Questão
Ae pessoal, deem uma olhada nessa questão ache todos os p, primos, tais que 2^p-1 -1/p seja um quadrado perfeito. ( essa expressão resulta sempre num n° inteiro- pelo teorema de Euler) -- ex: pra p=7 = 2^6 -1/7=9 q eh quadrado perf. valeu Henrique _ Send and receive Hotmail on your mobile device: http://mobile.msn.com
Re: Questão
Ué, Para p=2: (2^1 - 1)/2 = 1/2, que não é inteiro Será que entendi errado?? Pelo exemplo entendi que a fórmula é (2^(p-1)-1)/p. Creio que este seja um problema proposto na Eureka de setembro e a fórmula era assim. Qual o teorema de Euler? Boas festas a todos! Até mais [ Vinicius José Fortuna ] [ [EMAIL PROTECTED] ] [ Visite www.viniciusf.cjb.net ] On Tue, 25 Dec 2001, Henrique Lima Santana wrote: Ae pessoal, deem uma olhada nessa questão ache todos os p, primos, tais que 2^p-1 -1/p seja um quadrado perfeito. ( essa expressão resulta sempre num n° inteiro- pelo teorema de Euler) -- ex: pra p=7 = 2^6 -1/7=9 q eh quadrado perf. valeu Henrique _ Send and receive Hotmail on your mobile device: http://mobile.msn.com
Re: Questão
qnd escrevi 2^p-1 -1/p , entenda 2^(p-1) -1/p (deixei o espaço entre a potencia e o -1 pra q fosse notado,saca?) eh, essa questaum eh da eureka 11, problemas propostos. eh, esqueci de mencionar a condição do pequeno teorema de fermat(a formula de euler eh uma generalização do pequeno teorema de fermat...) seguinte: a^fi(n)==1(mod n) quando mdc(a,n)=1 (formula de euler) como fi(p)=p-1 pra p primo temos: a^p-1==1(mod p) ( e nesse caso p naum pode dividir a , sacou?) espero q naum tenha esquecido nada... té + Henrique From: Vinicius José Fortuna [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Questão Date: Tue, 25 Dec 2001 14:14:33 -0200 (EDT) Ué, Para p=2: (2^1 - 1)/2 = 1/2, que não é inteiro Será que entendi errado?? Pelo exemplo entendi que a fórmula é (2^(p-1)-1)/p. Creio que este seja um problema proposto na Eureka de setembro e a fórmula era assim. Qual o teorema de Euler? Boas festas a todos! Até mais [ Vinicius José Fortuna ] [ [EMAIL PROTECTED] ] [ Visite www.viniciusf.cjb.net ] On Tue, 25 Dec 2001, Henrique Lima Santana wrote: Ae pessoal, deem uma olhada nessa questão ache todos os p, primos, tais que 2^p-1 -1/p seja um quadrado perfeito. ( essa expressão resulta sempre num n° inteiro- pelo teorema de Euler) -- ex: pra p=7 = 2^6 -1/7=9 q eh quadrado perf. valeu Henrique _ Send and receive Hotmail on your mobile device: http://mobile.msn.com _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com
Re: duvidinhas...
Valeu Shine.Essas questões são do Matemática
Elementar.Já tinha feito todas as outras e empaquei nessas.
- Original Message -
From:
Carlos Yuzo
Shine
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Monday, December 24, 2001 2:05
AM
Subject: Re: duvidinhas...
Bom, se alguém foi infectado, tem um anti-vírus(grátis)
emhttp://www.grisoft.comE
já que o Eder pediu ajuda, vou fazer as questões queele enviou... aí a
mensagem (espero eu) não fica tãooff-topic (desculpas...)1) Para
mostrar que f é bijetora, basta mostrar que éinjetora (isto é, se f(x) =
f(y) então x = y) esobrejetora (ou seja, a imagem da função coincide
como conjunto de chegada). Suponha que f(x) = f(y).
Então (2x-s) / (x (s-x) ) = (2y-s) / (y (s-y)
)= y(s-y)(2x-s) = x(s-x)(2y-s)= 2xys - ys^2 - 2xy^2 +
sy^2 = 2xys - xs^2 - 2yx^2 + sx^2= (x-y)(s^2
- s(x+y) + 2xy) = 0= (x-y)( (s-x)(s-y) + xy ) = 0Mas
0x,ys, logo (s-x)(s-y) 0 e xy 0, o queimplica (s-x)(s-y)
+ xy 0. Logo x = y e f éinjetora.Agora, temos que mostrar que
a imagem de f é oconjunto dos reais. Seja a um real. Temosf(x) = a
= (2x-s) / (x (s-x) ) =
a = x^2 - sx + 2ax
- sa = 0 = x^2 +
(2a - s)x - sa = 0Seja g(x) = x^2 + (2a - s)x - sa. Mostraremos que
g(x)tem exatamente uma raiz real entre 0 e s. Para isso,basta termos
g(0).g(s) 0 (pois g é contínua). Mas g(0) = -sa e g(s) = s^2 + 2as -
s^2 - sa = sa,portanto g(0).g(s) = -(sa)^2. Se a = 0, temos f(s/2) =a
= 0. Se a != 0, g(0).g(s) 0. Logo a equação g(x) =0, que é
equivalente a f(x) = a sempre tem uma soluçãoentre 0 e s, o que é o mesmo
que dizer que paraqualquer a existe x tal que f(x) = a. Logo f
ésobrejetora.Assim sendo, f é bijetora.2) Temos que
mostrar que a imagem de f é N. Seja m umnatural qualquer. Provaremos que m
está na imagem def. Tome um número natural n tal que f(n) = m
(queexiste devido à propriedade a). Pela propriedade b, Anestá contido
no conjunto imagem de f. Logo, como m émenor ou igual a f(n), m pertence a
An e portantotambém pertence à imagem de f.Espero ter ajudado...
tanto na matemática como nainformática...[]'sShine---
Eder [EMAIL PROTECTED]
wrote: Desculpa mesmo pela mancada pessoal.O Shine me sugeriu
um link com um anti-vírus.Baixei o programa e ele removeu todos os
arquivos infectados.É chato isso.Mil desculpas...Espero que a mensagem
já esteja "limpa".Ah,ainda gostaria de ajuda naquelas questões
que postei. Foi mal aí ... - Original
Message - From: André Amiune To:
[EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, December 23, 2001 7:36
PM Subject: Re: duvidinhas...
Seu computador está com o virus VBS.haptime.A@mm
- Original Message - From:
"Eder" [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, December 23, 2001 2:30 PM Subject:
duvidinhas... HelpOlá,eu não estou
conseguindo resolver estas questões.Se alguém
puder ajudar... 1)Demonstre que f,definida no
intervalo 0xs (com
s0) do seguinte modo :
f(x)=(2x-s) / (x (s-x) ) é uma função bijetora
desse intervalo nos reais.
2)Seja N o conjunto dos números naturais e f : NèN
uma função que satisfaz as propriedades:
a)Dado qualquer m pertencente a N existe n
tal que f(n) é maior ou igual a
m. b)Ar={s pertence a N tal que s é menor ou igual
a f(r) } está contido no conjunto imagem de f.para
todo e pertencente a N.
Mostre que f é sobrejetiva.
__Do You
Yahoo!?Send your FREE holiday greetings online!http://greetings.yahoo.com
Re: Questão
Para p2 vale que é inteiro sim. Eu mandei a resolução dessa pra eureka ...
vou mandar resumidamente o que eu fiz :
Primeiro cabe notar que para E = (2^(p-1)-1)/p ser quadrado, p deve
satisfazer a afirmação : p==1mod6.
p ímpar, logo (2^(p-1)-1)==0mod3. Se p=3, então E=1 que é quadrado, logo p=3
é solução. Se p3, 3 divide E, logo 9 divide E, pois E é quadrado. Daí,
(2^(p-1)-1)==0mod9, logo 2^(p-1)==1mod9. Como 2^6==1mod9, e 6 é o menor
natural com esta propriedade ( é denominado a ordem de 2, mod9 ), então 6
divide p-1. logo está provada a afirmação.
Daí, p=1+6k entào E=(2^(6k) - 1)/p=(2^(3k)-1)(2^(3k)+1)/p.
Seja d = mdc{2^(3k)-1;2^(3k)+1}. Então d divide a diferença : d divide 2.
Como d é ímpar, d=1. Então, como 2^(3k)-1 e 2^(3k)+1 não têm fatores em
comum, um deles deve ser quadrado perfeito, enquanto o outro dividido por p
tb o deve ser.
-Caso 1: 2^(3k)-1 é quadrado.
2^(3k)-1 = (2^k-1)(2^(2k)+2^k+1). Seja h=mdc{2^k-1;2^(2k)+2^k+1}. h divide
(2^k-1)^2 e 2^(2k)+2^k+1, logo divide a diferença 3*2^(2k). Como h é ímpar,
h=1ou3. Se d=1, 2^k-1 e 2^(2k)+2^k+1 devem ser quadrados, o que é
ímpossível, pois (2^k)^2 2^(2k)+2^k+1 (2^k+1)^2, ou seja, 2^(2k)+2^k+1
está entre 2 quadrados consecutivos. Se h=3, (2^k-1)/3 é quadrado (ímpar),
logo (2^k-1)/3 ==1mod8, logo 2^k==4mod8 o que implica k=2 que não gera uma
solução.
-Caso 2: 2^(3k)+1 é quadrado.
2^(3k)+1 = q^2 ... 2^(3k) = (q+1)(q-1), logo q+1 e q-1 devem ser potências
de 2 e a única possibilidade é q=3, logo k=1 e assim, p=7, que é solução.
Logo as únicass soluções são p=3 e p=7.
Desculpem qq desatenção, verifiquem se puder.
Usei alguns fatos que podem ser desconhecidos por alguns. Naquela hora da
ordem. Se t é ordem de a modM, então se a^y==1modM, t divide y. Prova :
Divida y por t, ou seja, y=t*u+r, com rt. Daí,
a^y=a^(t*u+r)=(a^t)^u*a^r==a^r==1, mas isso só é possível se r=0, pois por
definição, t é o menor número com essa propriedade, logo t divide y. E só
mais uma coisa. x^2=1mod8, se x é ímpar. Isso decorre de
(2j+1)^2=4j(j+1) +1. como j(j+1) é par, 8 divide 4j(j+1), logo x^2==1mod8.
Abraços,
Villard
-Mensagem original-
De: Vinicius José Fortuna [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Terça-feira, 25 de Dezembro de 2001 14:34
Assunto: Re: Questão
Ué,
Para p=2:
(2^1 - 1)/2 = 1/2, que não é inteiro
Será que entendi errado??
Pelo exemplo entendi que a fórmula é (2^(p-1)-1)/p.
Creio que este seja um problema proposto na Eureka de setembro e a fórmula
era assim.
Qual o teorema de Euler?
Boas festas a todos!
Até mais
[ Vinicius José Fortuna ]
[ [EMAIL PROTECTED] ]
[ Visite www.viniciusf.cjb.net ]
On Tue, 25 Dec 2001, Henrique Lima Santana wrote:
Ae pessoal,
deem uma olhada nessa questão
ache todos os p, primos, tais que 2^p-1 -1/p seja um quadrado perfeito.
(
essa expressão resulta sempre num n° inteiro- pelo teorema de Euler)
-- ex: pra p=7 = 2^6 -1/7=9 q eh quadrado perf.
valeu
Henrique
_
Send and receive Hotmail on your mobile device: http://mobile.msn.com
Re: Semana Olímpica
At 18:19 23/12/01 -0200, you wrote: Olá Pessoal, Gostaria de saber se vai ter muita gente do nível universitário na Semana Olímpica. Receio chegar lá e ser o único universitário... Eu vou tb! Bruno Leite Até mais [ Vinicius José Fortuna ] [ [EMAIL PROTECTED] ] [ Visite www.viniciusf.cjb.net ]
