[obm-l] Negocio da China !
Ola Pessoal, Seguem abaixo as traduçoes ( do ingles ) de tres problemas de Olimpiadas da China. (1 - CHINA 1990 ) S e o conjunto de todos os sub-conjuntos de um dado conjunto X que teem um mesmo numero de elementos e F e uma funcao real definida sobre S tal que F(A) 1990 para algum elemento A de S. Sabe-se tambem que : F(B uniao C)=F(B)+ F(C)-1990 para todos elementos B e C de S que sejam disjuntos. Mostre que nos podemos encontrar um sub-conjunto Y de X tal que : F(D) 1990 para todo D contido em Y F(D) = 1990 para todo D contido em X-Y (2 - CHINA 1992 ) As diagonais de um quadrilatero ciclico (inscritivel) encontram-se em X. O circulo circunscrito ao triangulo ABX encontra o circulo circunscrito ao triangulo CDX em X e Y. Se O e o centro do circulo circunscrito ao quadrilatero ABCD e O,X e Y sao distintos dois a dois, mostre que OY e perpendicular a OX. (3 - CHINA 1994 ) Seja p(z)= z^N + An-1*z^(N-1) + ... + A0 um polinomio com coeficientes complexos. Mostre que nos podemos encontrar um ponto (numero complexo) z com modulo(z') = 1 e tal que modulo(p(z')) = 1 + modulo(A0). Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1209,190203 _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Desigualdade estranhinha
A minha burrice ja atingiu niveis alarmantes!A soma e um,e nao zero. Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: Caro JP: Olhe só isso: Suponhamos que n = 6. Seja A um número real qualquer: Sejam: A(1) = -A A(2) = -A A(3) = 0 A(4) = A A(5) = A A(6) = 0 A(k) = 0 para 6 k = n. Então: A(1) + A(2) + ... + A(n) = 0. A(1)*A(2) = A^2 A(2)*A(3) = 0 A(3)*A(4) = 0 A(4)*A(5) = A^2 A(5)*A(6) = 0 A(k)*A(k+1) = 0, para 6 = k = n-1 A(n)*A(1) = 0 Logo, o valor a ser maximizado é igual a 2*A^2. Como A pode ser qualquer número real, temos que a expressão é ilimitada. O que você acha? Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, February 18, 2003 1:07 PM Subject: [obm-l] Desigualdade estranhinha Nossa,apareceu em brancoA desigualdade era maximizar a_1*a_2+a_2*a_3+a_3*a_4+.+a_(n-1)*an+a_n*a_1 sabendo que a soma dos a's e zero. Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: Qual desigualdade? Aliás, você conseguiu resolver este aqui? Tome reais positivos ou nulos a,b,c,d tais que ab+ac+ad+bc+bd+cd+abc+abd+acd+bcd=2. Mostre que 3(a+b+c+d)=4(ab+ac+ad+bc+bd+cd). Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, February 17, 2003 3:05 PM Subject: [obm-l] Desigualdade estranhinha Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] Teorema das 13 Esferas
Esse treco era um dos problemas do Proofs from THE BOOK. Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: Caro Paulo:Aqui vai minha solução para o problema. PROBLEMA : Seja C uma esfera de raio R, fixa. Tangentes (externamente) a C vamos colocando outras esferas C1, C2, ... todas de raio R. Qual a quantidade maxima de esferas que podemos colocar ? SUGESTAO : Coloque C1 e IMAGINE que voce esta em "O", o centro de C.IMAGINE todas as semi-retas que partem de "O" e que sao tangentes a C1. Istodefine um angulo-solido. Qual o valor desta angulo solido ?Tome o plano que divide C e C1 em duas semi-esferas iguais. Neste plano,considere as retas que são tangentes a C1 e o triângulo formado por O epelos dois pontos de tangência das retas com C1 (P e Q). Seja O' o centro deC1.Teremos: O'P = O'Q = R; OO' = 2*R == OP = OQ = R*raiz(3) ==cos(O'OP) = cos(O'OQ) = raiz(3)/2 == O'OP = O'OQ = Pi/6 == POQ = Pi/3Área da calota determinada pelas tangentes a C1 por O =2*Pi*R^2*[1-cos(O'OP)] = Pi*R^2*[2-raiz(3)] = 0,841787*R^2Ângulo Sólido = Pi*[2-raiz(3)] = 0,841787 esf-rad. Claramente que toda nova esfera colocada representa um novo angulo-solidode mesmo valor. IMAGINE agora tres esferas tao proximas quanto possivel. Voce percebera que : 1) Surge uma regiao central que nao esta contida em nenhuma das trescalotas iguais definidas pelo tres angulo solidos. Qual o valor, em esferoradianos, do angulo solido correspondente a esta area ? Os planos que contem "O" e dois outros centros de duas das tres esferasC1, C2, C3 interceptam a superficie de C segundo um triangulo esferico "equilatero". A Area deste triangulo e (A+B+C - pi)*R^2 onde A, B e C saoao angulos do triangulo esferico ( formados pelas tangente a esfera C nos vertices A, B e C. Tendo a area temos o angulo-solido correspondente. Subtrando esta area dos "gomos" em C1, C2 e C3 calculamos o valor daregiao central.Cálculo da Área do Triângulo ABC::O lado oposto ao vértice A situa-se sobre uma circunferência de raio igual aR*sen(Pi/3) = R*raiz(3)/2.Logo, o comprimento desta circunferência vale Pi*raiz(3)*R.O lado do triângulo mede (Pi/3)*R == usando a lei dos cossenos paratriângulos esféricos, temos que:cos(Pi/3) = cos(Pi/3)*cos(Pi/3) + sen(Pi/3)*sen(Pi/3)*cos(A) ==1/2 = 1/4 + 3/4*cos(A) ==cos(A) = 1/3 = cos(B) = cos(C) ==A = B = C = 1,230959 rad.Área do Triângulo = (A + B + C - Pi)*R^2 = 0,551284*R^2Cálculo da Área dos Gomos:A área de cada gomo é proporcional ao arco de circunferência subentendidopelos lados do triângulo ABC em cada uma das três calotas que eleintercepta.Assim, Área de um Gomo = Área da Calota * A/(2*Pi) =0,841787*R^2 * 1,230959 / 6,283185 = 0,164917*R^2Área dos 3 Gomos = 3 * 0,164917*R^2 = 0,494752*R^2Logo,Área da Região Central = (0,551284 - 0,494752)*R^2 = 0,056532*R^2 2) Toda nova esfera colocada com maxima aproximacao entre duas outras ja existente fara surgir um novo angulo-solido ( que ja calculamos ) e umanova regiao ( que calculamos em 1). Esses sucessivos acrescimos nao podem ultrapassar 4*pi esfero-radianos ...Cada nova Esfera adiciona 1 Calota e pelo menos 1 Região Central.1 Calota + 1 Região Central = 0,841787 + 0,056532 = 0,898319 esf-radLogo, N*0,898319 = 4*Pi = 12,566371 == N = 13,98876Assim, N = 13.Um abraço,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] Oi Pessoal
Seu sobrenome e Matsubashi ou eu to viajando? Soluçao parcial: Vejamos...eu costumo usar a notaçao de flechas.Seja a^b=a*a*a*a...*a (b vezes). a^^1=a e a^^(n+1)=a^(a^^n). Assim na sequencia a(n)=a^^n queremos que o modulo t=10^1000 desse troço seja constante.Por PCP tem dois caras i e j tais que a^^(i+j)===a^^(i)(mod t).Talvez o resto saia com Euler-Fermat ou coisa assim... okakamo kokobongo [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi pessoal,Tenho acompanhado a lista pelo site da obm à algunsdias e então resolvi entrar. Tenho um problema legal(gostaria da ajuda de um dos brilhantes participantesda lista, como: Johann Peter Gustav LejeuneDirichlet...): Seja a(1) = a; a(n+1) = a^a(n); Proveque: para qualquer a 1 inteiro, os últimos 1000dígitos da expansão decimal de a(n) ficameventualmente constantes !!!Okakamo Kokobongo___Busca Yahoo!O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.http://br.busca.yahoo.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] Problemas sobre sequencias recorrentes
Pegue o livro !) Olimpiadas Iberoamericanas de Matematica que tem esse terceiro problema la.Em outra versao. amurpe [EMAIL PROTECTED] wrote: gostaria que voces me mostrassem como , faço para resolver os problemas , já que minha dificuldade é muito grande .Eles são do livro matemática do ensino médio volume :2 - da coleção do Impa , achei o terceiro mais dificil por falar em probabilidade.Se puderem me indicar livros sobre o assunto ficarei grato. Muito obrigado pela força.abraços.Amurpe1) Uma planta é tal que cada uma de suas sementes produz um ano apos ter sido plantada , 21 novas sementes e apartir daí , 44 novas sementes a cada ano .Se plantarmos hoje uma semente e se , toda vez que uma semente for produzida ela for imediatamente plantada , qtas sementes serão produzidas daqui a n anos?2) o salario de carmelino no mes n é sn=a +bn.Sua renda mensal é formada pelo salário e pelos juros de suas aplicações financeiras.Ele poupa anualmente 1/p de sua renda e investe sua poupança a juros mensais de taxa i.determine a renda de carmelino no mes i.3) 5 times de igual força disputarão todo o ano um torneio.Uma taça será ganha pelo time que vencer 3 vezes consecutivas.Qual a probabilidade da taça ser ganha nos n primeiros torneios? __E-mail Premium BOLAntivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já!http://email.bol.com.br/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] geo espacial I
Bem,e facil calcular o lado da birosca,pois e a hipotenusa de um triangulo retangulo isosceles.E nao e dificil ver que o troço e regular(lembre-se do truque do tetraedro).Ai fim! [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Pessoal, Como resolver esta questão: Ligando-se convenientemente os pontos médios das arestas de um cubo, obtém-se um hexágono regular. A razão entre a área e desse hexágono e a área da superfície total do cubo é : resp: raiz(3/8) Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
[obm-l] Bibliotecas..
Olá pessoal das entre as bibliotecas do IMPA, IME e ITA existe alguma diferenca muito grande entre alguma delas? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Inversao e por ai vai...
Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
[obm-l] Inversao e por ai vai...
E ai turma!Voces sabem onde eu posso encontrar livros em lugares legais para saber e dominar e aumentar o KI sobre inversao?A referencia da Eureka nao tem nem a metade do que eu quero.Por exemplo,esse problema e mais potente do que o da IMO: Num triangulo ABC pegue uma circunferencia que tangencie AB e BC nos pontos (Creuza1) e (Creuza2) e tangencie a pelota circular que passa por A,B e C.Mostre que ha uma pelota de centro no ponto medio dos pontos Creuza que tangencia AB,BC e CA. Esse eu resolvi com Casey mas estou aberto a outras sugestoes.Para quem quer ver Caseym pegue a revista da Iberoamericana.Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] Desigualdade estranhinha
Caro JP: Então, o problema é: Maximizar a_1*a_2+a_2*a_3+a_3*a_4+.+a_(n-1)*an+a_n*a_1 sabendo que a soma dos a's e 1. Nesse caso, acho que cabe a desigualdade do rearranjo: Suponhamos s.p.d.g. que A(1) = A(2) = ... = A(n). Pela desig. do rearranjo, vale: A(1)*A(2) + ... + A(n-1)*A(n) + A(n)*A(1) = A(1)^2 + ... + A(n)^2, com igualdade se e somente se os A(i)'s são todos iguais. Como a soma deles é 1, eles serão todos iguais a 1/n == o valor máximo procurado é igual a n * (1/n)^2 = 1/n. Repare que não foi necessário supor que os A(i)'s são positivos, pois a desig. do rearranjo não necessita dessa hipótese. Um abraço, Claudio.
Re: [obm-l] geo espacial I
Ligando-se convenientemente os pontos médios das arestas de um cubo, obtém-se um hexágono regular. A razão entre a área e desse hexágono e a área da superfície total do cubo é : Área da superfície total do cubo = 6*a^2 (a = medida das arestas do cubo) Cada lado do hexágono é um segmento unindo os pontos médios de duas arestas adjacentes de alguma face do cubo. Se a aresta do cubo mede "a", então o lado do hexágono mede raiz((a/2)^2 + (a/2)^2) = a/raiz(2). Área do hexágono = 6 * Área de um Triângulo Equilátero de lado a/raiz(2) = 6 * (a/raiz(2))^2 * raiz(3)/4 = 6 * a^2 * raiz(3)/8 Área Hexágono / Área Cubo = raiz(3)/8
Re: [obm-l] Bibliotecas..
Dessas, a unica que conheco e a do IMPA, e muito boa. Tenho um amigo que estuda no IMPA e IME, ele diz que a do IME nao e muito boa, mas tb adora a do IMPA niski [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal das entre as bibliotecas do IMPA, IME e ITA existe alguma diferenca muito grande entre alguma delas?=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] Bibliotecas..
DependeEu moro em Sao Paulo e ja achei muita coisa legal no IME-USP,como as demonstraçoes do TNP e do Teorema da PA que tem o meu nome.E tem livros ate de IMO!Ja no IMPA eu ouvi falar que tem algumas ediçoes da CRUX Mathematicorum e exemplares do Proofs. Na USP,site www.ime.usp.br voce encontra um acervo com os livros disponiveis. niski [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal das entre as bibliotecas do IMPA, IME e ITA existe alguma diferenca muito grande entre alguma delas?=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
[obm-l] Re: [obm-l] Questão dos triângulos
No primeiro, a maior dificuldade é determinar qual a posição e dimensões de cada retângulo adicionado a fim de maximizar o número de sub-divisões obtidas. * O segundo é um pouco mais fácil: Supondo que são desenhadas retas (ao invés de segmentos) temos o seguinte: 1 reta == A(1) = 2 áreas distintas 2 retas == A(2) = 4 áreas distintas 3 retas == A(3) = 7 áreas distintas Cada reta adicionada deve interceptar todas as outras já existentes de modo que no máximo duas retas se encontrem em cada ponto do plano. Isso significa que esta nova reta interceptará n-1 retas e, portanto, passará por (n-1) + 1 = n regiões, dividindo cada uma delas em duas novas regiões.Ou seja, a n-ésima reta criará n noves regiões. Teremos, portanto, a recorrência: A(n) = A(n-1) + n, cuja solução pode ser obtida da seguinte forma: A(1) = 1 + 1 A(2) = A(1) + 2 A(3) = A(2) + 3 A(n-1) = A(n-2) + (n-1) A(n) = A(n-1) + n Somando estas n equações e cancelando os termos comuns (técnica normalmente conhecida como "telescopagem"), obtemos: A(n) = 1 + (1 + 2 + ... + n) = 1 + n*(n+1)/2 = (n^2 + n + 2)/2 A(n) = 1597 == (n^2 + n + 2)/2 = 1597 == n^2 + n - 3192 = 0== n = 56 ou n = -57 == (desprezando a raiz negativa) n = 56 retas. O terceiro apresenta a mesma dificuldade que o primeiro. Acho que o principal requisito é que no máximo duas arestas de triângulos distintos se interceptem em cada ponto do plano (e naturalmente, que cada ponto seja vértice de no máximo 1 triângulo). Por exemplo: A(1) = 2 (o interior e o exterior do triângulo) A(2) = 8 (figura homeomorfa a uma estrela de David) A(3) = 20 (cada lado do 3o. triângulo intercepta duas arestas de cada um dos dois primeiros ecria 3 novas regiões juntamente com os dois primeiros triângulos (portanto, total de 9). Além disso, o 3o. triângulo cria mais 3 novas regiões, cada uma das quais tem um vértice em comum com ele - logo: 9 + 3 = 12 novas regiões == Total = 8 + 12 = 20). Sem fazer uma figura fica difícil visualizar. De qualquer forma, a recorrência é bem menos óbvia. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, February 18, 2003 8:11 PM Subject: [obm-l] Questão dos triângulos Olá pessoal, Ninguém quis discutir nada a respeito das questões do felipensador abaixo, por que? Pelo menos eu achei muito interessante e vcs ? Acredito que seja possível resolvê-las por análise combinatória, não acham ? felipe mendona wrote: Assunto: [obm-l] Maximo e minimo Data: 15/2/2003 22:50:12 Hora padrão leste da Am. Sul From: [EMAIL PROTECTED] (felipe mendona) Sender: [EMAIL PROTECTED] Reply-to: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Ai vao 3 problemas: 1) Vários retângulos são desenhados numa superfície plana, de modo que os cruzamentos entre suas linhas produzem 18.769 áreas distintas não subdividas. Qual o número mínimo de desenhos de retângulos necessário para formar o padrão descrito? 2) Vários segmentos retos são traçados numa superfície plana, de modo que os cruzamentos entre suas linhas produzem 1.597 áreas distintas não subdividas. Qual o número mínimo de traços necessário para formar o padrão descrito? 3) São desenhados 1 + 10^1.234.567.890 triângulos numa superfície plana. Qual é o número máximo de áreas distintas não subdividas que podem ser formadas pela intersecção desses triângulos?
Re: [obm-l] Bibliotecas..
Acho que ele estava falando do IME militar e não da Usp... Aliás, o que vc faz lá? Eu faço ciência da computação... - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, February 19, 2003 3:56 PM Subject: Re: [obm-l] Bibliotecas.. DependeEu moro em Sao Paulo e ja achei muita coisa legal no IME-USP,como as demonstraçoes do TNP e do Teorema da PA que tem o meu nome.E tem livros ate de IMO!Ja no IMPA eu ouvi falar que tem algumas ediçoes da CRUX Mathematicorum e exemplares do Proofs. Na USP,site www.ime.usp.br voce encontra um acervo com os livros disponiveis. niski [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal das entre as bibliotecas do IMPA, IME e ITA existe alguma diferenca muito grande entre alguma delas?=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>= Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] Bibliotecas..
Domingos Jr. wrote: Acho que ele estava falando do IME militar e não da Usp... Aliás, o que vc faz lá? Eu faço ciência da computação... nao. me referi ao IME-USP mesmo - Original Message - *From:* Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet mailto:[EMAIL PROTECTED] *To:* [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] *Sent:* Wednesday, February 19, 2003 3:56 PM *Subject:* Re: [obm-l] Bibliotecas.. DependeEu moro em Sao Paulo e ja achei muita coisa legal no IME-USP,como as demonstraçoes do TNP e do Teorema da PA que tem o meu nome.E tem livros ate de IMO!Ja no IMPA eu ouvi falar que tem algumas ediçoes da CRUX Mathematicorum e exemplares do Proofs. Na USP,site www.ime.usp.br http://www.ime.usp.br voce encontra um acervo com os livros disponiveis. */niski [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED]/* wrote: Olá pessoal das entre as bibliotecas do IMPA, IME e ITA existe alguma diferenca muito grande entre alguma delas? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é = *Busca Yahoo! http://br.busca.yahoo.com/* O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Negocio da China !
Ha um pequeno engano no problema 2. Na verdade, deve-se provar que OY e' perpendicular a XY. Abracos, Wagner. -- From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Negocio da China ! Date: Wed, Feb 19, 2003, 12:09 PM Ola Pessoal, Seguem abaixo as traduçoes ( do ingles ) de tres problemas de Olimpiadas da China. (1 - CHINA 1990 ) S e o conjunto de todos os sub-conjuntos de um dado conjunto X que teem um mesmo numero de elementos e F e uma funcao real definida sobre S tal que F(A) 1990 para algum elemento A de S. Sabe-se tambem que : F(B uniao C)=F(B)+ F(C)-1990 para todos elementos B e C de S que sejam disjuntos. Mostre que nos podemos encontrar um sub-conjunto Y de X tal que : F(D) 1990 para todo D contido em Y F(D) = 1990 para todo D contido em X-Y (2 - CHINA 1992 ) As diagonais de um quadrilatero ciclico (inscritivel) encontram-se em X. O circulo circunscrito ao triangulo ABX encontra o circulo circunscrito ao triangulo CDX em X e Y. Se O e o centro do circulo circunscrito ao quadrilatero ABCD e O,X e Y sao distintos dois a dois, mostre que OY e perpendicular a OX. (3 - CHINA 1994 ) Seja p(z)= z^N + An-1*z^(N-1) + ... + A0 um polinomio com coeficientes complexos. Mostre que nos podemos encontrar um ponto (numero complexo) z com modulo(z') = 1 e tal que modulo(p(z')) = 1 + modulo(A0). Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1209,190203 _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
