resolvi reaver esse problema que JOrge postou na época
dele na UNIFOR pq eu na epoca havia posto a soluçao
num papel e depois colocado num lugar onde nao
lembrava.Qd foi a pouco tempo atrás, tive o prazer de
achar esse meu papel.Além do mais, ele havia postado
ha algum tempo alguns problemas de probabilidade em
minha homenagem que eu nao tive tempo de resolver e
que brilhantemente foi resolvido pelos colegas da
lista...pra nao ficar de fora resolvir colocar a
resoluçao parcial desse problema aqui...
--- from: jorgeluis -
Um grande número, N de pessoas é submetido a um
exame de sangue. Este pode
ser
efetuado de duas maneiras, (i) cada pessoa pode ser
testada separadamente,
neste caso, são necessários N testes; (ii) as
amostras de sangue, de K
pessoas
podem ser misturadas e analisadas em conjunto. Se o
teste é negativo, esse
único teste é suficiente para as K pessoas. Se o
teste é positivo, cada uma
das
K pessoas deve ser testada separadamente, e ao todo
K + 1 testes são
necessários
para as K pessoas. Suponha que a probabilidade p de
que o teste seja
positivo
seja a mesma para todas as pessoas e que estas sejam
estocásticamente
independentes. a) Qual é a probabilidade de que o
teste para uma amostra
misturada de K pessoas seja positivo? b) Qual é o
valor esperado do número,
X,
de testes necessários, sob o plano (ii)? c)
Determine uma equação para o
valor
de K que minimize o número esperado de testes sob o
segundo plano. (Não
tente
soluções numéricas) d) Mostre que esse K está
próximo de 1/p^1/2 e, então,
que
o número mínimo esperado de testes está em torno de
2Np^1/2 (Essa observação
é
devida a M. S. Ralff)
NOTA: Este problema é baseado numa técnica
desenvolvida durante a Segunda
Guerra
Mundial, por R. Dorfman. No exército, Dorfman obteve
economia de até 80%. O
aparecimento deste problema despertou uma atenção
bastante ampla e conduziu
a
várias generalizações bem como a novas aplicações
industriais e biológicas.
O
principal aperfeiçoamento consiste em introduzir
mais que dois
estágios..
De acordo com o problema temos duas estrategias:
I- Testar cada pessoa: No caso N testes
II - Testar grupo de pessoas
A questão aqui é verificar se o teste em grupo é mais
eficiente que o teste individual.
Suponha N = WK, ou seja, vamos dividir em W grupos de
K pessoas.Sendo p a prob de um pessoa testada dar
positivo entao a prob de o teste em um grupo qualquer
dar negativo é a prob de cada pessoa do grupo dar
negativo ou seja (1-p)^K.
Portanto a prob de o teste em um grupo qualquer dar
positivo é
1 -(1-p)^K pq basta uma pessoa do grupo ser positivo
pra que o teste do grupo seja positivo.Seja Y_i o
numero necessário de testes p/ o i-ésimo grupo ,
i=1...W.
Então sendo Y o nº de testes em todas as pessoas
seguindo a estratégia II , temos que Y = Y_1 + Y_2 +
Y_3 + Y_4 ...Y_W
O número esperado de testes sob a estratégia II é E(Y)
=E(Y_1) + E(Y_2) + E(Y_3) + E(Y_4) ...E(Y_W) = E(Y_W)
pois todos os testes em grupos saõ independentes entre
si e o número esperado é o mesmo.
Mas E(Y_W) = (K+1)[1 - (1-p)^K] + 1*(1-p)^K
(O K+1 é o nº de testes necessários p/ o caso
positivo, sendo o primeiro teste positivo p/ o grupo,
ele vai testar cada um individualmente de acordo com a
forma que o problema sugere.)
= E(Y_W) = K[1 - (1-p)^K + 1/K ] = E(Y) = WK[1 -
(1-p)^K + 1/K ] = N[1 - (1-p)^K + 1/K ]
Observe que se K = 1 E(Y) N o que é uma inverdade
portanto K 1.
Agora vem o pulo do gato.Para que a estrategia II seja
melhor que a um temos que E(Y) N = N[1 - (1-p)^K +
1/K ] N =
[1 - (1-p)^K + 1/K ] 1 = 1/k (1-p)^K.
Observe que se (1-p) 1/2 = 1/K 1/(2^K) = K 2^K
, absurdo pois K é inteiro positivo. Sendo assim
obtemos um resultado iinteressante.Se p for maior que
1/2 entao nunca deveremos realizar a estrategia II.
Juro que tentei fazer a letra c e d, mas deixo pra
especialistas em teoria dos numeros como Claudio
Buffara e Nicolau p/ tentarem achar K que minimiza
E(Y), pois K é um fator diferente de 1 de um número
inteiro positivo talvez exista alguma maneira de
relacionar a fatoraçao de N
O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso...
Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos
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