oi Carlos,
você pode calcular essa integral seguindo as idéias do livro de Cálculo
vol. II do Simmons, na seção de título Produto de Wallis.
Observe esse resultado e a relação com uma observação feita por Claudio
Buffara no email enviado a esta lista (abaixo)
Abraço
Ary
Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] escreveu: Alguém tem alguma sugestão?
Mostre que Binomial(2k,k)=2/pi . integral (de 0 a pi/2) de (2.senx)^(2k) dx?
Valew, Cgomes
Data: Sat, 25 Nov 2006 02:46:40 -0300 Assunto: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l]
Duas Questõ es De:claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] Adicionar endereço
Para:obm-l obm-l@mat.puc-rio.br[input] [input] [input] [input]
Tome m = 3 e os inteiros consecutivos 5, 6 e 7.
Pelo seu argumento, a_1 = 6 eh o unico que eh divisivel por 2 e 3.
5 e 7 sao divisiveis apenas por 1 (alem disso, o k nao eh o mesmo para
todos os a_i).
A solucao padrao desse problema (antiquissimo) consiste em observar
que:
(p+1)(p+2)(p+m)/m! = Binom(p+m,m) = inteiro.
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Fri, 24 Nov 2006 15:07:20 -0200
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Duas Questões
Olá,
sejam a_1, a_2, a_3, ..., a_m, vamos mostrar que o produto destes
numeros é divisivel por m!...
como esses numeros estao sequenciais, eles formam um conjunto de
representantes modulo m..
deste modo, podemos ordena-los com a seguinte lei:
a_1 = km
a_2 = km + 1
a_3 = km + 2
.
.
a_m = km + (m-1)
isto é, a_1 deixa resto 0, a_2 deixa resto 1, e assim por diante.
assim, quando dividimos o produto de a_1, a_2, .., a_m por m, temos:
k * a_2 * a_3 * a_4 * ... * a_m
temos que mostrar agora que este numeros sao divisiveis por m-1
mas: a_i = km + i-1 = k(m-1) + k + i - 1, para i=2, ..., m
assim, para i=2, temos a_2 = k+1 (mod m-1)
para i=3, temos a_3 = k+2 (mod m-1), e assim por diante..
novamente temos um conjuntos dos representantes modulo m...
isto é, podemos reordena-los de modo que:
b_1, b_2, b_3, ..., b_(m-1) estejam na ordem crescente modulo m-1...
seguindo esta linha, mostramos que o numero é divisivel por m, m-1,
m-2, ... 2 e 1.. logo, é divisivel por m!
se tiver algo errado, aguardo correcoes
abracos,
Salhab
- Original Message -
From: ivanzovisk
To: obm-l
Sent: Friday, November 24, 2006 10:15 AM
Subject: [obm-l] Duas Questões
1- Prove que o produto de m fatores inteiros positivos e
consecutivos é divisivel por m!
2- Um homem possui 8 pares de meias (todos distintos). De quantas
formas ele pode selecionar 2 meias, sem que elas sejam
do mesmo par?
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
-
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