Re: [obm-l] Plana
ok! me equivoquei. vou tentar d outro jeito.vinicius aleixo [EMAIL PROTECTED] escreveu: Observe que 2R=p-r e equivalente a usarmos o fato de r=p-a(*).Cara, aí vc usou o fato de o triangulo ser retangulo, pois com isso está dizendo que 2R=a, condição suficiente para q o triangulo seja retangulo.AbraçosVinícius Meireles Aleixo Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! Yahoo! Search Dê uma espiadinha e saiba tudo sobre o Big Brother Brasil.
Re: [obm-l] Livros
Ola Leonardo,Quanto ao segundo topico que vc citou, geometria:i) Excursions In Geometry, C. Stanley Ogilvy, Doverii) Geometry Revisited, H.S.M. Coxeter e S.L. Greitzer, MAA (esse vc deve conhecer) We place a spherical cage in the desert, enter it, lock it.We perform an inversion with respect to the cage.The lion is then in the interior of cage, and we are outside.H. PetardAbraco, GiancarloOn 3/4/06, Leo [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria de pedir aos amigos da lista sugestões de livros sobre: *aplicações de complexos à geometria *Geometria q contenha tópicos interessantes com inversão, homotetia, eixos radicais e outros assuntos naum taum corriqueiros *bom livro de teoria dos números( teria e exercícos) *contenha artigos olímpicos como desigualdades e trigonometria, grafos e etc no estilo d Mathematical Circles.. Grat desde j´´a Leonardo Borges Avelino -- Giancarlo MiragliottaA Lua única reflete-se onde quer que haja um lençol de água,E todas as luas nas águas estão abraçadas no seio da Lua única.
Re: [obm-l] Livros
*Geometria q contenha tópicos interessantes com inversão, homotetia, eixos radicais e outros assuntos naum taum corriqueirosO livro do Morgado trata de eixos radicais e tem alguns temas interessantes*bom livro de teoria dos números( teria e exercícos)jah te teoria dos números tem o do Plínio(naum sei se jah te falei dele) q eh mt bomabraçãoVinícius Meireles Aleixo Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
[obm-l] geometria
Quem tiver um tempo, me ajuda por favor, pq minha resposta não bate c/ o gabarito. 1) Tendo um quadrado inscrito num semicírculo de raio re sabendo que a área do quadrado e 36cm2, podemos afirmar que o valor de r é: 2) As medidas do lado, do perímetro e da área de um quadrado estão, nesta ordem, em progressão geométrica. A diagonal deste quadrado mede: Obrigada. Anna.
Re: [obm-l] Livros
Caro Leonardo, para um curso inicial de teoria dos números sugiro o Edmund Landau, TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS. Ele possui exercícios relacionados a cada capitulo no final do livro. http://www.lcm.com.br/catalogogeral.asp?nivel=3assunto=universit%E1rios%2Dmatem%E1ticatitulo=TEORIA+ELEMENTAR+DOS+N%DAMEROS Júnior. Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
[obm-l] Livros novamente
Olá a todos Estava no site da AMAZON e vi muitos livros interessantes q gostaria mto d adquirí-los.. Gostaria d saber * Eh seguro comprar pela AMAZON?? *Qual o número d dias q demora a entrega dos livros?? *Como se faz o pagamento?? A Aqueles q jah cmpraram lah peço q respodam mto obrigado Leonardo Borges Avelino
[obm-l] Fw: congruência
- Original Message - From: Leo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, March 04, 2006 12:16 AM Subject: Fw: congruência - Original Message - From: Leo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, March 03, 2006 8:11 PM Subject: congruência Como resolver a seguinte congruência 10^k cong 8 (mod 23) ... pra k=2 eh verdadeira mas como achar o caso geral???
Re: [obm-l] geometria
Boa noite, Anna. Inicialmente seria bom fazer o desenho para ter mais clareza da solução. A única posição para o quadrado é aquela onde seu centro coincide com o centro do semicírculo. Unindo o centro até um dos vértices teremos um triângulo retângulo cujos catetos são l( lado do quadrado) e l/2 e a hipotenusa é R(raio do semicírculo), basta usar o bom e velho teorema do Pit., achando a relação R^2 =(5*l^2)/4, porém, como a área do quadrado é 36 cm^2, tem-se que R = 3*(5)^1/2. Se vc usar a idéia de média geométrica no item b, vai descobrir que a diagonal do quadrado mede 16*(2)^1/2Anna Luisa [EMAIL PROTECTED] escreveu: Quem tiver um tempo, me ajuda por favor, pq minha res! posta não bate c/ o gabarito.1) Tendo um quadrado inscrito num semicírculo de raio re sabendo que a área do quadrado e 36cm2, podemos afirmar que o valor de r é:2) As medidas do lado, do perímetro e da área de um quadrado estão, nesta ordem, em progressão geométrica. A diagonal deste quadrado mede:Obrigada. Anna. Yahoo! Search Dê uma espiadinha e saiba tudo sobre o Big Brother Brasil.
Re: [obm-l] geometria
Olá, 1) Seja AB o semicirculo, e CDEF o quadrado. Como a area do quadradoeh 36, entao o lado do quadrado eh 6! Seja O o centro da circunferencia, entao o segmento CO = 3, e o segmento OD = 3 Montamos um triangulo retangulo COE ... onde os catetos valem 3 e 6, e a hipotenusa vale r assim: r = sqrt(9 + 36) = sqrt(45) = 3 * sqrt(5) 2) Lado : a Perímetro: 4a Area: a^2 Assim:(a, 4a, a^2) eh uma PG. 4*a = a*q = q = 4 a^2 = a*q^2 = a = 16 diagonal = a*sqrt(2) = 16 * sqrt(2) espero ter ajudado, abraços, Salhab - Original Message - From: Anna Luisa To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, March 04, 2006 2:28 PM Subject: [obm-l] geometria Quem tiver um tempo, me ajuda por favor, pq minha resposta não bate c/ o gabarito. 1) Tendo um quadrado inscrito num semicírculo de raio re sabendo que a área do quadrado e 36cm2, podemos afirmar que o valor de r é: 2) As medidas do lado, do perímetro e da área de um quadrado estão, nesta ordem, em progressão geométrica. A diagonal deste quadrado mede: Obrigada. Anna.
Re: [obm-l] Fw: congruência
Vc já tentou fazer o seguinte: Chame 10^k de y e resolva a seguinte equação diofantina y - 23x = 8, acho que sai por aí.Leo [EMAIL PROTECTED] escreveu:- Original Message - From: Leo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, March 04, 2006 12:16 AM Subject: Fw: congruência - Original Message - From: Leo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, March 03, 2006 8:11 PM Subject: congruênciaComo resolver a seguinte congruência 10^k cong 8 (mod 23) ... pra k=2 eh verdadeira mas como achar o caso geral??? Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
[obm-l] Re: [obm-l] Fw: congruência
Olá, vc quer saber para quais valores de k temos: 10^k = 8 (mod 23), certo? bom, temos que: 100 = 8 (mod 23) 10^(2n) = 8^n (mod 23) isso é, para k par temos que a unica solucao é k=2 (n=1). ainda nao consegui extender essa solucao para k impar.. estou tentando! PS: sei mto pouco sobre congruencia, talvez minha solucao esteja errada abraços, Salhab - Original Message - From: Leo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, March 04, 2006 12:16 AM Subject: [obm-l] Fw: congruência - Original Message - From: Leo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, March 03, 2006 8:11 PM Subject: congruência Como resolver a seguinte congruência 10^k cong 8 (mod 23) ... pra k=2 eh verdadeira mas como achar o caso geral???
Re: [obm-l] Livros novamente
On Sat Mar 4 20:03 , 'Leo' sent: Olá a todos Estava no site da AMAZON e vi muitos livros interessantes q gostaria mto d adquirí-los.. Gostaria d saber * Eh seguro comprar pela AMAZON??Nunca tive o menor problema nas compras pela Amazon. *Qual o número d dias q demora a entrega dos livros??Depende do tipo de entrega que voc escolhe. O tipo de entrega acarreta diferena de preos. *Como se faz o pagamento??Eu compro com Carto de Crédito A Aqueles q jah cmpraram lah peo q respodam mto obrigado Leonardo Borges AvelinoAbraos. Márcio.Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fw: congruência
Como 23 eh primo, 10^22 = 1 (mod 23), e como10^2 = 8 e 10^11 = 10*(10^2)^5= 10*8^5 = 10*16 != 1 (mod 23),22 eh o menor numero com essa propriedade. Logo, 10^a = 10^b (mod 23) se e somente se a = b (mod 22). Como 10^2 = 8 (mod 23), a resposta é que os valores de k para os quais temos 10^k = 8 (mod 23) são exatamente os inteiros positivos que deixam resto 2 na divisão por 22 (2, 24, 46, ...) Abraços, Marcio - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, March 04, 2006 7:06 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Fw: congruência Olá, vc quer saber para quais valores de k temos: 10^k = 8 (mod 23), certo? bom, temos que: 100 = 8 (mod 23) 10^(2n) = 8^n (mod 23) isso é, para k par temos que a unica solucao é k=2 (n=1). ainda nao consegui extender essa solucao para k impar.. estou tentando! PS: sei mto pouco sobre congruencia, talvez minha solucao esteja errada abraços, Salhab - Original Message - From: Leo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, March 04, 2006 12:16 AM Subject: [obm-l] Fw: congruência - Original Message - From: Leo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, March 03, 2006 8:11 PM Subject: congruência Como resolver a seguinte congruência 10^k cong 8 (mod 23) ... pra k=2 eh verdadeira mas como achar o caso geral???
Re: [obm-l] Re: [obm-l] diversão para o ca rnaval
cara, desculpe a demora, mas constatei algo q acho q está errado nesse ex., z = cis(r) = cos(r) + isen(r)z^n = cis(nr) = cos(nr) + isen(nr)Sum(cis(kr)) = Sum(z^k) , k = 1 ... nSum(z^k) = z + z^2 + z^3 + ... + z^n = z(z^n - 1) / (z - 1) [somatorio de PG] Sum(z^k) = cis(r) [ cis(nr) - 1 ] / [ cis(r) - 1 ]Sum(cis(kr)) = cis(r) [ ci! s(nr) - 1 ] / [ cis(r) - 1 ] = cis(r) [ cis(nr) - 1 ] * [ cis(-r) - 1 ] / [ 1 - cis(-r) - cis(r) + 1 ]cis(r) + cis(-r) = cos(r) + isen(r) + cos(r) - isen(r) = 2cos(r)Sum(cis(kr)) =[ cis(r)cis(nr)cis(-r) - cis(r)cis(-r) - cis(r)cis(nr) +cis(r) ] / [ 2 + 2cos(r) ]Re(Sum(cis(kr))) = Sum(cos(kr)) Im(Sum(cis(kr))) = Sum(sen(kr))Sum(cis(kr)) = [ cis(nr) - 1 - cis[(n+1)r] + cis(r) ] / 2[1 + cos(r)]Re(Sum(cis(kr))) = [ cos(nr) - 1 + cos[(n+1)r] ! + cos(r) ] / 2[1+cos(r)] Im(Sum(cis(kr))) = [ sen(nr) - 1 - sen[(n+1)r] + sen(r)] / 2[1+cos(r)]Re(Sum(cis(kr))) = [ cos(nr) - 1- cos[(n+1)r] + cos(r) ] / 2[1+cos(r)] Im(Sum(cis(kr))) = [ sen(nr)- sen[(n+1)r] + sen(r)] / 2[1+cos(r)](...)bem,acho q eh issoabração Yahoo! Search Dê uma espiadinha e saiba tudo sobre o Big Brother Brasil.
[obm-l] Fw: [obm-l] Re: [obm-l] Fw: congruência
Eu estava fazendo algumas kestões do Cone-sul aih vai a kestaum (Cone-Sul 1992 - Chile)ENCONTRE um número inteiro positivo n de maneira tal que se na sua representaçaum decimal lhe eh colocado um 2 à esquerda e um 1 à direita, o número resultante seja igual a 33n seja n... se colocarmos 2 a eskerda e 1 a direita teremos suponhamos q n tenha k dígitos 10n+1+2*10^(k+1)=33n q chega em 2*10^(k+1) + 1 = 23n ou seja devemos ter 2*10^(k+1) + 1 cong a 0 (mod 23) fazendo algumas operações chega-se em 10^k cong 8 (mod 23).. portanto se acharmos soluções para k acharemos m... Como a kestaum pede para ENCONTRAR tems q k=2 q stisfaz a congruência acima nos dah n=87 De fato 2871=33*87 Pensei se poderíamos achar todas as soluções... ou no contrário mostrar q tal soluçaum eh únik Grato Leonardo Borges Avelino - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, March 04, 2006 7:06 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Fw: congruência Olá, vc quer saber para quais valores de k temos: 10^k = 8 (mod 23), certo? bom, temos que: 100 = 8 (mod 23) 10^(2n) = 8^n (mod 23) isso é, para k par temos que a unica solucao é k=2 (n=1). ainda nao consegui extender essa solucao para k impar.. estou tentando! PS: sei mto pouco sobre congruencia, talvez minha solucao esteja errada abraços, Salhab - Original Message - From: Leo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, March 04, 2006 12:16 AM Subject: [obm-l] Fw: congruência - Original Message - From: Leo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, March 03, 2006 8:11 PM Subject: congruência Como resolver a seguinte congruência 10^k cong 8 (mod 23) ... pra k=2 eh verdadeira mas como achar o caso geral???
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fw: congru ência
Opa, bem, nao consegui entender algumas coisas... se puder, por favor, da uma explicada um pouco melhor.. isso eu entendi: 10^11 = 10*(10^2)^5= 10*8^5 = 10*16 mas nao entendi pq o fato de nao ser congruo a 1 (mod 23) faz com que 22 seja o menor numero com essa propriedade! Tbem nao entendi pq: 10^a = 10^b (mod 23) = a = b (mod 22) abraços, Salhab - Original Message - From: Marcio Cohen To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, March 04, 2006 11:22 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fw: congruência Como 23 eh primo, 10^22 = 1 (mod 23), e como10^2 = 8 e 10^11 = 10*(10^2)^5= 10*8^5 = 10*16 != 1 (mod 23),22 eh o menor numero com essa propriedade. Logo, 10^a = 10^b (mod 23) se e somente se a = b (mod 22). Como 10^2 = 8 (mod 23), a resposta é que os valores de k para os quais temos 10^k = 8 (mod 23) são exatamente os inteiros positivos que deixam resto 2 na divisão por 22 (2, 24, 46, ...) Abraços, Marcio - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, March 04, 2006 7:06 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Fw: congruência Olá, vc quer saber para quais valores de k temos: 10^k = 8 (mod 23), certo? bom, temos que: 100 = 8 (mod 23) 10^(2n) = 8^n (mod 23) isso é, para k par temos que a unica solucao é k=2 (n=1). ainda nao consegui extender essa solucao para k impar.. estou tentando! PS: sei mto pouco sobre congruencia, talvez minha solucao esteja errada abraços, Salhab - Original Message - From: Leo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, March 04, 2006 12:16 AM Subject: [obm-l] Fw: congruência - Original Message - From: Leo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, March 03, 2006 8:11 PM Subject: congruência Como resolver a seguinte congruência 10^k cong 8 (mod 23) ... pra k=2 eh verdadeira mas como achar o caso geral???
Re: [obm-l] Progressoes VI
Não podem. Por absurdo temos: Considerando 2^1/2 o i-ésimo termo, 3^1/2 o j-ésimo termo,5^1/2 o k-ésimo termo e"r" a razão temos: a) 5^1/2 - 2^1/2 = r ( k - i ) b) 3^1/2 - 2^1/2 = r ( j - i) Dividindo membro a membro: ( 5^1/2 - 2^1/2 ) ( 3^1/2 + 2^1/2 ) = ( k - i ) / ( j - i ) O que é absurdo, pois o primeiro membro é irracional e o segundo é racional. Valter Rosa - Original Message - From: Klaus Ferraz To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, March 03, 2006 7:12 PM Subject: [obm-l] Progressoes VI Podem os numeros 2^1/2, 3^1/2 e 5^1/2 ser termos de uma mesma progressao aritmetica? Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.375 / Virus Database: 268.1.2/274 - Release Date: 3/3/2006
[obm-l] Eh isso msm??
Outra da Cone-Sul-1994 Seja p um real positivo. Achar o mínimo valor de x^3 + y^3 sabendo que x e y são números reais positivos tais que x*y(x+y)=p sabemos q (x-y)^2=0 igualdade sss x=y x^2 - xy + y^2= xy multiplicando (x+y) ambosos lados temos x^3 + y^3= x*y(x+y)=p portanto menor valor d x^3 + y^3 eh p e ocorre qdo x=y.. Iss está crreto ou eu forcei alguma coisa... Nas kestões envlvendo desigualdades tenho med d acabar forçand alg pr exemplo alg q eu ache q certa expressaum A eh mair q outra B prém naum necessariamente o menor valor de A eh B... Grato Leonardo Borges Avelino
Re: [obm-l] Eh isso msm??
Olá.. usando multiplicadores de lagrange, temos: f(x, y) = x^3 + y^3 g(x, y) = x*y(x+y)-p h(x, y) = f(x, y) - a * g(x,y) sistema: grad(h) = 0 g(x, y) = 0 assim: 3x^2 = a*[y(x+y) + x*y] 3y^2 = a*[x(x+y) + x*y] x*y(x+y) = p se x=y, temos que o sistema é satisfeito: 3x^2 = a*[ 3x^2 ] = a = 1 2x^3 = p x^3 = p/2 entao x=y é um ponto critico.. analisando vc vera q ele é de minimo.. entao: x^3 + y^3 = p/2 + p/2 = p obviamente sua solucao eh extremamente mais elegante :P abraços, Salhab - Original Message - From: Leo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, March 05, 2006 2:47 AM Subject: [obm-l] Eh isso msm?? Outra da Cone-Sul-1994 Seja p um real positivo. Achar o mínimo valor de x^3 + y^3 sabendo que x e y são números reais positivos tais que x*y(x+y)=p sabemos q (x-y)^2=0 igualdade sss x=y x^2 - xy + y^2= xy multiplicando (x+y) ambosos lados temos x^3 + y^3= x*y(x+y)=p portanto menor valor d x^3 + y^3 eh p e ocorre qdo x=y.. Iss está crreto ou eu forcei alguma coisa... Nas kestões envlvendo desigualdades tenho med d acabar forçand alg pr exemplo alg q eu ache q certa expressaum A eh mair q outra B prém naum necessariamente o menor valor de A eh B... Grato Leonardo Borges Avelino
[obm-l] Re: [obm-l] Fw: [obm-l] Re: [obm-l] Fw: congru ência
cara, minha solucao esta errada! :) rs da uma olhada na solucao do Cohen.. eu nao consegui entender.. to tentando ainda rs.. mas testei os valores que ele encontrou e deu certinho!! abraços, Salhab - Original Message - From: Leo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, March 04, 2006 9:32 PM Subject: [obm-l] Fw: [obm-l] Re: [obm-l] Fw: congruência Eu estava fazendo algumas kestões do Cone-sul aih vai a kestaum (Cone-Sul 1992 - Chile)ENCONTRE um número inteiro positivo n de maneira tal que se na sua representaçaum decimal lhe eh colocado um 2 à esquerda e um 1 à direita, o número resultante seja igual a 33n seja n... se colocarmos 2 a eskerda e 1 a direita teremos suponhamos q n tenha k dígitos 10n+1+2*10^(k+1)=33n q chega em 2*10^(k+1) + 1 = 23n ou seja devemos ter 2*10^(k+1) + 1 cong a 0 (mod 23) fazendo algumas operações chega-se em 10^k cong 8 (mod 23).. portanto se acharmos soluções para k acharemos m... Como a kestaum pede para ENCONTRAR tems q k=2 q stisfaz a congruência acima nos dah n=87 De fato 2871=33*87 Pensei se poderíamos achar todas as soluções... ou no contrário mostrar q tal soluçaum eh únik Grato Leonardo Borges Avelino - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, March 04, 2006 7:06 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Fw: congruência Olá, vc quer saber para quais valores de k temos: 10^k = 8 (mod 23), certo? bom, temos que: 100 = 8 (mod 23) 10^(2n) = 8^n (mod 23) isso é, para k par temos que a unica solucao é k=2 (n=1). ainda nao consegui extender essa solucao para k impar.. estou tentando! PS: sei mto pouco sobre congruencia, talvez minha solucao esteja errada abraços, Salhab - Original Message - From: Leo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, March 04, 2006 12:16 AM Subject: [obm-l] Fw: congruência - Original Message - From: Leo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, March 03, 2006 8:11 PM Subject: congruência Como resolver a seguinte congruência 10^k cong 8 (mod 23) ... pra k=2 eh verdadeira mas como achar o caso geral???
