[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade com potências

[Douglas Oliveira de Lima]

Valeu Ralph, thanks.

Douglas Oliveira.

Em dom, 29 de abr de 2018 16:49, Ralph Teixeira 
escreveu:

> Que tal assim:
>
> POR BAIXO (BEM folgado): Como 3^3=27<32=2^5, temos
> 3^100<(3^3)^34<(2^5)^34=2^170. Portanto
> 3^100+2^100<2^170+2^100<2^170+2^170=2^171<2^200=4^100.
> POR CIMA (mais apertado!): Como 3^7=2187>2^11=2048, temos
> 3^100=9.(3^98)>9.(2^154)>(2^3).(2^154)=2^157. Somando 2^100, ficamos abaixo
> de 2.(2^157)=2^158=4^79.
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2018-04-29 13:09 GMT-03:00 Anderson Torres :
>
>> 2018-04-29 8:45 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima
>> :
>> > Prove que 4^79<2^100+3^100<4^100, usando matemática elementar.
>> >
>>
>> O desejo de trapacear isso com log é muito forte :)
>>
>> Isso equivale a mostrar que
>>
>> 2^158-2^100<3^100<2^200-2^100
>>
>> Ou
>>
>> (2^58-1)*2^100<3^100<(2^100-1)*2^100
>>
>> Ou talvez
>>
>> 2^58 < (3/2)^100+1 < 2^100
>>
>> Daqui, tenho poucas ideias para a desigualdade mais à esquerda...
>>
>> > Douglas Oliveira.
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade com potências

[Ralph Teixeira]

Que tal assim:

POR BAIXO (BEM folgado): Como 3^3=27<32=2^5, temos
3^100<(3^3)^34<(2^5)^34=2^170. Portanto
3^100+2^100<2^170+2^100<2^170+2^170=2^171<2^200=4^100.
POR CIMA (mais apertado!): Como 3^7=2187>2^11=2048, temos
3^100=9.(3^98)>9.(2^154)>(2^3).(2^154)=2^157. Somando 2^100, ficamos abaixo
de 2.(2^157)=2^158=4^79.

Abraco, Ralph.

2018-04-29 13:09 GMT-03:00 Anderson Torres :

> 2018-04-29 8:45 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima
> :
> > Prove que 4^79<2^100+3^100<4^100, usando matemática elementar.
> >
>
> O desejo de trapacear isso com log é muito forte :)
>
> Isso equivale a mostrar que
>
> 2^158-2^100<3^100<2^200-2^100
>
> Ou
>
> (2^58-1)*2^100<3^100<(2^100-1)*2^100
>
> Ou talvez
>
> 2^58 < (3/2)^100+1 < 2^100
>
> Daqui, tenho poucas ideias para a desigualdade mais à esquerda...
>
> > Douglas Oliveira.
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] áreas vs semelhança

[Anderson Torres]

Em 21 de abril de 2018 16:51, Claudio Buffara
 escreveu:
> A altura relativa à hipotenusa divide o triangulo retângulo em dois outros 
> semelhantes a ele.
> Daí e’ só operar com as proporções resultantes.
>
> Ceva por áreas tem logo no cap 1 do Geometry Revisited.
>
> Menelaus é equivalente a Ceva. Mas provar que Ceva ==> Menelaus é bem mais 
> difícil.
>
> O livro do Elon q eu mencionei tem uma definição axiomática de área.
>
> Abs
>
> Enviado do meu iPhone


Estive pensando nisso. Tecnicamente, tem pelo menos um teorema bem
interessante, que até lembro de ter resolvido na Eureka!

"Qualquer polígono pode ser recortado, e seus recortes reaaranjados,
de forma a formar um quadrado"

A ideia é bastante simples: primeiro, o polígono é recortado em
triângulos; segundo, cada triângulo é transformado em um paralelogramo
(base média), cada paralelogramo em um retângulo, e depois transformar
os retângulos em retângulos de lado 1. Depois disso, a vareta de
largura 1 formada pelo empilhamento desses retângulos é transformada
em um quadrado.

Todas essas transformações são meramente traçados de retas e
construção de triângulos semelhantes (mais precisamente, congruentes).
Isso pode ser a conexão entre áreas e semelhanças que se procura.

Por outro lado, a área de um triângulo é algo bem fácil: (base X
altura)/2 ou (ab * sinC)/2. Se for possível fazer uma teoria de
semelhanças que leve em conta essas fórmulas, já se pode traçar alguma
coisa.

>
> Em 21 de abr de 2018, à(s) 16:18, Anderson Torres 
>  escreveu:
>
>> Em 21 de abril de 2018 10:28, Claudio Buffara
>>  escreveu:
>>> Por exemplo, Pitágoras pode ser demonstrado por áreas e por semelhança.
>>> Ceva também.
>>
>> As demos de Pitágoras que conheço costumam usar recorta-e-cola.
>> Conheço uma muito boa que usa áreas e semelhança. Basicamente,
>> substitua os quadrados nos lados por triângulos retângulos semelhantes
>> ao próprio.
>>
>> Ceva? Bem, eu já vi Menelaus com áreas, devo dizer.
>>
>>> E nos elementos de Euclides, a proposição 3 do livro VI (essencialmente o 
>>> teorema de Tales) sai por áreas (apesar de depender da teria das 
>>> proporções de Eudoxo, descrita no livro V).
>>>
>>> De fato, minha conjectura deveria ser: dados os axiomas dos números reais, 
>>> áreas e semelhança são equivalentes.
>>>
>>
>> Novamente, não lembro de nenhum tratamento sistemático/axiomático de
>> áreas. Ainda não consigo imaginar um Cavalieri com semelhanças.
>>
>>> Abs
>>>
>>> Enviado do meu iPhone
>>>
>>> Em 21 de abr de 2018, Ã (s) 08:12, Anderson Torres 
>>>  escreveu:
>>>
 Em 18 de abril de 2018 08:53, Claudio Buffara
  escreveu:
> Considere o seguinte problema (fácil):
> No triângulo ABC, H é o pé da altura relativa ao vértice B e 
> K o pé da
> altura relativa ao vértice C (logo, H pertence à reta suporte de AC 
> e K Ã
> reta suporte de AB).
> Prove que AB*CK = AC*BH.
>
> Solução 1:
> 2*área(ABC) = AB*CK = AC*BH
>
> Solução 2:
> Os triângulos retângulos AHB e AKC são semelhantes (AHB = AKC = 
> 1 reto e A
> comum).
> Logo, AB/AC = BH/CK.
> Mas isso é equivalente a AB*CK = AC*BH.
>
> Este problema me levou à seguinte pergunta: será que as teorias de 
> área e de
> semelhança são equivalentes?
> Em outras palavras, será que tudo que pode ser provado via 
> considerações de
> área também pode ser provado por semelhança (e vice-versa)?
>

 Acredito que não. Não lembro muito bem de axiomas sobre áreas de
 figuras geométricas, mas sobre semelhança o mais importante é o 
 caso
 LAL. Na verdade, este é um postulado sobre congruências: "dois
 triângulo com dois lados e o ângulo entre eles iguais são iguais".

 Não imagino um postulado sobre áreas equivalente a isso.

 Por outro lado, também não conheço nenhum equivalente ao 
 Princípio de
 Cavalieri em termos de semelhança. De fato, isso parece insano :)

> []s,
> Claudio.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> 

[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade com potências

[Anderson Torres]

2018-04-29 8:45 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima
:
> Prove que 4^79<2^100+3^100<4^100, usando matemática elementar.
>

O desejo de trapacear isso com log é muito forte :)

Isso equivale a mostrar que

2^158-2^100<3^100<2^200-2^100

Ou

(2^58-1)*2^100<3^100<(2^100-1)*2^100

Ou talvez

2^58 < (3/2)^100+1 < 2^100

Daqui, tenho poucas ideias para a desigualdade mais à esquerda...

> Douglas Oliveira.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Exercício sobre Conjuntos

[Luiz Antonio Rodrigues]

Oi, Anderson!
Muito obrigado pela ajuda!
Um abraço!
Luiz

On Sun, Apr 29, 2018, 10:38 AM Anderson Torres 
wrote:

> Em 25 de abril de 2018 22:27, Jaare Oregim 
> escreveu:
> >
> >
> > 2018-04-07 17:14 GMT-03:00 Claudio Buffara :
> >>
> >>
> >> Mas se, por exemplo, 1 pertencer a A (o que não é vedado, a princípio,
> >> pelo enunciado), então A = N (supondo que 0 não é natural) ou então
> (supondo
> >> que 0 é natural)  N\{0} está contido em A.
> >> Ou seja, não é possível determinar qual o menor elemento de A. Apenas
> que
> >> este é <= 3.
> >>
> >> Mesmo supondo que 3 seja o menor elemento de A, não dá pra garantir que
> o
> >> próximo elemento é 3+3 = 6, pois as condições do enunciado não impedem
> que 4
> >> ou 5 pertençam a A.
> >>
> >> []s,
> >> Claudio.
> >
> >
> >
> > Parece-me claro que 3 deva ser o menor elemento já que a definição é
> > recursiva.
>
> Isso não é dito em momento algum, e nada impede a existência de um
> conjunto contendo 1 e satisfazendo o enunciado.
>
> E de "a definição é recursiva" não é possível derivar "3 deve ser o
> menor elemento", como já foi mostrado.
>
> > Daí um aplicação do princípio da boa ordenação garante a inclusão que
> está
> > faltando:
> > Se a inclusão não for verdadeira o conjunto C dos membros de A que não
> são
> > multiplos de 3 é nãõ vazio.
> > Tome m o min de C. Como m>3 e m em A, pela regra de formação de A, m=x+y
> com
> > x,y em A, portanto m em A. Contradição.
> >
> >>
> >>
> >>
> >> 2018-04-07 16:33 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com>:
> >>>
> >>> Olá, pessoal!
> >>> Boa tarde!
> >>> Estou tentando fazer o exercício abaixo:
> >>>
> >>> Considere um conjunto A de números naturais definido recursivamente da
> >>> seguinte maneira:
> >>> I. 3∈A;
> >>> II. se x∈A e y∈A então x+y∈A. Prove que A é o conjunto dos múltiplos
> >>> de 3.
> >>>
> >>> Estou com muitas dúvidas:
> >>> . Posso dizer que 3 é o menor elemento de A?
> >>> . Se 3 é o menor elemento, como determino o próximo elemento?
> >>> . Se A é o conjunto dos múltiplos de 3, como fica o zero?
> >>> . Posso fazer a demonstração por indução?
> >>>
> >>> Agradeço qualquer ajuda.
> >>> Muito obrigado e um abraço!
> >>> Luiz
> >>>
> >>>
> >>> --
> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >>> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Exercício sobre Conjuntos

[Anderson Torres]

Em 25 de abril de 2018 22:27, Jaare Oregim  escreveu:
>
>
> 2018-04-07 17:14 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>>
>>
>> Mas se, por exemplo, 1 pertencer a A (o que não é vedado, a princípio,
>> pelo enunciado), então A = N (supondo que 0 não é natural) ou então (supondo
>> que 0 é natural)  N\{0} está contido em A.
>> Ou seja, não é possível determinar qual o menor elemento de A. Apenas que
>> este é <= 3.
>>
>> Mesmo supondo que 3 seja o menor elemento de A, não dá pra garantir que o
>> próximo elemento é 3+3 = 6, pois as condições do enunciado não impedem que 4
>> ou 5 pertençam a A.
>>
>> []s,
>> Claudio.
>
>
>
> Parece-me claro que 3 deva ser o menor elemento já que a definição é
> recursiva.

Isso não é dito em momento algum, e nada impede a existência de um
conjunto contendo 1 e satisfazendo o enunciado.

E de "a definição é recursiva" não é possível derivar "3 deve ser o
menor elemento", como já foi mostrado.

> Daí um aplicação do princípio da boa ordenação garante a inclusão que está
> faltando:
> Se a inclusão não for verdadeira o conjunto C dos membros de A que não são
> multiplos de 3 é nãõ vazio.
> Tome m o min de C. Como m>3 e m em A, pela regra de formação de A, m=x+y com
> x,y em A, portanto m em A. Contradição.
>
>>
>>
>>
>> 2018-04-07 16:33 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues :
>>>
>>> Olá, pessoal!
>>> Boa tarde!
>>> Estou tentando fazer o exercício abaixo:
>>>
>>> Considere um conjunto A de números naturais definido recursivamente da
>>> seguinte maneira:
>>> I. 3∈A;
>>> II. se x∈A e y∈A então x+y∈A. Prove que A é o conjunto dos múltiplos
>>> de 3.
>>>
>>> Estou com muitas dúvidas:
>>> . Posso dizer que 3 é o menor elemento de A?
>>> . Se 3 é o menor elemento, como determino o próximo elemento?
>>> . Se A é o conjunto dos múltiplos de 3, como fica o zero?
>>> . Posso fazer a demonstração por indução?
>>>
>>> Agradeço qualquer ajuda.
>>> Muito obrigado e um abraço!
>>> Luiz
>>>
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>>> acredita-se estar livre de perigo.
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Prove que 4^79<2^100+3^100<4^100, usando matemática elementar.

Douglas Oliveira.

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