Re: Induçao

[Ralph Costa Teixeira]

  Provar que para todo n Natural vale
  (1+1/1).(1+1/2).(1+1/3)...(1+1/n)=n+1

Resolver por inducao o Flavio jah fez, mas eu queria
rapidinho fazer uma nota. Se voce nao tiver que resolver por
inducao, escreva o lado esquerdo como um produto de fracoes:

2/1 . 3/2 . 4/3 . 5/4 ... (n+1)/n = n+1

E a igualdade sai Direto se voce cancelar o numerador
de cada fracao com o denominador da proxima. Por isso que a
demonstracao por inducao do Flavio parecia curtinha...

Abraco,
Ralph

Re: 2 Problemas

[d_andrade]

1. Prove que 2^n - 1 é divisível por 3 para todo n 
natural par.

Uma outra solução alternativa (além das milhares já 
apresentadas) seria a seguinte:
2^2==1 mód3 (afirmativa verdadeira)
Elevando os dois membros da congruência a x (x E N), 
obtemos
2^2x==1^x mód3
1^x=1, portanto
2^2x==1 mód 3
Como sabemos que 2x é par, podemos simplesmente 
substituir 2x por n 2 temos que
2^n==1mód3

Peço desculpas se essa solução já tiver tido 
"precedentes" iguais. Sou novo na lista de discussão. 
Obrigado a todos.


__
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Re: 2 PROBLEMAS

[Marcos Eike Tinen dos Santos @ ITA @]

Desculpe minha falta de atenção. Mas, o seu problema é

2^(n - (-1)^n) ou 2^n - (-1)^n ?

Não entendi corretamente, desculpe.

Pessoal, dúvida talvez boba, mas como resolvo problemas do tipo: dado um
número n qualquer temos tal que a soma dos cubos de seus dígitos seja o
próprio número.
tentei de todas as maneiras possíveis, porém não chegei a nenhuma lógica
contrutiva.

Muito Obrigado!

Marcos Eike Tinen dos Santos


- Original Message -
From: Benjamin Hinrichs [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Domingo, 27 de Fevereiro de 2000 16:34
Subject: Re: 2 PROBLEMAS


 Marcelo Souza wrote:
  1. Prove que 2^n - 1 é divisível por 3 para todo n natural par.

 Muito fácil, n=3, 2^3 - 1 = 7, 7 / 3 nE N (onde nE é não pertence). Vc
 deve estar falando de 2^n - (-1)^n. A minha prova é simples, vou
 copiar a mensagem do arquivo.

 ==
 "Benjamin Hinrichs" wrote on 01/01/2000:

 Faz alguns dias (não saberia dizer quantos) que entrei no icq e vi que
 estava cheio de gente da lista, abrimos um chat e conversamos um
 pouco.
 Surgiu entretanto um problema no meio: prove que 2^n - (-1)^n  mod 3 =
 0, ou seja, que 2^n - (-1)^n é divisível por 3, dado n E N (é
 natural),
 n  0.
 Sugiro que tentem provar e depois ver a minha prova que segue abaixo.

 Usei para isto o seguinte teorema (fácil de provar):
 a^k -1 = (a^(k-1) + a^(k-2) + ... + a^2 + a^1 + a^0)*(a - 1)

 Se n é par então pode ser denominado 2k (nada de 2000, parem de pensar
 no bug). Portanto 2^2k -(-1)^2k = 4^k -(1)^k = 4^k - 1 = (4^(k-1) +
 4^(k-2) + ... + 4^2 + 4^1 + 4^0)*(4 - 1) = (4^(k-1) + 4^(k-2) + ... +
 4^2 + 4^1 + 4^0)*3 (o que é divisível por 3)
 Se n é ímpar então ele pode ser escrito da forma 2k + 1. Portanto
 2^(2k+1) -(-1)^(2k+1) = 2*2^2k -(-1)*(-1)^2k = 2*4^k + 1 = 4^k - 1 +
 4^k
 - 1 + 3 (já que 4^k - 1 já foi provado ser divisível por três, 2(4^k
 -1)
 + 3 também é)

 Deve haver uma prova ridiculamente simples para este problema. Meu pai
 disse que o enunciado do problema é muito bom, a prova é fácil. Bem,
 eu
 ao menos demorei algum tempinho para descobrir que 1 = - 1 - 1 + 3...

 Grande abraço,

 Benjamin Hinrichs

 ==

  2. Dado um triangulo equilatero ABC, toma-se um ponto P do interior de
ABC.
  TRaça-se AP=3, BP=4, CP=5, calcule o angulo APB.

 De primeira não consegui resolver mas vou continuar em cima deste.

 Um grande abraço,

 Benjamin Hinrichs