Re: [obm-l] #Walter#_Exercícios_Simples_ de_Vestibulares
No primeiro problema não vejo nada de errado, para mim a resposta só seria 1/1500 caso não pudesse haver letras repetidas, pois assim 1/(5*5*5*4*3)=1/1500. No segundo: nº total de eventos favoráveis=8+10-7=11 logo, p(A)=11/20 (Há 7 números que são ímpares e primos simultaneamente, por isso devemos subtrair 7 do total, poi estariam sendo contados duas vezes) Em 4 Aug 2003, [EMAIL PROTECTED] escreveu: 01. O dispositivo que aciona a abertura do cofre de uma joalheria, apresenta um teclado com nove teclas, sendo cinco algarismos (0,1,2,3,4) e quatro letras (x,y,z,w). O segredo do cofre é uma seqüencia de três algarismos seguidos de duas letras. Qual a probabilidade de uma pessoa numa única tentativa, ao acaso, abrir o cofre? Eu estou resolvendo assim: __ __ __ * __ __ Algarismos Letras Probabilidades individuais: 1/5 * 1/5 * 1/5 * 1/4 * 1/4 = 1/2000 Porém o problema indica como solução 1/1500 . Onde estou interpretando / errando o problema? === 02. Um número inteiro é escolhido ao acaso entre aqueles pertencentes ao conjunto U = (2, 3, 4, ..., 19, 20, 21). A probabilidade do número escolhido ser um número primo ou um número ímpar é...? Este eu estou resolvendo desta maneira: O conjunto U dado no problema, tem 20 números (de 2 a 21). Eventos favoráveis para números PRIMOS: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 = 8 eventos; Eventos favoráveis para números ÍMPARES: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21 = 20/2 = 10 eventos. Logo, eu assinalaria a alternativa que exprime 18/20 como solução, entretanto, a solução CORRETA, indica 11/20. Novamente, onde estou interpretando / errando o meu problema? Tem algo a ver com os números repetidos, ou qualquer coisa do tipo? Por enquanto é isso. Obrigado desde já! -- Walter Gongora Jr [EMAIL PROTECTED] ** [EMAIL PROTECTED] #8368573 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ Ofertas imperdíveis! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Retorno do Abertos da lista? Que tal a gente achar quadrados perfeitos do tipo 3*10^k+6*10^l? O tres nao pode vir no final.Talvez modulo...Depois eu penso... --- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caros colegas: Aqui vao dois problemas que ainda estao em aberto na lista. O primeiro foi enviado pelo Duda Stabel. O segundo eh da olimpiada iraniana, se nao me engano. 1) Determinar o conjunto de números inteiros positivos que satisfazem à duas condições: (i) todo número possui exatamente dois algarismos não-nulos, sendo um deles o três(3), (ii) todo número é quadrado perfeito. 2) Prove ou disprove: existe uma potencia de 2 tal que ao se permutar os algarismos de sua representacao decimal obtem-se uma outra potencia de 2. Esse segundo tem uma solucao aparentemente simples, mas esta solucao exclui o caso de potencias de 2 com algarismos 0 internos (ou seja, numeros do tipo abcdefg). Um abraco, Claudio. ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Número de soluções de sistema linear - Correção
on 07.08.03 01:38, Alexandre Daibert at [EMAIL PROTECTED] wrote: ... O problema é determinar o número de soluções inteiras não negativas do sistema: 16a + 8b + 4c + 2d + e = 23 ... Oi, Alexandre: A solucao classica pra esse tipo de problema eh via series formais (vide artigo do Eduardo Tengan na Eureka 11). No caso, nem precisamos usar series infinitas, mas apenas polinomios. Precisamente, voce estah interessado no coeficiente de x^23 do polinomio formal: f(x) = a(x)*b(x)*c(x)*d(x)*e(x), onde: a(x) = 1 + x^16 b(x) = 1 + x^8 + x^16 = (x^24-1)/(x^8-1) c(x) = 1 + x^4 + x^8 + x^12 + x^16 + x^20 = (x^24-1)/(x^4-1) d(x) = 1 + x^2 + x^4 + x^6 + ... + x^20 + x^22 = (x^24-1)/(x^2-1) e(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^21 + x^22 + x^23 = (x^24-1)/(x-1) Voce consegue ver o porque disso? Logo: f(x) = (1+x^16)*(x^24-1)^4/((x^8-1)*(x^4-1)*(x^2-1)*(x-1)) Pondo esta expressao para f(x) (que de fato eh um polinomio de grau 97) para ser avaliada pelo PARI-GP, eu achei que o coeficiente de x^23 eh igual a 74. Logo, existm 74 solucoes inteiras nao-negativas para a sua equacao. Naturalmente, Mathematica, Matlab ou Maple tambem podem ser usados. O que eu nao recomendo eh fazer na mao. Nao soh ha uma grande chance de voce errar alguma conta, mas tambem voce vai ficar de saco tao cheio que corre o risco de comecar a odiar matematica e abondonar esta bela ciencia pela razao errada. O PARI-GP eh um software de matematica (especialmente teoria dos numeros) que pode ser baixado gratuitamente da internet. O site eh este aqui: http://www.parigp-home.de/ Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Número de soluções de sistema linear - Correção
Desculpe pela viagem total que foi o ultimo reply... nunca mais leio meus emails antes de tomar cafe. Se alguem precisar de alguma coisa eu sou aquele na mesinha do canto com um saco de papel cobrindo o rosto. -Auggy - Original Message - From: Alexandre Daibert [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, August 07, 2003 12:38 AM Subject: [obm-l] Número de soluções de sistema linear - Correção Desculpem-me pelo meu erro. O problema é determinar o número de soluções inteiras não negativas... Sendo assim como posso resolver? (nível de segundo grau se possível) Claudio Buffara escreveu: on 06.08.03 02:15, Alexandre Daibert at [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria de ajuda para o seguinte problema: Calcular o número de soluções do sistema: 16a + 8b + 4c + 2d + e = 23 sendo a, b, c, d, e inteiros positivos. se possível usar somente conhecimentos de ensino médio, se isto não for possível, pelo tente explicar mais ou menos o q está fazendo para q um ignorante aluno q ainda não entrou em um curso superior possa entender :-) Alexandre Daibert - Juiz de Fora - [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Oi, Alexandre: Se a, b, c, d, e sao inteiros positivos, entao o menor valor possivel para: 16a + 8b + 4c + 2d + e eh igual a 16*1 + 8*1 + 4*1 + 2*1 + 1 = 31 23. Logo, o sistema dado (composto duma unica equacao) nao tem solucao em inteiros positivos, ou seja, o numero de solucoes pedido eh zero. Provavelmente, o enunciado nao eh bem esse. De uma conferida. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Olá, Cláudio:
O problema, é que ao copiar a solução do bloco de notas, e colá-la na
mensagem, ela embaralhou toda, vê se assim fica melhor, as correções foram
feitas diretamente na mensagem original:
Em 7 Aug 2003, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Oi, e_lema (qual o seu nome?):
Meus comentários estão ao longo da sua mensagem.
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From:
To:
Sent: Wednesday, August 06, 2003 8:21 PM
Subject: Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Cláudio obrigado pelas correções, e aqui vai a solução, gostaria
procurasse
erros nela, ou tentasse simplificá-la.
Não há quadrado perfeito que termine em 3, logo o 3 deverá ser o 1º alg.
da
esq. p/ dir.
Sendo assim os números do tal conjunto deverão ser da forma
300...0n00...0
ou
W=3*10^(p+2q+1)+n*10^(2q) ; Sendo todas as incógnitas inteiras
não-negativas, onde n
só poderá assumir os valores de: 1, 4, 5, 6, 9
Até aqui, estou 100% de acordo.
De fato, numa mensagem anterior você provou que o único quadrado com n = 6
é
o 36.
Além disso, usando congruência mod 9, também eliminamos o 5 e o 9, da
seguinte forma:
Os quadrados (mod 9) são: 0, 1, 4 e 7.
Como W é quadrado e W == 3+n (mod 9), teremos que:
3+n == 0, 1, 4 ou 7 (mod 9) ==
n == 6, 7, 1 ou 4 (mod 9) ==
(dado que n pertence a {1,4,5,6,9}) n só pode ser 1, 4 ou 6 ==
(em virtude da sua análise do caso n = 6) n só pode ser 1 ou 4.
Resumindo, o problema é provar que não existem quadrados da forma:
3*10^p + 1 e 3*10^p + 4.
Provemos agora que p só pode ser zero.
W=300...0n*10^(2q)=K*K, K inteiro :. 300...0n=q*q, q inteiro, logo:
q*q=3*10^(p+1)+n=30*10^(p)+n :.
Você deveria ter escolhido outra letra que não q, pois esta já estava
sendo usada pra representar o número de zeros à direita (em 10^(2q)), mas
tudo bem... foi mal, nem vi.
O problema começa a partir daqui, onde você introduz expoentes
possivelmente
irracionais (o que é um pouco inusitado para este problema, mas pode até
dar
certo no final) e a formatação/tabulação está bem difícil de entenderSe
você puder dar uma limpada no argumento e na formatação eu agradeceria.
q*q-n=(q+n^0,5)(q-n^0,5)=[3*10^(t)]*[10^(s)], t,s reais
temos dois casos possíveis:
t=sq+n^0,5=3*10^t e q-n^0,5=10^s sistema 1
ou
ts q+n^0,5=10^s e q-n^0,5=3*10^t sistema 2
Logo, só temos 2 valores possíveis para q:
t=s a-)q=3*10^t+n^0,5 ou ; ts b-)q=10^s+n^0,5
a-)q*q=9*10^(2t)+6*n^(0,5)*10^(t)+n
b-)q*q=10^(2s)+2*n^(0,5)*10^(s)+n
a-)10^(2t)=10^(a)/3, a inteiro positivo,
pois 9*10^(2t)=3*10^(a)=300...0
Desse jeito
q*q=3*10^(a)+6*((n*10^(a))/3)^(0,5)+n=3*10^(a)+2(n*3*10^(a))+n
q*q só será inteiro se n*3*10^(a) o for também. Mas nehum dos valores
possíveis de n
faz essa condição ser obedecida. Daí, hipótese a é falsa.
b-)10^(2s)=3*10^(a), a inteiro positivo, pois 10^(2s)=3*10^(a)=300...0
Desse jeito q*q=3*10^(a)+2*(n*3*10^(a))+n, ora recaímos no caso anterior,
logo a
hipótese b também é falsa
Disso concluímos que no número W=300...0n00...0, entre 3 e n não deve
haver
zeros, com isso
W=3n00...0=3n*10^(2q)=K*K :. 3n=q*q :. n=6
Logo a resposta será:
3600...0, onde o nº de zeros é par, ou 3,6*10^(2q+1); q=0 e q inteiro
Caso não tenha entendido, volte aos sistemas 1 e 2, e resolvá-os
admitindo f=1 ou f=4, só que isso dá uma solução um pouco grande...
Um abraço,
Eduardo
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Re: [obm-l] medidas
Caro Eduardo: Andei um tempo afastado da lista e s agora pude ver sua mensagem e as outras que a sucederam. Vou tentar esboar uma soluo para o exerccio 5: Chame os segmentos de AB e CD e suponha AB = a > b = CD. Da, a = b.q1 + r1, onde q1 um natural e 0 r1 b; b = r1.q2 + r2, onde q2 um natural e 0 r2 r1 ; r1 = r2.q3 + r3, onde q3 um natural e 0 r3 r2 ; . . . e, assim, sucessivamente, pois "o processo nunca termina". Agora, fcil ver que r1 a / 2, r3 r1 / 2, de onde r3 a / 4, r5 r3 / 2, de onde r5 a / 8, . . . isto , vo aparecer "restos" arbitrariamente pequenos. (*) Agora, se houvesse um segmento de medida d (fixa) que fosse submltiplo de AB e CD, ento ele tambm seria submltiplo dos segmentos de comprimentos r1 , r2 , r3 , etc. Contradio com (*). Acredito que esta soluo esteja de acordo com os conceitos apresentados no livro a que voc se referiu. Um abrao, Luiz Alberto Eduardo Soares wrote: Poderiam me ajudar com esses problemas do livro "medida e forma em geometria"do Elon Lages.5- Sejam dados dois segmentos de reta desiguais. Se, subtraindo sucessivamente o menor do maior; o resto de cada subtrao nunca um submltiplo do resto anterior (isto , o processo nunca termina), ento os segmentos so incomensurveis.6- Diz-se que o ponto C, sobre o segmento AB, divide AB em mdia e extrema razo quando AB/AC=AC/BC. Prove que a diviso em mdia e extrema razo hereditria, no seguinte sentido: se o ponto C divide o segmento AB em mdia e extrema razo ento, tomando D tal que AD=CB, o ponto D divide o segmento AC em mdia e extrema razo. MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. Faa o seu agora. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas
Title: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas on 05.08.03 00:07, Fabio Bernardo at [EMAIL PROTECTED] wrote: Refiro-me ao 1), vejamos: 7^4 = (7^2)^2 = 49^2 4^7 = 2^14 = (2^7)^2 = 128^2 Logo, o numero de quadrados eh 128 - 48 = 80 (incluindo 7^4 e 4^7). Se quisermos os quadrados estritamente entre 7^4 e 4^7, o numero eh 78. Eu não entendi bem o que garante que a resposta é 128-48. Os quadrados perfeitos entre 49^2 e 128^2 (incluindo as extremidades) sao: 49^2, 50^2, 51^2, ..., 127^2, 128^2 == total de 128 - 49 + 1 = 128 - 48 = 80. Essa soluçao seria a mesma se eu quisesse 3^4 e 4^3 Nesse caso teriamos 3^4 = 9^2 e 4^3 = 8^2. Logo, os quadrados seriam: 8^2 e 9^2 == total de 2. E se tivéssemos x^y e y^x? Generalizando, a ideia eh achar m e n tais que que m^2 = x^y e n^2 = y^x == m = x^(y/2) e n = y^(x/2). Claro que esses numeros podem nao ser inteiros. Por exemplo, considere os numeros 7^3 e 3^7. O menor quadrado perfeito maior do que 7^3 eh 19^2 e o maior quadrado perfeito menor do que 3^7 eh 46^2. Logo, o numero de quadrados perfeitos entre 7^3 e 3^7 eh 46 - 19 + 1 = 28 (sao eles: 19^2, 20^2, 21^2, ..., 45^2, 46^2). Espero que tenha ficado claro. Um abraco, Claudio. Vc usou: logo, o número... essa passagem não ficou clara p/ mim. Talvez seja algum resultado que eu não conheço. Desde já agradeço. - Original Message - From: Claudio Buffara mailto:[EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, August 04, 2003 10:40 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas A que solucao voce se refere? Do 1o. ou do 2o. problema? Inducao nao me parece aplicavel a nenhum dos dois. on 04.08.03 13:37, Fabio Bernardo at [EMAIL PROTECTED] wrote: Não que eu esteja duvidando da solução, mas onde encontro a prova dessa solução? Achei muito bacana, será que usando indução sai? - Original Message - From: Claudio Buffara mailto:[EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, August 04, 2003 8:05 AM Subject: Re: [obm-l] Olimpíadas on 04.08.03 00:10, Fabio Bernardo at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, não consegui resolver essas 2 abaixo. Quem me pediu disse que eram de Olimpíadas. Não sei se são. Se alguém puder, me ajude por favor. 1) Quantos quadrados perfeitos existem entre 7^4 e 4^7? 2) resolva a equação: x = sqrt(2+sqrt(2-sqrt(2+x))) Esse foi um problema da OBM-2002. De uma olhada na mensagem do MuriloRFL pra lista de 14-Julho-2003. Um abraco, Claudio. Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra http://www.emailprotegido.terra.com.br/ . Scan engine: VirusScan / Atualizado em 01/08/2003 / Versão: 1.3.13 Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/
[obm-l] AJUDAAAAAAA???
Os originais de um livro têm 288 páginas com 25 linhas cada página e após impresso resultou um volume com 252 páginas de 30 linhas cada. Quantas páginas do livro do mesmo formato serão obtidas com 192 páginas de um original que tem 30 linhas de cada página? COMO FAÇOO _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
