, eu vou ficando por aqui ... Mesmo porque agora surgiu um problema
legal
: eu nao me lembro o autor e o titulo do livro acima e gosto de fazer
experiencias mentais, trazendo para a memoria com clareza fatos ha muito
vividos.
Um abraco pra voce !
Paulo Santa Rita
5,1325,170102
From: Humberto Naves [EMAIL PROTECTED]
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Subject: Probleminha
Date: Wed, 16 Jan 2002 21:12:43 -0300 (ART)
Oi Pessoal,
Sou novo aqui na lista, e estou propondo um
probleminha legal que encontrei. Não o resolvi ainda,
tentei por Geometria Analitica e chegou numa
desigualdade, quando acabar mando a solucao (Como
posso mandar uma figura atraves da lista).
Problema:
Prove que eh impossivel colocar dentro de um
quadrado de lado 1, dois quadrados de lados a e b, com
a+b1, sem superposicao.
Esse problema foi proposto por P. Erdos e outro
matematico que naum me lembro!
Obrigado,
Humberto Silva Naves
IMPORTANTE: Mudou a data da OBM
Atenção: Como diz a Nelly, há várias notícias de interesse na home page da OBM mas uma que vocês não podem deixar de notar é: | | | A data da 1a fase da OBM mudou.| | A nova data é sábado, 8 de junho de 2002 | | | A data anteriormente marcada era 1 de junho que cai no meio de um feriado prolongado. Como sempre, o horário oficial de início da prova é 14 horas (hora de Brasília) mas há uma certa tolerância. Notem que dia 8 de manhã há um jogo do Brasil na copa. On Wed, Jan 16, 2002 at 06:58:22PM -0200, Olimpiada Brasileira de Matematica wrote: Caros(as) amigos(as) da lista: Temos novidades publicadas no nosso site, confiram! http://www.obm.org.br/ []s, N.
Re: Probleminha (ampliacao)
On Thu, Jan 17, 2002 at 05:48:05PM +, Paulo Santa Rita wrote: Ola Pessoal, Um detalhe : O Problema abaixo, apresentado pelo Humberto, nao informa se os quadrados de lados a e b podem estar com seus lados inclinados em relacao aos lados do quadrado original ( de lado unitario ). Eu estou supondo que exige-se que os quadrados de lados a e b mantenham os seus lados paralelos aos lados do quadrado original. Acho que o problema *não* supõe nada sobre a inclinação dos quadrados. Aliás não sei fazer o problema (mas também não pensei muito) e tenho a impressão de que não deve ser fácil. []s, N. PS: Para quem não identificou o Humberto, verifiquem na home page da OBM as medalhas que ele ganhou. :-)
Vinganca Olimpica
Está na home page da OBM a prova da vingança olímpica. Tem uns problemas bem legais. Aqui três que sobreviveram à tradução para texto sem dar muito trabalho a este preguiçoso tradutor: (4 pontos) Seja ABCD um quadrilátero inscritível. P é o encontro das diagonais e O é o circuncentro de ABCD. Sejam X e Y os circuncírculos dos triângulos ABO e CDO, respectivamente. Sejam M e N os pontos médios dos arcos AB (de X) e CD (de Y) que não passam por O. Prove que M, N e P são colineares. (5 pontos) Ache todos os pares de inteiros positivos m, n tais que exista um poliedro de modo que cada vértice do poliedro é vértice de exatamente três faces poligonais regulares, uma de n lados e duas de m lados. (6 pontos) Em uma festa do cabide, os convidados estão inicialmente com suas respectivas roupas. Em um dado instante, o anfitrião escolhe um convidado e esse convidado, junto com todos os seus amigos devem despir-se caso estejam vestidos e colocar suas roupas caso estejam pelados. É possível que em um dado instante, todos estejam nus? (observação: a amizade é uma relação recíproca) Boa sorte, []s, N.
A+B1
Oi Pessoal, O Problema não supoe que os lados sejam paralelos aos do quadrado de lado 1. Por falar nisso, a desigualdade que lhes falei funciona quando os lados dos quadrados (quadrados de lados a e b) forem paralelos (nao necessariamente paralelos aos lados do quadrado de lado 1 :-). Achei meio estranha a demonstracao do Paulo Santa Rita, ela ta certa??? Estranho!! Acho que acabei o problema, vou mandar para a lista logo logo, so deixa eu verificar e terminar de escrever, mas por favor me mandem uma outra solucao, se possivel. Abracos, Humberto Silva Naves ___ Yahoo! GeoCities Tenha seu lugar na Web. Construa hoje mesmo sua home page no Yahoo! GeoCities. É fácil e grátis! http://br.geocities.yahoo.com/
Unicamp-ontem
Olá amigos da lista, Ontem aconteceu a prova da Unicamp de segunda fase de Matemática e me parece que havia um problema com mais de uma solução. Trata-se do problema número quatro : "Uma transportadora entrega, com caminhões, 60 toneladas de açúcar por dia. Devido a problemas operacionais, em um certo dia cada caminhão foi carregado com 500Kg a menos que o usual, tendo sido necessário, naquele dia, alugar mais 4 caminhões. a) Quantos cam. foram necessários ? b) Quantos quilos transportou cada cam. ? " Há uma resposta feita por diversos alunos e publicada pelos cursinhos a)24 e b)2500. Não tenho dúvidas que quem propôs a questão pensou só nessa resposta. Um aluno meu com bons resultados em olimpíadas equacionou : 4 . 60/x = 0,5 . x (achando que x é raiz de 480) 3 . 60/y = 0,5 . y (achando que y é raiz de 360) Ele concluiu que o número de caminhões poderia ser 19 ou 20 ou 21, que seriam necessários mais 4 para corrigir o erro. A questão é : os problemas operacionais também fizeram com que os novos 4 caminhões fossem carregados com 500Kg a menos ? E também : esses 4 caminhões estavam totalmente cheios? Agradeço pela atenção, Raul
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Exercícios
olá pessoal , vocês devem estar perguntando o que eram esses pontinhos ae num é? Foi mal galéra , é que eu não conseguia mandar uma mensagem para a lista ,dae eu testei aqui algumas mudanças e deu certo..por isso os pontos , era apenas um teste. -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
Continuação de(Olá amigos da lista , trago alguns exercícios bons.)
o outro é um problema de um triângulo inscrito em uma circunferência , mais que esta muito confuso , vou coloca-lo exatamente como esta aqui no livro , porque não tive praticamente nenhuma idéia , só consegui desenhar +/- e enxergar algumas coisinhas grato.. : ) 1) Seja ABCD um quadrilátero qualquer onde os lados opostos NÃO são paralelos . Se as medidas dos lados opostos AB e DC são, respectivamente ,igual a 12 e 16 , um valor possível para o segmento de extremo M ( ponto médio do lado AD ) e N ( ponto médio do lado BC ) é: 2)Suponha que 1 (um ) naval (símbolo n )seja a medida de um ângulo convexo , menor que um ângulo reto , inscrito em um círculo de raio r , cujos lados determinam , nesse círculo , um arco de comprimento r . Assim sendo , a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a : -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
Exercícios bons 1
Olá amigos da lista ,queria primeiramente agradecer aqueles que me ajudaram a esclarecer algumas duvidas , em segundo queria responder a algumas perguntas que me foram feitas a respeito das questões que enviei .Uma delas era se realmente na primeira questão se tratava de um quadrado ?Sim , é um quadrado , eu também tive dificuldades em traça-lo . A outra que não foi uma pergunta e sim uma sugestão que também me valeu muito foi a que o Ralph me passou a respeito da solução do Ponce, inverter os vértices também é uma solução bem pensada.Queria aproveitar a ocasião para pedir que se alguém possuir problemas desse tipo ou sugestões de livros (quadriláteros inscritos Obs: Com um bom grau de dificuldade ) que coloquem na lista se possível ou em meu e-mail. -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
Re: Probleminha
Ol Humberto, Seja bem vindo a lista. O problema a que voc refere-se interessante e j estivesse trabalhando nele e outros propostos pelo famoso Erdos.Um outro famoso e a nivel do ensino mdio e a famosa desigualdade de Erdols-Mordell. Como pouco falou-se nesta lista sobre Erdos, acredito ser uma boa oportunidade para quem nunca escutou sobre ele venha conhece-lo. O seu talento sobre saiu-se desde cedo, sendo campeo de uma olimpiada de matemtica na Hungria, do inicio do seculo, no me lembro no momento o ano. Veja um depoimento interessante sobre esta pessoa incrivel, de Oliver Sacks: "A mathematical genius of the first order, Paul Erds was totally obsessed with his subject--he thought and wrote mathematics for nineteen hours a day until the day he died. He traveled constantly, living out of a plastic bag, and had no interest in food, sex, companionship, art--all that is usually indispensable to a human life." Vale a pena conferir nos sites abaixo, quem foi P. Erdos, considerado por muitos, o maior matemtico do seculo passado. http://www.paulerdos.com/ http://www.oakland.edu/~grossman/erdosdeath.html No site a seguir, sugiro que procure informaes sobre a compra do fantstico livro: Erdos on Graphs. http://math.ucsd.edu/~fan/epbook.html Um outro livro fantstico! Proofs from THE BOOK Onde aparecem provas Perfeitas com ideias brilhantes usadas em varios problemas interessantes da matemtica. Aqui tem a mo tambm deste famoso Matemtico P.Erdos. http://www.springer.de/cgi-bin/search_book.pl?isbn=3-540-67865-4#english Minha Sugesto com respeito a figura. Envie dois emais; um com a figura (colada ou inserida) apenas. e outro com a soluo (texto). Verifique se o Nicolau a favor desta sugesto ou tem alguma melhor. Um abrao, PONCE Humberto Naves wrote: Oi Pessoal, Sou novo aqui na lista, e estou propondo um probleminha legal que encontrei. No o resolvi ainda, tentei por Geometria Analitica e chegou numa desigualdade, quando acabar mando a solucao (Como posso mandar uma figura atraves da lista). Problema: Prove que eh impossivel colocar dentro de um quadrado de lado 1, dois quadrados de lados a e b, com a+b>1, sem superposicao. Esse problema foi proposto por P. Erdos e outro matematico que naum me lembro! Obrigado, Humberto Silva Naves ___ Yahoo! GeoCities Tenha seu lugar na Web. Construa hoje mesmo sua home page no Yahoo! GeoCities. fcil e grtis! http://br.geocities.yahoo.com/
Re: Continuação de(Olá amigos da lista , trago alguns exercícios bons.)
On Thu, 17 Jan 2002 [EMAIL PROTECTED] wrote: 2)Suponha que 1 (um ) naval (símbolo n )seja a medida de um ângulo convexo , menor que um ângulo reto , inscrito em um círculo de raio r , cujos lados determinam , nesse círculo , um arco de comprimento r . Assim sendo , a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a : Essa é mais fácil que parece. O valor do angulo com vértice na circunferência é metade do comprimento que ele delimita dividido pelo raio. Como o raio delimita uma curva de comprimento r e o raio é r, o angulo vale 1/2 radiano. Ou seja, 2 navais = 1 radiano Como a soma dos angulos internos do triângulo é pi radianos, isso é o mesmo que 2.pi navais! Bom, espero que eu tenha entendido o problema direito Até mais Vinicius José Fortuna
Re: Continuação de ...(ola amigos...)
Olá colegas da lista... aqui envio algumas soluções para os dois problemas... Primeira: obs: essa questão se não me engano é do colégio naval e como ele diz um valor possivel, lembro-me que dentre os valores das opções só havia um possivel(12,5).. aki segue uma solução para este: Trace uma diagonal(BD) e trace o seguemento pedido(chamemos MN, M e N ponto médio dos lados), agora marque o ponto médio da diagona(chame de O) e ligue-o a cada ponta do seguemento MN, note que um triangulo é formado, pois como os lados opostos NÃO são paralelos, os dois seguementos OM e ON não estarão na mesma reta, temos assim um triângulo de lados OM ON e MN, mas OM é um segmento paralelo e forma um triangulo(MOD) semelhante de razão 1/2 ao triangulo DAB, portanto OM vale metade de AB=12, faça o analogo para ON e temos OM=6 ON=8, e para o ultimo lado do triangulo OMN (MN) temos a relação de existência para um triângulo: 8- 6 MN 8+6 ou seja,2MN14, unica opção válida se não me engano era 12,5.. segue o desenho anexo.. Segunda: 1 naval é o angulo inscrito que corresponde ao arco r, já 2 navais é o ângulo do vértice(apoiado no centro da circunferencia) que corresponde a r... mas sabemos que 360 corresponde a 2.Pi.r .: 180 corresponde a Pi.r e dois navais a r... então 180/pi corresponde a dois navais, 180(some dos angulos internos de um triangulo) corresponde a 2navais.Pi perdoem-me algum erro(principalmente os de português :P), espero poder ter ajudado... abraço a todos.. []'s - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 17, 2002 11:26 PM Subject: Continuação de(Olá amigos da lista , trago alguns exercícios bons.) o outro é um problema de um triângulo inscrito em uma circunferência , mais que esta muito confuso , vou coloca-lo exatamente como esta aqui no livro , porque não tive praticamente nenhuma idéia , só consegui desenhar +/- e enxergar algumas coisinhas grato.. : ) 1) Seja ABCD um quadrilátero qualquer onde os lados opostos NÃO são paralelos . Se as medidas dos lados opostos AB e DC são, respectivamente ,igual a 12 e 16 , um valor possível para o segmento de extremo M ( ponto médio do lado AD ) e N ( ponto médio do lado BC ) é: 2)Suponha que 1 (um ) naval (símbolo n )seja a medida de um ângulo convexo , menor que um ângulo reto , inscrito em um círculo de raio r , cujos lados determinam , nesse círculo , um arco de comprimento r . Assim sendo , a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a : -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
