Re: RES: [obm-l] Segunda prova da IMO - Solucoes
É verdade se p2 e p3 a solução está correta mesmo. Na pressa pensei logo soh no caso p=2. Bem legal! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Olimpíada na Bulgaria
Ola, pessoal ! Temos noticias da Bulgaria.
Ja ocorreram os dois dias de prova.
Seguem as questoes abaixo do dia 1.
1) Considere a matriz A n x n tal que a(i,j) = i+j.
Determine o posto de A.
2) Considere o conjunto S(n) definido por
{(x(1),x(2),...,x(n)) :
x(1),x(2),...,x(n) pertencem a {0,1,2} }.
Seja A(n) = { (x(1),x(2),...,x(n)) em S(n) : para todo
in-1,
|{x(i),x(i+1),x(i+2)}| 1.} Seja B(n) =
{(x(1),x(2),...,x(n)) em S(n)
: x(i) = x(i+1) implica x(i) diferente de zero.
Mostre que |A(n+1)| = 3*|B(n)|.
Obs: |X| indica o numero de elementos do conjunto X.
3) Seja f:R - [0,oo). Seja I = integral de 0 a 1 fa
funcao f. Seja J
a integral de 0 a 1 da funcao f3. Seja M o maximo de
|f `(x)| no
intervalo [0,1]. Prove que |J-I*(f (0))2| = M * I2.
4) Determine todos os polinomios de grau n que possuam
apenas raizes
racionais tais que seus coeficientes sejam uma
permutacao de
(0,1,2,...,n).
5) Considere f:(0,oo) - R tal que |f ``(x) + 2x f
`(x)+(x2+1)f(x)|
1. Prove que f(x) - 0, para x - oo.
6) Dado um grupo G, defina G(m) como o grupo gerado
pelas m-esimas
potencias dos elementos de G. Prove que se G(m) e G(n)
sao
comutativos, entao G(mdc(m,n)) tambem e comutativo.
2º Dia
Dia 2
1) Considere f(x) = x2 + bx + c. Seja M = {x real :
|f(x)| = 1}.
Prove que a medida de M e menor que 2*sqrt(2).
2) Seja f:R-R uma funcao tal que f^n e polinomio para
n= 2,3,4,5,...
. Necessariamente f precisa ser polinomio ?
3) Seja V um subespaco do espaco das matrizes n x n
tal que:
se X, Y estao em V, entao tr(XY) = 0. Determine a
maior dimensao
possivel que pode ter V.
4) Considere f:R-R tres vezes diferenciavel. Prove
que existe um K no
intervalo (-1,1) tal que f ```(K)/6 = (f(1)-f(-1))/2 -
f ` (0).
5) Determine todos os valores de r0 tais que, para
toda funcao
f:R2-R diferenciavel tal que |grad f(0,0)| = 1 e
|grad f(u) - grad
f(v)| = |u - v| para todos u , v em R2, o maximo da
funcao f no
disco {u em R2 : |u| =r} e assumido em exatamente um
ponto.
6) Seja r = p+q*sqrt(7), onde p e q sao racionais.
Prove que existem
a, b, c e d inteiros tais que:
(i) ad-bc = 1
(ii) (ar+b)/(cr+d) = r
(iii)(a,b,c,d) e diferente de + - (1,0,0,1).
___
Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis.
Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Convergência/divergência de uma série - o pinioes
Olá a todos Seja a_n, n=1,2,3 uma sequencia de reais nao negativos com a_10 e seja s_n a sequencia das somas parciais de a_n. Foi-me pedido que analisasse a convergencia/divergencia de Soma(n=1) (1/s_n). Inicialmente verificamos que, se s_n convergir para um limite s, entao s= a_1 0 e lim (1/s_n) = 1/s 0, de modo que Soma(n=1) (1/s_n). diverge. Se s_n divergir, entao s_n = oo quando n= oo e .lim (1/s_n) = 0, de modo que o argumento anterior agora nao leva a nenhuma conclusao. Aqui eu nao consegui uma conclusao de fato geral, cito duas a que cheguei e que me pareceram interessantes: (1) - Se existir algum k tal que s_n = n para n = k, entao (1/s_n) =1/ n para n=k e a comparacao com a serie harmonica nos mostra que Soma(n=1) (1/s_n) diverge. Isto nos mostra, por exemplo, que se a_n =1/n, entao Soma(n=1) (1/s_n) diverge, pois 1...+ 1/n = n. Nesta linha dah para fazer uma porcao de comparacoes, por exemplo, se existir k tal que a_n = n^2 para n= k, entao Soma(n=1) (1/s_n) converge. (2) - Este agora me parece mais interessante. Sabemos que a serie Soma(n=1) (a_n)/(s_n) converge se, e somente se, s_n converge. Como, por hipotese, s_n diverge, entao Soma(n=1) (a_n)/(s_n) diverge. Se existir um k tal que a_n =1 para n =k, entao para n = k temos que 1/(s_n) = (a_n)/(s_n) e, por comparacao, concluimos que Soma(n=1) (1/s_n) diverge. Eh uma condicao suficiente, mas nao necessaria, para divergencia. Por exemplo, se a_n = 2 para todo n, entao esta condicao nao eh verificada mas Soma(n=1) (1/s_n) diverge. A condicao (2), supondo-se divergencia de s_n, implica que lim sup a_n =1. Por outro lado, lim sup a_n 1 implica 2 e, portanto, divergencia de Soma(n=1) (1/s_n). Mas lim sup a_n = 1 nao implica (2) e acho que aih nada se conclui. Considerando-se que Soma(n=1) (1/s_n) sempre diverge se s_n convergir, concluimos que se (2) se verificar ou se apenas lim sup a_n 1 se verficar, entao Soma(n=1) (1/s_n) eh divergente. Corolario: se s_n divergir e lim a_n =0, entao Soma(n=1) (1/s_n) diverge. Serah que existe alguma conclusao interessante? No caso em que s_n diverge, a pessoa a quem mostrei isto nao julgou minhas conclusoes interessantes (mas tambem nao apresentou nada melhor). Artur . = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Convergencia/divergencia de uma serie - opinioes
Olá a todos Seja a_n, n=1,2,3 uma sequencia de reais nao negativos com a_10 e seja s_n a sequencia das somas parciais de a_n. Foi-me pedido que analisasse a convergencia/divergencia de Soma(n=1) (1/s_n). Inicialmente verificamos que, se s_n convergir para um limite s, entao s= a_1 0 e lim (1/s_n) = 1/s 0, de modo que Soma(n=1) (1/s_n). diverge. Se s_n divergir, entao s_n = oo quando n= oo e .lim (1/s_n) = 0, de modo que o argumento anterior agora nao leva a nenhuma conclusao. Aqui eu nao consegui uma conclusao de fato geral, cito duas a que cheguei e que me pareceram interessantes: (1) - Se existir algum k tal que s_n = n para n = k, entao (1/s_n) =1/ n para n=k e a comparacao com a serie harmonica nos mostra que Soma(n=1) (1/s_n) diverge. Isto nos mostra, por exemplo, que se a_n =1/n, entao Soma(n=1) (1/s_n) diverge, pois 1...+ 1/n = n. Nesta linha dah para fazer uma porcao de comparacoes, por exemplo, se existir k tal que a_n = n^2 para n= k, entao Soma(n=1) (1/s_n) converge. (2) - Este agora me parece mais interessante. Sabemos que a serie Soma(n=1) (a_n)/(s_n) converge se, e somente se, s_n converge. Como, por hipotese, s_n diverge, entao Soma(n=1) (a_n)/(s_n) diverge. Se existir um k tal que a_n =1 para n =k, entao para n = k temos que 1/(s_n) = (a_n)/(s_n) e, por comparacao, concluimos que Soma(n=1) (1/s_n) diverge. Eh uma condicao suficiente, mas nao necessaria, para divergencia. Por exemplo, se a_n = 2 para todo n, entao esta condicao nao eh verificada mas Soma(n=1) (1/s_n) diverge. A condicao (2), supondo-se divergencia de s_n, implica que lim sup a_n =1. Por outro lado, lim sup a_n 1 implica 2 e, portanto, divergencia de Soma(n=1) (1/s_n). Mas lim sup a_n = 1 nao implica (2) e acho que aih nada se conclui. Considerando-se que Soma(n=1) (1/s_n) sempre diverge se s_n convergir, concluimos que se (2) se verificar ou se apenas lim sup a_n 1 se verficar, entao Soma(n=1) (1/s_n) eh divergente. Corolario: se s_n divergir e lim a_n =0, entao Soma(n=1) (1/s_n) diverge. Serah que existe alguma conclusao interessante? No caso em que s_n diverge, a pessoa a quem mostrei isto nao julgou minhas conclusoes interessantes (mas tambem nao apresentou nada melhor). Artur __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail - You care about security. So do we. http://promotions.yahoo.com/new_mail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ajuda questão de Física ITA
Essa questão sai por gráfico, SxT. v_med= [(3v1 +v2)/(3v2+v1)]v2 Roberto Gomesmarcio aparecido [EMAIL PROTECTED] escreveu: (ITA) Três turista, reunidos num mesmo local e dispondo de umabicicleta que pode levar somente duas pessoa de cada vez, precisandochegar a um centro turístico o mais rápido possível. O turista A levaturista B, de bicicleta, até um ponto X do percurso e retorna paraapanhar o turista C que vinha caminhando ao seu encontro. O turista B,a partir de X continua a pé sua viagem rumo ao centro turístico.Os três chegam simultaneamente juntos ao centro turítico.A velocidade média como pedestre é V1, enquanto como ciclista e V2.Com que velocidade média os turistas farão o percurso total ??=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re: RES: [obm-l] Desigualdade com complexos
Apesar de mais trabalhosa eu gostei mais da solução do Gugu. Abs.Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caro Pedro,Muito bacana esta solução (embora ligeiramente menos elementar que aminha) - eu devia ter visto isso...Abraços,GuguP.S.: Claro que dá para tirar os -1, mas aí fica bem mais trivial:Isso segue, por exemplo, de |e^(a+bi)|=e^a=e^((a^2+b^2)^(1/2)).|e^z - 1| = |z + z^2/2 + z^3/3! + |e^|z| - 1 = |z| + |z|^2/2 + |z|^3/3! + ...Truncando-se as somas, usando desigualdade triangular e tomando o limite,obtem-se o resultado. Poderia omitir o "-1" nesse caso?Um abraço. Pedro.-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nomede Carlos Gustavo Tamm de Araujo MoreiraEnviada em: Monday, July 25, 2005 12:47 PMPara: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: Re: [obm-l] Desigualdade com complexos Caro Danilo, Fazendo z=a+bi, queremos provar que (e^a.cosb-1)^2+(e^a.senb)^2=(e^((a^2+b^2)^(1/2)-1)^2, o que equivale ae^(2a)-2e^a.cosb=e^(2(a^2+b^2)^(1/2))-2e^((a^2+b^2)^(1/2)).Vamos mostrar que 0=x=y implica e^(2y)-2e^y-(e^(2x)-2e^x=e^x(y^2-x^2).Escrevendo y=x+h, isso equivale a e^(x+2h)-2e^h-e^x+2=h^2+2hx (apss dividirpor e^x). Isso pode ser escrito como e^x(e^h-1)(e^h+1)-2(e^h-1)=h(h+2x), ouseja, (e^h-1)(e^(x+h)+e^x-2)=h(h+2x), mas e^h-1=h,e^x-1=x e e^(x+h)-1=x+h, donde e^(x+h)+e^x-2=2x+h e (e^h-1)(e^(x+h)+e^x-2)=h(h+2x).Agora, usamos isso para y=(a^2+b^2)^(1/2) e x=a, obtendoe^(2(a^2+b^2)^(1/2))-2e^((a^2+b^2)^(1/2))-(e^(2a)-2e^a)=e^a.b^2. Queremosprovar que o lado esquerdo e' =2e^a.(1-cosb), e logo (dividindo por e^a)basta mostrar que b^2=2(1-cosb), mas 1-cosb=2(sen(b/2))^2=2.(b/2)^2=b^2/2,donde b^2=2(1-cosb), cqd. Abragos, Gugu Pessoal , alguem sabe fazer essa ?prove que para todo numero complexo z , vale |e^z-1| menor ou igual a e^|z|-1 Abs.=Instrugues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
Re: [obm-l] ajuda questão de Física ITA
tem como você fazer um esboço do gráfico ai Roberto ?? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Implicação
Olá!
Quero agradecer ao pessoal que me ajudou nos exercícios que mandei.
x^2 + 1 = 0 = x E {-1,1}
Não entendi porque a implicação é verdadeira.
Obrigado.__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
Re: [obm-l] Implicação
a tabela verdade do simbolo = eh:
p q p=q
V V V
V F F
F V V
F F V
resumindo em palavras, de uma coisa verdadeira, voce só pode chegar em outra verdadeira
de uma coisa falsa, você pode chegar em qualquer lugar! tanto numa verdadeira quanto numa falsa. por isso a implicacao eh verdadeira..
On 7/26/05, admath [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá!
Quero agradecer ao pessoal que me ajudou nos exercícios que mandei.
x^2 + 1 = 0 = x E {-1,1}
Não entendi porque a implicação é verdadeira.
Obrigado.
__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger
http://br.download.yahoo.com/messenger/
Re: [obm-l] geometria
ta certo mesmo, abraço, saulo. On 7/25/05, Marcio M Rocha [EMAIL PROTECTED] wrote: Desculpe-me, Saulo, mas os ângulos são congruentes sim. Veja: QBP é um ângulo formado pela corda BP e pelo lado AB, que é tangente à circunferência. Logo, mede metade do arco menor BP. O ângulo PCB é um ângulo inscrito e também mede metade do arco menor BP. Uma argumentação parecida vale para os ângulos PCR e PBD. Outra coisa: quem disse que BC é um diâmetro? Dê uma conferida com cuidado, por favor. []s, Márcio. saulo nilson escreveu: os angulos nao sao congruentes BC nao passa pelo centro da circunferencia, BC e uma corda e nao um diametro. Eu fiz achando o raio da circunferencia que e 13, dai vc acha os lados e pela area do triangulo isosceles vc acha acha o valor da altura pedida, mas na da uma resposta simples. Eu projetei PQ e PR sobre os raios que unem o centro aos pontos de tangencia da circunferencia ai obtive um quadrilatero que tem lados r-9 e r-4 que e semelhante a AQPR, dai vc acha o raio que da 13, isso esta certo ou errado? On 7/20/05, Marcio M Rocha [EMAIL PROTECTED] wrote: Eder Albuquerque escreveu: Olá, Gostaria de ajuda no seguinte problema: seja ABC um triângulo isósceles, onde AB=AC são tangentes a uma circunferência e BC é uma corda. Seja P um ponto sobre a circunferência anterior, interno ao triângulo ABC, tal que a distância de P a AB é 9 e a distância de P a AC é 4. Encontre a distância de P a BC. Não tô conseguindo resolver... Grato, Eder __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ A resposta é 6. Sejam Q, R e D os pés das perpendiculares, respectivamente a AB, AC e BC por P. Construa o triângulo BPC. Veja que os ângulos QBP e PCB são conguentes. Daí, os triângulos retângulos QPB e PDC são semelhantes, e podemos escrever que (PQ / PD) = (PB / PC). Analogamente, os ângulos PCR e PBC são congruentes, donde vem a semelhança dos triângulos retângulos PCR e PBD, e podemos escrever que (PR / PD) = (PC / PB). Logo, (PQ / PD) = (PD / PR), ou seja, (PD)^2 = (PQ).(PR). Pelo problema, PQ = 9 e PR = 4. Assim, PD = 6. Este problema consta do livro Challenging Problems in Geometry. Um abraço, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ternos inteiros
(xy +xz + yz)/xyz =4/5 =0,8 1/x+1/y+1/z =0,8 1)( nenhum deles pode ser um porque senao os outros tem que ser negativos fazendo um deles ser 2 achamos de cara: 1/y+1/z=0,3 y= 10 e z=5 e y= 20 e z=4 o que dao 12 ternos ordenados ao todo. Alternativa e. 2) d = c*n dg1 = 2*c/2 dg2 = (n-2)*(c+8) dg1+dg2 -d =72 nc+8n-2c-16+c-cn=72 nc+8n-2c-16+cnc 8n-c=88 8n-d/n=88 8n-88=d/n d=8n(n-11) para d ser inteiro positivo, o menor valor de n e 12 radios. abraço, saulo. On 7/22/05, Machado [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém poderia me ajudar nesses exercícios ? 1) O número de ternos ordenados (x,y,z) de inteiros positivos que satisfazem a equação 5(xy +xz + yz) = 4xyz é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 12 2) Um comerciante comprou n rádios por d cruzeiros, onde d é um inteiro positivo. Ele contribuiu com a comunidade vendendo para o bazar da mesma dois rádios pela metade do seu custo . O restante ele vendeu com um lucro de 8 reais em cara rádio. Se o lucro total foi de 72 reais , então o menor valor possível de n é : a) 18 b) 16 c) 15 d) 12 e) 11 Obrigrado, Víctor. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
