Re: Cicloide...
Ola Bruno, Tudo Legal ? On Mon, 16 Oct 2000 19:05:24 -0200 "Bruno Woltzenlogel Paleo" [EMAIL PROTECTED] wrote: Esta curva e bem conhecida e foi exaustivamente estudada nos primordios do Calculo. Huygens mostrou que com dois arcos de cicloide iguais podemos fazer um pendulo verdadeiramente isocrono, vale dizer, um pendulo cujo periodo seja independente da amplitude das oscilacoes. Sobre o pendulo cicloidal. Tenho uma duvida: Fixados os arcos de cicloide, qualquer que seja o comprimento do fio, a trajetória do pendulo será uma cicloide? Claramente que se o comprimento do fio for superior ao comprimento do arco cicloidal, nas extremidades - quando o fio cobrir todo o arco - teremos um "arco de circulo", nao um arco cicloidal... Qual a forma mais fácil de se provar que o pendulo limitado pelos arcos de cicloide forma uma trajetoria de cicloide? Percebendo que, a cada instante, tudo sucede como se a parte do fio que nao esta encobrindo o arco de cicloide funciona como a reta sobre a qual rola uma circunferencia da qual um de seus pontos descreve a cicloide. Voce ja estudou as evolutas ( e involutas ) ? Em particular, a evoluta do Circulo ? Um abraco Paulo Santa Rita 3,1250,17102000 Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Sobre as funções trigonométricas de números complexos
Eu estava procurando uma maneira de definir funcoes trigonometricas de numeros complexos, e lembreia formula de Euler (exp(ix)= cos(x) + i*sen(x)). Sera que entao cos(i) + i*sen(i)= exp(i*i)=exp(-1)= 1/e ? Eu ficaria feliz so por conseguir a resposta dessa ultima pergunta. Mas, se tambem der para explicar mais sobre seno e cosseno de numeros complexos, melhor. PS: A*B denota "A vezes B".
Brachistócrona e log(#IR)=#N?
Há pouco tempo alguém disse que a curva brachistócrona é a curva que minimiza o tempo para um ponto chegar a certa posição; eu já tinha ouvido falar nisso, mas não entendi. QUe negocioeh esse? E, finalmente, estão definidas certas funções para números cardinais (acho que esse eh o nome de números como a cardinalidade dos reais)? Por exemplo, se 2^(#IN)= #IR, log2 (#IR)=#N? Há coisas como (#IR)²?
Re: Sobre as funções trigonométricas de números complexos
Jorge Peixoto Morais wrote: Eu estava procurando uma maneira de definir funcoes trigonometricas de numeros complexos, e lembrei a formula de Euler (exp(ix)= cos(x) + i*sen(x)). Sera que entao cos(i) + i*sen(i)= exp(i*i)=exp(-1)= 1/e ? Eu ficaria feliz so por conseguir a resposta dessa ultima pergunta. Mas, se tambem der para explicar mais sobre seno e cosseno de numeros complexos, melhor. PS: A*B denota "A vezes B". Sim, é comum definir cos(z) = (e^(iz) + e^(-iz))/2 sin(z) = (e^(iz) - e^(-iz))/2i para números complexos quaisquer. Não é difícil ver que o cos e o sin de números reais é igualzinho aos já conhece (bom, pelo menos se você partir da fórmula do e^(ix) que você mencionou)... Note que algumas propriedades comum entre os reais se mantêm verdadeiras com essa definição... Tente ver que cos(z)=cos(-z), sin(z)=-sin(-z) e que (cosz)^2+(sinz)^2=1; também mostre que cos(z+2Pi)=cos(z); sin(z+2Pi)=sin(z); cos(Pi/2-z)=sin(z); etc etc. Note que NÃO vale que |cosz|1 nem que |sinz|1 em geral. Para o seu caso, z=i, temos: cos(i) = (e^(-1)+e^(1)) / 2 = (e+1/e)/2 Em geral, cos(bi) = (e^(-b)+e^b)/2 = cosh(b) sin(bi) = (e^(-b)-e^b)/2i = i sinh(b) E assim cos(a+bi) = cos(a)cos(bi)-sin(a)sin(bi) = = cos(a)cosh(b)-sin(a)sinh(b) i podia ser a definição a partir de z=a+bi com a e b reais (dá no mesmo). Abraço, Ralph
Re: Cicloide...
Ola Bruno, Tudo Legal ? Sim, e aí? Sobre o pendulo cicloidal. Tenho uma duvida: Fixados os arcos de cicloide, qualquer que seja o comprimento do fio, a trajetória do pendulo será uma cicloide? Claramente que se o comprimento do fio for superior ao comprimento do arco cicloidal, nas extremidades - quando o fio cobrir todo o arco - teremos um "arco de circulo", nao um arco cicloidal... Sim, mas eu não estava me referindo a este caso... É duro se comunicar em geometria só com palavras... Supondo que o comprimento não seja superioir ao do arco cicloidal, qual a resposta pra minha pergunta? Percebendo que, a cada instante, tudo sucede como se a parte do fio que nao esta encobrindo o arco de cicloide funciona como a reta sobre a qual rola uma circunferencia da qual um de seus pontos descreve a cicloide. ? Voce ja estudou as evolutas ( e involutas ) ? Em particular, a evoluta do Circulo ? Não. Apenas me lembro de já ter ouvido uma vez esses nomes... Até mais... Bruno Woltzenlogel Paleo [EMAIL PROTECTED] UIN-77325094
Teorema de Napoleão
Será que alguém poderia mandar uma demonstração do teorema de Napoleão ou dizer uma página onde posso encontrá-la???
Re: Artigo sobre os puzzles
Olá Luis, meu e-mail é [EMAIL PROTECTED] -Mensagem Original- De: Luis Lopes Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Terça-feira, 17 de Outubro de 2000 13:24 Assunto: Re: Artigo sobre os "puzzles" Oi Hugo, Preciso do seu email. [ ]'s Luís -Mensagem Original- De: Hugo Iver Vasconcelos Goncalves Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Segunda-feira, 16 de Outubro de 2000 22:07 Assunto: Artigo sobre os "puzzles" Luis, eu gostaria que vc mandasse o artigo em .jpg mencionado. Agradeço pelos esclarecimentos. até mais
Re: Livros de Geometria do Wagner
Oi Paulo. Com a palavra, o autor, o Luis. Abracos. JP -Mensagem original- De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 17 de Outubro de 2000 17:21 Assunto: Re: Livros de Geometria do Wagner Ola Prof Jose Paulo, 1) Considerando que nunca pude fazer um curso sistematico de construcoes geometricas e que tal lacuna na formacao de quem pretende ser um Matematico e insustentavel. 2) Considerando que o autor - Luis Lopes - e um membro de nossa lista que muito tem contribuido para enriquece-la 3) CONDIERANDO SOBRETUDO que o livro recebeu o conceito EXCELENTE do Sr, que sem duvida nenhuma, sabe muitissimo bem sobre o que fala. 4) Considerando que o idioma nao e problema concluo que estou, a principio, muito interessado neste livro ! Mas, o eterno problema : e um livro caro ? O Luis Lopes nao poderia facilitar o "acesso financeiro" a esta obra ? Um Abraco Paulo Santa Rita 3,1536,17102000 On Mon, 16 Oct 2000 22:35:53 -0200 "=?iso-8859-1?Q?Jos=E9_Paulo_Carneiro?=" [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu conheco o liro do Luis (em frances) e posso garantir que eh excelente. Jose Paulo -Mensagem original- De: Luis Lopes [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Segunda-feira, 16 de Outubro de 2000 20:50 Assunto: Re: Livros de Geometria do Wagner Sauda,c~oes, Considerando que o assunto geometria e tri^angulos interessa a muita gente na lista, gostaria de dizer que escrevi um livro em franc^es sobre constru,c~oes com r'egua e compasso de tri^angulos envolvendo todos os casos poss'iveis com ^angulos, lados, cevianas (alturas, bissetrizes e medianas) e raios (inscrito, circunscrito e exinscritos). S~ao 371 (se n~ao estou enganado) problemas, todos resolvidos e com figuras. Os dados do primeiro s~ao os tr^es ^angulos (\alpha,\beta,\gamma) e os do 'ultimo, os tr^es raios exinscritos (r_a,r_b,r_c). A m'edio prazo estou pensando em coloc'a-lo em portugu^es tamb'em, assim como fazer o Volume 2 envolvendo combina,c~oes daqueles elementos. Em particular, os problemas (\alpha,a+b,a+c) e (\alpha,a+c,b+c) s~ao muito interessantes e deixo como exerc'icios para os membros. Pe,co aos interessados em ter mais detalhes que escrevam diretamente para mim. Obrigado. [ ]'s Lu'is -Mensagem Original- De: Eduardo Wagner [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Terça-feira, 17 de Outubro de 2000 02:26 Assunto: Re: Livros de Geometria do Wagner Caros amigos: Fico feliz em saber que algo que publiquei ainda jovem, influenciou pessoas e ainda hoje se procura. Na verdade, nada se publicou de forma séria em geometria desde então. O livro Geometria II será inteiramente refeito em 2001, com erros corrigidos e ampliado. O espírito não será modificado, ou seja, o livro não será dedicado ao currículo normal das escolas mas sim àqueles que desejam conhecer mais sobre a geometria. O trabalho será grande e vai demandar algum tempo. Abraços, Wagner. Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
ajuda
Escolhendo-se ao acaso duas arestas de um cubo, determine a probabilidade de elas serem reversas.
Re: Teorema de Napoleão
Eureka 6, artigo do Edmilson Motta. JP -Mensagem original-De: Hugo Iver Vasconcelos Goncalves [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Tera-feira, 17 de Outubro de 2000 21:30Assunto: Teorema de Napoleo Ser que algum poderia mandar uma demonstrao do teorema de Napoleo ou dizer uma pgina onde posso encontr-la???
Re: Artigo sobre os puzzles
Não recebi o arquivo, acho que houve algum problema no envio. Será que vc poderia mandá-lo novamente?? -Mensagem Original- De: Hugo Iver Vasconcelos Goncalves Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Terça-feira, 17 de Outubro de 2000 19:59 Assunto: Re: Artigo sobre os "puzzles" Olá Luis, meu e-mail é [EMAIL PROTECTED] -Mensagem Original- De: Luis Lopes Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Terça-feira, 17 de Outubro de 2000 13:24 Assunto: Re: Artigo sobre os "puzzles" Oi Hugo, Preciso do seu email. [ ]'s Luís -Mensagem Original- De: Hugo Iver Vasconcelos Goncalves Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Segunda-feira, 16 de Outubro de 2000 22:07 Assunto: Artigo sobre os "puzzles" Luis, eu gostaria que vc mandasse o artigo em .jpg mencionado. Agradeço pelos esclarecimentos. até mais
Re: Teorema de Napoleão
D uma olhada nessa
resoluo por geometria sem complexos... t sem figura, mas
d... eu j mandei uma vez essa pra lista !
Generalizao do Teorema de Napoleo :
Dado um tringulo qualquer ABC, constroem-se os tringulos
ABP, ACQ e BCR, todos semelhantes e exteriores a ABC. O tringulo formado
pelos circunscentros dos tringulos exteriores semelhante a ABC
!
Lema : Os crculos circunscritos a ABP, ACQ e BCR passam por um
mesmo ponto.
Prova do lema : Traando os crculos circunscritos a ABP e
ACQ, vemos que so secantes em A e em outro ponto N. Basta, ento,
provar que #BCRN inscritvel, pois B, C e R determinam um
crculo. Seja ANxBC=M , ang(MNC)=ang(AQC) {pois #AQCN
inscrito}... analogamente, ang(BNM)=ang(APB). Pela contruo da
figura, de um modo simtrico, para no tirar a generalidade do
problema, ang(APB)=ang(ABC) e ang(AQC)=ang(BAC) assim, ang(BNC) = ang(BNM) +
ang(CNM) = ang(APB) + ang(AQC) = ang(BNC) = ang(ABC) + ang(BAC) =180
ang(BCA) = ang(BNC) = 180o ang(BRS) = #BNCR
inscrito. (CQD)
..
Lema : A corda comum a dois crculos perpendicular a reta
que une os centros.
Prova do lema : Basta ver que os centros das circunferncias
eqidistam dos pontos de concorrncia das circunferncias
ento eles determinam a mediatriz da corda comum. (CQD)
..
Sejam, ento, O1, O2 e O3 os centros
dos crculos em ABP, ACQ e BCR, respectivamente. E sejam tambm, T
= O1O2xAN , U = O2O3xCN e V =
O1O3x BN . Assim, #O1TNV
inscritvel = ang(BNM) = ang(O2O1O3)
= ang(ABC)... Analogamente, analisando #O2TNU e #O3UNV,
vemos que ang(O1O2O3)=ang(BAC) e
ang(O1O3O2)=ang(ACB) =
O1O2O3 semelhante a ABC. (CQD)
Villard !
-Mensagem original-De:
Hugo Iver Vasconcelos Goncalves [EMAIL PROTECTED]Para:
[EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data:
Tera-feira, 17 de Outubro de 2000 20:44Assunto:
Teorema de Napoleo
Ser que algum poderia mandar uma
demonstrao do teorema de Napoleo ou dizer uma
pgina onde posso
encontr-la???
Re: Artigo sobre os puzzles
Luis, acho q vc não entendeu... é pra vc mandar os artigos pra lista inteira pra q TODOS possam ter acesso aos arquivos. Não é pra isso q serve a lista? Victor --- Luis Lopes [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Hugo, Preciso do seu email. [ ]'s Luís -Mensagem Original- De: Hugo Iver Vasconcelos Goncalves Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Segunda-feira, 16 de Outubro de 2000 22:07 Assunto: Artigo sobre os "puzzles" Luis, eu gostaria que vc mandasse o artigo em .jpg mencionado. Agradeço pelos esclarecimentos. até mais = "Bom de briga é aquele que cai fora" Adoniran Barbosa __ Do You Yahoo!? Yahoo! Messenger - Talk while you surf! It's FREE. http://im.yahoo.com/
Re: ajuda
Cada aresta de um cubo possui exatamente 4 arestas reversas. Portanto, o nmero de modos de se tomar duas arestas reversas 24. O nmero de modos de se tomar duas aresta 66. A probabilidade 24/66 ou 12/33. []'s JOSIMAR -Mensagem original-De: Filho [EMAIL PROTECTED]Para: discusso de problemas [EMAIL PROTECTED]Data: Tera-feira, 17 de Outubro de 2000 22:20Assunto: ajuda Escolhendo-se ao acaso duas arestas de um cubo, determine a probabilidade de elas serem reversas.
Re: Sobre as =?x-user-defined?q?fun=E7=F5es=20trigonom=E9tricas?= de =?x-user-defined?q?n=FAmeros?= complexos
Jorge Peixoto Morais wrote: Eu estava procurando uma maneira de definir funcoes trigonometricas de numeros complexos, e lembrei a formula de Euler (exp(ix)= cos(x) + i*sen(x)). Sera que entao cos(i) + i*sen(i)= exp(i*i)=exp(-1)= 1/e ? Eu ficaria feliz so por conseguir a resposta dessa ultima pergunta. Mas, se tambem der para explicar mais sobre seno e cosseno de numeros complexos, melhor. PS: A*B denota "A vezes B". Eh exatamente isso.As funçoes seno e co-seno sao definjdas nos complexos por cosz +isenx=expz e cosz-isenz=exp(-z).
