[obm-l] Re: [obm-l] Cochilo na aula de algebra
Todas as raízes são iguais a 2. De fato, se as raízes são x_1, x_2,..., x_10, então pelas relações de Girard temos: x_1 + x_2 + ... + x_10= 20 x_1.x_2...x_10= 1024 Como as raízes são reais positivas, podemos usar MA = MG: (x_1 + x_2 + ... + x_10)/10 = (x_1.x_2...x_10)^(1/10) = 20/10 = (1024)^(1/10) = 2 = 2 Como ocorre a igualdade, devemos ter que todos os x_i´s são iguais, logo 10.x_1=20 = x_1= x_2=...= x_10= 2. Ateh mais, Yuri -- Mensagem original -- Caros colegas: Aqui vai um bonitinho: Um estudante acordou no fim de uma aula de algebra a tempo de ouvir o professor falar: ...e vou dar uma dica pra voces: todas as raizes sao reais e positivas. Quando ele olhou pro quadro-negro, viu uma equacao polinomial de 10o. grau que o professor tinha dado como dever de casa e que ele comecou a copiar feito um maluco. Infelizmente, o professor apagou rapidamente o quadro e ele soh teve tempo de copiar os dois primeiros termos: x^10 - 20*x^9. Ele tambem reparou que o termo constante era +1024. Pergunta: Quais as raizes da equacao? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Matematica contra-intuitiva
on 10.08.03 00:50, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Aproveito a oportunidade para perguntar: Existe alguma conclusao da
matematica que vc considere contraria aa intuicao? Eu, por exemplo, acho um
tanto contra intuitivo que o fato de f ser diferenciavel em R e apresentar
limite no infinito nao implique que f' apresente limite zero no infinito.
Algumas pessoas acham contra intuitivo que a serie harmonica seja
divergente.
Artur
Oi, Artur:
Gostaria de ver que exemplos outras pessoas da lista vao dar, mas assim de
bate-pronto eu diria que acho contra-intuitivo:
1) que existam funcoes continuas em toda a reta mas sem derivada em nenhum
ponto;
2) o fato de, sendo a irracional, o conjunto { m + na ; m, n inteiros } ser
denso em R;
3) que Pi tenha alguma relacao com a soma dos inversos dos quadrados dos
naturais;
4) que um problema tao simples como o de 3 corpos sujeitos a atracao
gravitacional mutua possa ter uma solucao caotica;
5) que um conjunto nao enumeravel possa ter medida nula;
6) que exista uma bijecao entre R e R^2;
7) a maioria dos resultados quase-milagrosos de analise complexa;
8) que R possa ser bem-ordenado e que isso seja consequencia de um negocio
tao intuitivo como o axioma da escolha.
9) que o porisma de Poncelet nao possa ser provado apenas por geometria
Euclidiana.
Mas acho que todos esses sao pinto se comparados ao
10) paradoxo de Banach-Tarski - voce pode decompor uma esfera do tamanho de
uma ervilha em no maximo 5 pedacos e re-montar esses pedacos de modo a
formar uma esfera do tamanho do Sol
E com essa, vou dormir...
Um abraco,
Claudio.
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Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Cláudio obrigado pelas correções, e aqui vai a solução, gostaria procurasse erros nela, ou tentasse simplificá-la. Não há quadrado perfeito que termine em 3, logo o 3 deverá ser o 1º alg. da esq. p/ dir. Sendo assim os números do tal conjunto deverão ser da forma 300...0n00...0 ou W=3*10^(p+2q+1)+n*10^(2q) ; Sendo todas as incógnitas inteiras não-negativas, onde n só poderá assumir os valores de: 1, 4, 5, 6, 9 Provemos agora que p só pode ser zero. W=300...0n*10^(2q)=K*K, K inteiro :. 300...0n=q*q, q inteiro, logo: q*q=3*10^(p+1)+n=30*10^(p)+n :. q*q-n=(q+n^0,5)(q-n^0,5)=[3*10^(t)]*[10^(s)], t,s reais q+n^0,5=3*10^t q+n^0,5=10^s q=3*10^t+n^0,5 temos dois casos: t=s :. e outs :. e ; ou q-n^0,5=10^sq-n^0,5=3*10^t q=10^s+n^0,5 a-)q*q=9*10^(2t)+6*n^(0,5)*10^(t)+n ou b-)q*q=10^(2s)+2*n^(0,5)*10^(s)+n a-)10^(2t)=10^(a)/3, a inteiro positivo, pois 9*10^(2t)=3*10^(a)=300...0 Desse jeito q*q=3*10^(a)+6*((n*10^(a))/3)^(0,5)+n=3*10^(a)+2(n*3*10^(a))+n q*q só será inteiro se n*3*10^(a) o for também. Mas nehum dos valores possíveis de n faz essa condição ser obedecida. Daí, hipótese a é falsa. b-)10^(2s)=3*10^(a), a inteiro positivo, pois 10^(2s)=3*10^(a)=300...0 Desse jeito q*q=3*10^(a)+2*(n*3*10^(a))+n, ora recaímos no caso anterior, logo a hipótese b também é falsa Disso concluímos que no número W=300...0n00...0, entre 3 e n não deve haver zeros, com isso W=3n00...0=3n*10^(2q)=K*K :. 3n=q*q :. n=6 Logo a resposta será: 3600...0, onde o nº de zeros é par, ou 3,6*10^(2q+1); q=0 e q inteiro --- Claudio Buffara escreveu: Caros colegas: Aqui vao dois problemas que ainda estao em aberto na lista. O primeiro foi enviado pelo Duda Stabel. O segundo eh da olimpiada iraniana, se nao me engano. 1) Determinar o conjunto de números inteiros positivos que satisfazem à duas condições: (i) todo número possui exatamente dois algarismos não-nulos, sendo um deles o três(3), (ii) todo número é quadrado perfeito. 2) Prove ou disprove: existe uma potencia de 2 tal que ao se permutar os algarismos de sua representacao decimal obtem-se uma outra potencia de 2. Esse segundo tem uma solucao aparentemente simples, mas esta solucao exclui o caso de potencias de 2 com algarismos 0 internos (ou seja, numeros do tipo abcdefg). Um abraco, Claudio. ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ Ofertas imperdíveis! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ Ofertas imperdíveis! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Caros amigos: A enquete sobre a beleza matematica ja produziu uma lista grande de belos teoremas. Mas ficou faltando um na minha opiniao; o teorema de Euler dos poliedros convexos: V - A + F = 2. Nao eh uma coisa linda e inesperada? Eu, quando tive contato com esse resultado pela primeira vez, fiquei pasmo, fascinado pela sua simplicidade e beleza. Eh tambem surpreendente pelas demonstracoes erradas ou incompletas que apareceram durante cerca de 200 anos de historia. Abracos, E. Wagner. -- From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Sat, Aug 9, 2003, 10:24 AM Caros colegas da lista: Gostaria de contar com sua participacao numa enquete sobre beleza matematica. O que eu precisao eh que cada um de voces me envie uma lista contendo algo como 5 a 10 problemas/teoremas que voces consideram os mais bonitos e cujas solucoes/demonstracoes sao as mais elegantes e/ou inusitadas e/ou engenhosas. Nao precisa incluir a solucao/demonstracao, apenas o enunciado. No entanto, se voce tiver em mente uma solucao/demonstracao especifica (entre varias existentes) nao deixe de mencionar pelo menos o metodo utilizado. A unica restricao eh que estes resultados devem ser de um nivel acessivel a um aluno normal de 2o. grau (ou seja, o Ultimo Teorema de Fermat e o Porisma de Poncelet estao fora, mas o caso n = 4 do UTF e a versao para triangulos do Porisma poderiam ser incluidos). Importante: os resultados devem ser acessiveis a um aluno normal de 2o. grau, mas nao necessariamente fazer parte do curriculo normal do 2o. grau. Tambem nao precisa responder hoje ou amanha ou mesmo na semana que vem. Acho que vale a pena pensar por um tempo e consultar a literatura - as vezes pode ter um resultado belissimo do qual voce simplesmente se esqueceu por nao encontra-lo ha muito tempo. As Eurekas sao uma otima referencia. O Proofs from the Book tambem, apesar de nem tudo lah ter nivel de 2o. grau. Se houver um numero suficiente de respostas, eu me comprometo a publicar uma compilacao dos problemas e teoremas mais votados. Desde jah a gradeco o interesse de quem quiser participar. Um abraco, Claudio. = InstruÁes para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Trigonometria (ajuda)
Desculpe-me, mas eu não entendi. Vou detalhar um pouco mais. De acordo com o livro, resolvendo o sistema, encontraríamos: (1) z = 1 = y = 0. Nesse caso, senx = 0 e cosx = 1; logo x= 2kpi (2) z = 1/2 = y = raiz3/2. Nesse caso, senx = raiz3/2 e cosx = 1/2; logo x = pi/3 + 2kpi Ok,transcrevi a resolução do livro. Mas,analizemos o (2): senx =sqrt3/2 = x = pi/3 + 2kpi ou x = (pi - pi/3) + 2kpi = 2pi/3 + 2kpi ,e em: cosx = 1/2 = x = +ou-pi/3 + 2kpi Pronto... Resolvi separadamente cada equação (senx= sqrt3/2e cosx = 1/2),e não consigo entender qual foi o critério para a solução ser somente, no caso de (2),pi/3 + 2kpi. Obrigado pela atenção. Nelson Ariel de Silvio [EMAIL PROTECTED] wrote: mas e o senx?? sen(-pi/3) = -sqrt(3)/2 o resultado de senx + sqrt(3).cosx seria ZERO *** MENSAGEM ORIGINAL ***As 17:47 de 9/8/2003 Nelson escreveu: Olá a todos, estou com uma dúvida muito fácil, mas que não consigo uma explicação teórica. Para resolver equações trigonométricas do tipo a(senx) + b(cosx) = c, onde a, b e c são números conhecidos, existem, basicamente, três métodos para resolve-las. Por exemplo: Resolver a equação senx + raiz3(cosx) = raiz3 (obs: raiz quadrada) Utilizando o método que tenho dúvida, fica assim: Fazemos senx = y, cosx = z e resolvemos o sistema: y + (raiz3)z = raiz3 y^2 + z^2 = 1 (1) z = 1 = y = 0. Nesse caso, senx = 0 e cosx = 1; logo x= 2kpi (2) z = 1/2 = y = raiz3/2. Nesse caso, senx = raiz3/2 e cosx = 1/2; logo x = pi/3 + 2kpi Esse exemplo foi tirado do livro temas e metas, de Antônio dos Santos Machado.O problema é que temos em cosx = 1/2, x =+ou- pi/3 + 2kpi, então, qual éa explicação para descatarmos o negativo?: Desde já, agradeço. Nelson Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso.Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens!
Re: [obm-l] Trigonometria (ajuda)
quis dizer o seguinte, lembre q vc tem q dar o valor de x na equação senx + sqrt(3).cosx = sqrt(3) eu nao sou nenhum expert em matematica, mas a meu ver o seu erro está sendo resolver separadamente... se x = 0 + 2kpi sen0 + sqrt(3)*cos0 = 0 + sqrt(3)*1 = sqrt(3) bom, esse nem precisa discutir... se x = pi/3 + 2kpi sen(pi/3) + sqrt(3)*cos(pi/3) = sqrt(3)/2 + sqrt(3)/2 = sqrt(3) lembrando que se for usar o -pi/3 temos que considerar 2pi - pi/3 = 5pi/3 se x = 5pi/3 + 2kpi sen(5pi/3) + sqrt(3)*cos(5pi/3) = -sqrt(3)/2 + sqrt(3)/2= 0 ou seja, não satisfaz a equação que vc precisar resolver LEMBRE-SE vc quer achar X... o Y e Z foram apenas "ferramentas" pra isso... eu acho q nesse caso eu nem usaria o y e z, ficaria como senx e cosx q eu visualizo mais facil qq duvida manda ae []s Ariel
Re: [obm-l] Teorema das raízes racionais
Bem, o polinomio tem que ter coeficientes inteiros. Seja p/q irredutivel uma raiz. Substitua na equaçao, faça as contas eliminando denominadores. Chega-se a a(n) (p^n) + a(n-1) [p^(n-1)]q +...+a(1)p[q^(n-1)] + a(0) (q^n) = 0 a(n) (p^n) + a(n-1) [p^(n-1)]q +...+a(1)p[q^(n-1)] = - a(0) (q^n) O primeiro membro eh divisivel por p. Logo, o segundo tambem eh. C omo p eh primo com q, p divide a(0). Analogamente, passando o termo com a(n) para o segundo membro. Henrique Patrício Sant'Anna Branco wrote: Caros, Recentemente foi usado na lista o teorema das raízes racionais, que segue: Se um polinômio f(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_0 tiver raízes racionais, estas serão da forma p/q com p divisor de a_0 e q divisor de a_n. Todo mundo aprende isso no ensino médio, mas é raro ver a demonstração. Pesquisando na Internet, nao achei nada também... Alguém saberia me dar uma demonstração desse teorema? Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Livro da OBM
Livro Olimpiadas Brasileiras de Matematica 9a. a 16a. , problemas e resolucoes. Organizadores: Carlos Moreira (Gugu), Edmilson Motta, Eduardo Tengan, Luiz Amancio, Nicolau Saldanha, Paulo Rodrigues. Uma publicacao de: Olimpiada Brasileira de Matematica Sociedade Brasileira de Matematica 172 paginas Vendas e distribuicao: Sociedade Brasileira de Matematica Tel: (21)25295073 - (21)25295072 e-mail: [EMAIL PROTECTED] Sobre o livro: O livro e' a colecao dos problemas propostos na Olimpiada Brasileira de Matematica (OBM) no periodo de 1987 a 1994, composto de 5 partes. Na primeira parte encontram-se os enunciados dos problemas dispostos exatamente como foram propostos na competicao. Ja na segunda, temos Dicas e os Fatos que ajudam. Fatos que ajudam sao conceitos ou teoremas que podem orientar o leitor na busca da solucao, indicando ferramentas uteis e disponiveis. Sao explicitados tambem devido a sua utilidade e importancia em diversas outras situacoes. A terceira parte abriga, finalmente, as tao desejadas solucoes. E' uma experiencia extremamente gratificante resolver um problema que, no comeco, parecia muito dificil. Entao, inicialmente procure nao olhar a solucao sem tentar resolverseriamente o problema, lendo-o com muita atencao; depois procurando pensar sem recorrer a segunda parte; e finalmente, olhando as Dicas e os Fatos que ajudam. E' claro que as solucoes apresentadas não tem a ambicao de serem as unicas ou melhores. Portanto, voce esta desafiado a obter as suas e comparar! Na parte seguinte, estao listados resultados importantes da Matematica Olimpica, mas que nao sao em geral tratados nos cursos de Matematica do Ensino Medio. Assim, o leitor tem facil acesso a um resumo destes topicos fundamentais. O livro culmina com a relacao dos alunos premiados. ___ Para as 8 primeiras provas de 1979 a 1986, consulte o livro Olimpiadas de Brasileiras de Matematica, 1a. a 8a., tambem publicado pela SBM. Abracos, Nelly.
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Chamem um exorcista, o Nicolau está possuído pelo espírito de Fermat... Só espero que ele não demore 350 anos até enviar a sua solução... Brincadeira... Agora escrevendo seriamente. Tb não sei que problema dos pontos é esse e muito menos a solução de Fermat para o mesmo. Morgado, salve-nos... Abraços, Frederico. From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Sat, 9 Aug 2003 18:54:19 -0300 On Sat, Aug 09, 2003 at 11:08:53AM -0300, A. C. Morgado wrote: 4) O problema dos pontos. Pela beleza da solução de Fermat. Perdão pela minha ignorância, mas o que é o problema dos pontos? 5) São apenas 5 os poliedros regulares. (Outro que, em geral, não nos damos conta de quão surpreendente ele é.) Aqui é preciso demonstrar não só que não existem outros poliedros regulares mas também que os cinco poliedros que nós conhecemos de fato existem. Uma demonstração é pura e simplesmente dar coordenadas em R^3 para os vértices mas esta demonstração de certa forma é insatisfatória pois é caso a caso. O que seria interessante é demonstrar de forma geral que se o ângulo interno de um polígono regular de n lados é menor do que 2 pi/m então podemos juntar m polígonos regulares de n lados ao redor de cada vértice e completar um poliedro regular. Eu tenho uma demonstração notável deste fato mas este e-mail é pequeno demais para ela. ;-) []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matematica contra-intuitiva
Ola pessoal, De todos os teoremas que vcs postaram ateh agora o que me chamou mais atencao e eh extremamente contra-intuitivo eh o teorema abaixo. Pois uma esfera com volume V e massa M sendo fragmentada e depois reagrupada para depois se transformar em outra c/ volume V*f (sendo f um fator de aumento de grandeza) e massa M soh eh possivel se a esfera maior for oca, nao eh isso ? Mas acho que o teorema diz que a esfera (V, M) se transformarah em outra esfera (V*f , M*f). A passagem passagem V- V*f eh extremamente aceitavel, mas acho que o paradoxo vem da passagem M-M*f, pois eh contra as proprias leis da Fisica. De onde o corpo pegaria emprestado esta massa. Acho que este emprestimo de massa o paradoxo nao permite, nao eh isso ? Por favor me esclarecam, pois adoro paradoxos e este me chamou a atencao. Em uma mensagem de 10/8/2003 02:41:35 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: . . . . 10) paradoxo de Banach-Tarski - voce pode decompor uma esfera do tamanho de uma ervilha em no maximo 5 pedacos e re-montar esses pedacos de modo a formar uma esfera do tamanho do Sol Um abraco, Claudio.
[obm-l] V ou F Analítico.
Bom pessoal, é o seguinte. Seja a_n , n e IN , uma sequência de reais e suponha que a_n - a . Verdadeiro ou Falso: (a_1 + a_2 + ... + a_n ) / n - a. Infelizmente não sei como indicar um somatório ... Abraços, Frederico. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Essa primeira questão pode conte repetições, como por exemplo 33600??? -- Mensagem original -- Caros colegas: Aqui vao dois problemas que ainda estao em aberto na lista. O primeiro foi enviado pelo Duda Stabel. O segundo eh da olimpiada iraniana, se nao me engano. 1) Determinar o conjunto de números inteiros positivos que satisfazem à duas condições: (i) todo número possui exatamente dois algarismos não-nulos, sendo um deles o três(3), (ii) todo número é quadrado perfeito. 2) Prove ou disprove: existe uma potencia de 2 tal que ao se permutar os algarismos de sua representacao decimal obtem-se uma outra potencia de 2. Esse segundo tem uma solucao aparentemente simples, mas esta solucao exclui o caso de potencias de 2 com algarismos 0 internos (ou seja, numeros do tipo abcdefg). Um abraco, Claudio. []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] V ou F Analítico.
Bom pessoal, é o seguinte. Seja a_n , n e IN , uma sequência de reais e suponha que a_n - a . Verdadeiro ou Falso: (a_1 + a_2 + ... + a_n ) / n - a. Infelizmente não sei como indicar um somatório ... Abraços, Frederico. Um ponto interessante eh que a sequencia das medias pode convergir sem que a sequencia original convirja. Se nao me engano, sequencias assim sao ditas Cesaro convergentes. Tomar medias eh um processo muitro usado para aplainar distribuicoes de numeros que apreseemtam alto desvio padrao. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] continuidade
Como eu provo que f(x)=1/x² é contínua?Melhor,como determinar o delta apropriado? Grato por qualquer ajuda. Eder --- Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Gostaria ainda de incluir a relacao de Stifel, da Analise Combinatoria. Muito interessante pelo conceito que engloba Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
