[obm-l] Existencia de irracinais a e b tais que a^b seja racional
Existem, efetivamente, irrracionais a 0 e b 0 tais que a^b seja racional. Eu tentei uma prova por cardinalidade, mas não concluí. Uma forma que me ocorreu de provarmos este fato, mas que não me parece muito boa, é a seguinte: Se n eh um inteiro positivo que nao seja um quadrado perfeito, entao raiz(n) eh irracional. Se (raiz(n))^(raiz(2)) for racional, facamos a = raiz(n) e b = raiz(2). Assim, a e b sao irracionais tais que a^b eh racional. Se, entretanto, (raiz(n))^(raiz(2)) for irracional, entao, fazendo-se a = (raiz(n))^(raiz(2))e b = raiz(2), temos que a e b sao irracionais tais que a^b = [(raiz(n))^(raiz(2)]^(raiz(2)= (raiz(n)^2 = n, de modo que a^b eh inteiro, logo racional. Assim, para cada inteiro positivo que nao seja quadrado perfeito, sempre podemos associar irracionais a e b tais que a^b seja racional. Pela construcao feita, a diferentes inteiros n nao quadrados perfeitos correspondem diferentes valores de a, embora sempre tenhamos b = raiz(2). Dado que hah uma infinidade de inteiros positivos que nao sao quadrados perfeitos, concluimos que hah uma infinidade der pares (a, b) conforme desejado. Mas esta prova eh muito restrita, o conjunto dos pares (a,b) que satisfazem ao desejado nao deve ser enumeravel Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Combinatória - album de figurinhas...
Ola Nehab e demais mestres, com certeza entrara na colecao! Mas, estah dificil de resolver. Preciso me trabalhar muito ainda... Palmerim Em 05/10/07, Carlos Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, gente, Considere uma revista de figurinhas com N figurinhas distintas. Qual o número médio de figurinhas que se deve comprar para completar o álbum? Imaginem que as figurinhas são compradas unitariamente (uma a uma). Nehab PS: Quem sabe o Palmerim bota na coleção dele... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Raizes cúbicas de primos
Acho que vale a pena tentar uma prova por absurdo. Os fatos são: x^3 = p1 y^3 = p2 z^3 = p3 Suponha que y = x+r, z= x+2r p1, p2 e p3 tem que estar em função somente de x e r e deve valer: p1/p2 é irredutível p2/p3 é irredutível p3/p1 é irredutível. Alguma dessas frações deve contrariar o fato de um dos números ser primo. Já tentou assim? Artur Costa Steiner wrote: Estou tentando demonstrar a afirmacao abaixo, mas ainda nao consegui. Alguem teria alguma sugestao? Se x y z forem raizes cubicas de primos positivos, entao x, y e z nao estao em progressao aritmetica. Abracos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] integral
Alguém poderia me ajudar a resolver este exercício? Integral indefinida de (tg)^1/2. Obrigado Marcus Aurélio
Re: [obm-l] BANDEIRAS
Valdoir, obrigado por enviar sua resolução. Eu não tenho o gabarito dessa prova. ABRAÇOS com 4 bandeiras, P4 = 4! = 24 com 3 bandeiras, A4,3 = 4!/1! = 24 com 2 bandeiras, A4,2 = 4!/2! = 12 com 1 bandeira, A4,1 = 4!/3! = 4 Total: 24 + 24 + 12 + 4 = 64 ... item b. Imaginei que elas estão numa posição fixa (por exemplo, não podem trocar de mastro). O lugar é substituído pelo tempo no raciocínio. usei arranjo por diferenciar a ordem: vermelha depois verde seria diferente de verde depois vermelho cheguei da cerveja agora, ... confere com seu gabarito? On 10/5/07, arkon [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém pode, por favor, resolver esta: (UFPB-77) Quantos sinais diferentes podem ser feitos içando-se quatro bandeiras de cores distintas, uma após a outra? Admite-se que os sinais podem ser de 1, 2, 3 ou 4 bandeiras. a) 46. b) 64. c) 54. d) 45. e) 60. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO
Re: [obm-l] integral
Olá Marcus, faca sqrt(tga) = u ... entao: tga = u^2 (seca)^2 da = 2udu mas (seca)^2 = 1 + (tga)^2 = 1 + u^4 assim: (1+u^4) da = 2udu ... da = 2u/(1+u^4) du substituindo na integral, temos: integral [ u * 2u/(1+u^4) ] du agora basta resolver esta, que é bem mais simples! :) abraços, Salhab On 10/8/07, Marcus [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém poderia me ajudar a resolver este exercício? Integral indefinida de (tg)^1/2. Obrigado Marcus Aurélio
[obm-l] Olimpiada Regional Unochapecó
Olá! Alguém participou da Olimpíada Regional de Matemática de Unochapecó no nível 2? Queria discutir questões. Abraços, Bárbara Nedel.
Re: [obm-l] Raizes cúbicas de primos
Oi, Artur Admitindo que existam tais primos m n p, então devemos ter 2.r(n) = r(m) + r(p)(1), onde r(k) = raiz cubica de k. Elevando (1) ao cubo, vem: 8n = m+p + 3.r(m).r(p).[ r(m) + r(p)] Substituindo (1) em (2) obtemos [8n - m - p] = 6. r(m.n.p) ou seja, inteiro = irracional --- absurdo Observe que a hipótese primos é demasiadamente forte. Basta que mnp não seja cubo perfeito. Abraços, Nehab Artur Costa Steiner escreveu: Estou tentando demonstrar a afirmacao abaixo, mas ainda nao consegui. Alguem teria alguma sugestao? Se x y z forem raizes cubicas de primos positivos, entao x, y e z nao estao em progressao aritmetica. Abracos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] SEGMENTOS
Alguém pode, por favor, resolver esta: (C. NAVAL83) Um triângulo de 30 cm de altura é dividido por duas paralelas perpendiculares a essa altura, em três partes equivalentes. O maior dos segmentos em que ficou dividida essa altura por essas paralelas é: a) 5rq3 cm. b) 6rq3 cm. c) 10rq3 cm. d) 15rq3 cm. e) 20rq3 cm. DESDE JÁ AGRADEÇO
Re: [obm-l] Convergência/divergência de sére
a funão seno varia de 0 a ´pi com valor positivo e depois repete os valores
de pi a 2pi , mas com sinal contrario, de forma que, temos valores de
sen n^2/rqn -senn^2/(rq(n+1))= f(n)0
no final da
f(n)+f(n+1)+f(n+2) que diverge
On 10/4/07, Carlos Nehab [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi, Nicolau,
Meus neurônios devem estar de mau hunor, pois continuo não enxergando de
que forma a existência de infinitos n's tais que sen (n^2) 0
justificaria a divergência da série dada.
Não enxergo sequer, se é este o argumento, que tal fato implicaria na
existência de subseq divergente da sequência das SOMAS PARCIAIS da série
dada.
O que definitivamente não estou percebendo de tão óbvio?
Abraços,
Nehab
Nicolau C. Saldanha escreveu:
On Thu, Sep 13, 2007 at 03:48:45PM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
O que podemos afirmar quanto a convergencia ou divergencia de
Soma (n =1, oo) (1 + sin(n^2))/(raiz(n)) ?
A série diverge.
O fato difícil aqui é provar que sin(n^2) 0 para muitos valores de n.
De fato, sin(n^2) 0 para aproximadamente a metade dos valores de n,i.e., se
a_n = #{m n | sin(m^2) 0} então lim a_n/n = 1/2.
Isto não é muito surpreendente mas não acho que exista demonstração
muito fácil: segue de n^2 ser uniformemente distribuido módulo 2pi.
Uma seq a_n de reais é uniformemente distribuida módulo T se
para todo intervalo I contido em [0,1] valer lim b_n/n = |I|
onde b_n = #{m n | parte fracionaria(a_m/T) pertence a I}.
O seguinte teorema caracteriza seqs uniformemente distr mod T.
Seja a_n uma seq.
Dado N, defina b_n = SOMA_{mn} exp(2*pi*i*N*a_m/T)
(aqui i = sqrt(-1)).
Então a_n é unif distr módulo T se e somente se
lim b_n/n = 0 (para todo N).
É um fato bem conhecido que se c/T é irracional então a seq
cn é uniformemente distribuida módulo T
(isto segue facilmente do teorema acima).
Um fato bem menos conhecido é que se p é um polinômio com
coeficiente líder c e c/T é irracional então a seq p(n)
é unif distribuida módulo T.
O segundo fato segue do primeiro por indução usando o seguinte teorema
(a demonstração não é difícil usando o primeiro teo).
Seja a_n uma seq e T 0.
Suponha que para todo natural N a seq b_n = a_(n+N) - a_n
seja unif distr módulo T.
Então a_n é unif distr módulo T.
Acho que é bem mais difícil decidir
se a série abaixo converge (condicionalmente):
Soma (n =1, oo) (sin(n^2))/(raiz(n))
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
http://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
[obm-l] COORDENADAS DE P
Alguém pode resolver, por favor, esta, (UFPB-86) Num sistema de eixos cartesianos ortogonais, são dados os pontos C(1, 2) e D(0, 4). Um ponto P pertence à reta y = x e está sobre a mediatriz do segmento CD. As coordenadas de P são: a) (- 11/2, - 11/2). b) (- 7/2, - 7/2). c) (7/2, 7/2). d) (11/2, 11/2). e) (9/2, 9/2). DESDE JÁ AGRADEÇO
[obm-l] RES: [obm-l] Raizes cúbicas de primos
Eh verdade. Eu comnecei assim e me perdi em algum ponto. Obrigado Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Carlos Nehab Enviada em: segunda-feira, 8 de outubro de 2007 16:23 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Raizes cúbicas de primos Oi, Artur Admitindo que existam tais primos m n p, então devemos ter 2.r(n) = r(m) + r(p)(1), onde r(k) = raiz cubica de k. Elevando (1) ao cubo, vem: 8n = m+p + 3.r(m).r(p).[ r(m) + r(p)] Substituindo (1) em (2) obtemos [8n - m - p] = 6. r(m.n.p) ou seja, inteiro = irracional --- absurdo Observe que a hipótese primos é demasiadamente forte. Basta que mnp não seja cubo perfeito. Abraços, Nehab Artur Costa Steiner escreveu: Estou tentando demonstrar a afirmacao abaixo, mas ainda nao consegui. Alguem teria alguma sugestao? Se x y z forem raizes cubicas de primos positivos, entao x, y e z nao estao em progressao aritmetica. Abracos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Convergência/divergência de s érie
Oi, Saulo,
No bem isto no, Saulo. Seu argumento est incorreto. D uma
olhada na resposta que o Nicolau postou (segundo email dele sobre o
tema, de 04/out).
Abraos,
Nehab
saulo nilson escreveu:
a funo seno varia de 0 a pi com valor positivo e depois repete
os valores de pi a 2pi , mas com sinal contrario, de forma que, temos
valores de
sen n^2/rqn -senn^2/(rq(n+1))= f(n)0
no final da
f(n)+f(n+1)+f(n+2) que diverge
On 10/4/07, Carlos Nehab [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Oi, Nicolau,
Meus neurnios devem estar de mau hunor, pois continuo no enxergando
de que forma a existncia de "infinitos n's" tais que sen (n^2)
0 justificaria a divergncia da srie dada.
No enxergo sequer, se este o argumento, que tal fato implicaria na
existncia de subseq divergente da sequncia das "SOMAS PARCIAIS" da
srie dada.
O que definitivamente no estou percebendo de to bvio?
Abraos,
Nehab
Nicolau C. Saldanha escreveu:
On Thu, Sep 13, 2007 at 03:48:45PM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
O que podemos afirmar quanto a convergencia ou divergencia de
Soma (n =1, oo) (1 + sin(n^2))/(raiz(n)) ?
A srie diverge.
O fato difcil aqui provar que sin(n^2) 0 para "muitos" valores de n.
De fato, sin(n^2) 0 para aproximadamente a metade dos valores de n,
i.e., se a_n = #{m n | sin(m^2) 0} ento lim a_n/n = 1/2.
Isto no muito surpreendente mas no acho que exista demonstrao
muito fcil: segue de n^2 ser uniformemente distribuido mdulo 2pi.
Uma seq a_n de reais uniformemente distribuida mdulo T se
para todo intervalo I contido em [0,1] valer lim b_n/n = |I|
onde b_n = #{m n | parte fracionaria(a_m/T) pertence a I}.
O seguinte teorema caracteriza seqs uniformemente distr mod T.
Seja a_n uma seq.
Dado N, defina b_n = SOMA_{mn} exp(2*pi*i*N*a_m/T)
(aqui i = sqrt(-1)).
Ento a_n unif distr mdulo T se e somente se
lim b_n/n = 0 (para todo N).
um fato bem conhecido que se c/T irracional ento a seq
cn uniformemente distribuida mdulo T
(isto segue facilmente do teorema acima).
Um fato bem menos conhecido que se p um polinmio com
coeficiente lder c e c/T irracional ento a seq p(n)
unif distribuida mdulo T.
O segundo fato segue do primeiro por induo usando o seguinte teorema
(a demonstrao no difcil usando o primeiro teo).
Seja a_n uma seq e T 0.
Suponha que para todo natural N a seq b_n = a_(n+N) - a_n
seja unif distr mdulo T.
Ento a_n unif distr mdulo T.
Acho que bem mais difcil decidir
se a srie abaixo converge (condicionalmente):
Soma (n =1, oo) (sin(n^2))/(raiz(n))
[]s, N.
=
Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] COORDENADAS DE P
ponto medio de cd (1/2,3) (a-3)/(a-1/2)=-1/-2 equaçao da mediatriz 2a-6=a-1/2 a=11/2 o ponto e dad o por (11/2,11/2) On 10/8/07, arkon [EMAIL PROTECTED] wrote: *Alguém pode resolver, por favor, esta, * *(UFPB-86) Num sistema de eixos cartesianos ortogonais, são dados os pontos C(1, 2) e D(0, 4). Um ponto P pertence à reta y = x e está sobre a mediatriz do segmento CD. As coordenadas de P são:* *a) (- 11/2, - 11/2). b) (- 7/2, - 7/2). c) (7/2, 7/2). d) (11/2, 11/2). e) (9/2, 9/2). * *DESDE JÁ AGRADEÇO*
[obm-l] Cálculo de diferenças [texto]
Sou novo na lista, entrei para divulgar alguns textos de matemática que escrevo e aprender um pouco com as soluções dos problemas, quero divulgar o texto que estou escrevendo sobre cálculo de diferenças finitas , um assunto que acho que não é tão explorado recentemente (eu acho ), com poucos textos em português e inglês acessiveis sobre o assunto, vou deixar aqui um link do hd virtual do 4shared onde têm a pasta onde sempre envio o arquivo, como ainda estou escrevendo (o texto não foi terminado ainda) estou sempre atualizando o arquivo... vou comentar sobre alguns assuntos tratados no texto técnicas de somatorio e produtórios principio da indução finita operadores de diferença, expansão ... cálculo simbólico (tratar os operadores de diferença finita como um dominio de integridade) potências fatoriais (do ingles factorial power) números de stirling e a relaçao de potências com potências fatoriais coeficientes binomiais soma de potências a^n+...+b^n entre outros tema ligados que ainda vou adicionar o link é esse: http://www.4shared.com/dir/4007098/aa9c0552/renji.html (o texto esta longe de ser uma versão final) dicas, criticas correções comentários, tudo bem vindo ^^ Rodrigo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Calculo de diferenças
Sou novo na lista, entrei para divulgar alguns textos de matemática que escrevo e aprender um pouco com as soluções dos problemas, quero divulgar o texto que estou escrevendo sobre cálculo de diferenças finitas , um assunto que acho que não é tão explorado recentemente (eu acho ), com poucos textos em português e inglês acessiveis sobre o assunto, vou deixar aqui um link do hd virtual do 4shared onde têm a pasta onde sempre envio o arquivo, como ainda estou escrevendo (o texto não foi terminado ainda) estou sempre atualizando o arquivo... vou comentar sobre alguns assuntos tratados no texto técnicas de somatorio e produtórios principio da indução finita operadores de diferença, expansão ... cálculo simbólico (tratar os operadores de diferença finita como um dominio de integridade) potências fatoriais (do ingles factorial power) números de stirling e a relaçao de potências com potências fatoriais coeficientes binomiais soma de potências a^n+...+b^n entre outros tema ligados que ainda vou adicionar o link é esse: http://www.4shared.com/dir/4007098/aa9c0552/renji.html (o texto esta longe de ser uma versão final) dicas, criticas correções comentários, tudo bem vindo ^^ Rodrigo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] [obm-l] Ajuda em Questão da 3ª Fase da OBM Ano passa do
Em um torneio de tênis de mesa (no qual nenhum jogo termina empatado), cada um dos n participantes jogou uma única vez contra cada um dos outros. Sabe-se que, para todo k 2, não existem k jogadores J1, J2, …, Jk tais que J1 ganhou de J2, J2 ganhou de J3, J3 ganhou de J4, …, Jk – 1 ganhou de Jk, Jk ganhou de J1. Prove que existe um jogador que ganhou de todos os outros e existe um jogador que perdeu de todos os outros. _ Veja mapas e encontre as melhores rotas para fugir do trânsito com o Live Search Maps! http://www.livemaps.com.br/index.aspx?tr=true
[obm-l] duvida
Estou tentando resolver uma integral so que to chegando numa resposta muito grande, será que alguém da lista tem uma solução menor? Integral de x^2 sqrt (9-x^2) Marcus Aurélio
Re: [obm-l] Combinatória - album de figurinhas...
Olá Nehab,
eu fiz mas achei um erro.. estou vendo como corrigi-lo!
acho que amanha mando minha solucao..
por acaso cai em alguns somatório de PG infinita.. e do tipo Sum{n=0 - inf}
[n x^n] ?
abracos,
Salhab
On 10/8/07, Palmerim Soares [EMAIL PROTECTED] wrote:
Ola Nehab e demais mestres,
com certeza entrara na colecao! Mas, estah dificil de resolver. Preciso me
trabalhar muito ainda...
Palmerim
Em 05/10/07, Carlos Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Oi, gente,
Considere uma revista de figurinhas com N figurinhas distintas. Qual
o número médio de figurinhas que se deve comprar para completar o
álbum? Imaginem que as figurinhas são compradas unitariamente (uma a
uma).
Nehab
PS: Quem sabe o Palmerim bota na coleção dele...
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] duvida
Olá.. faca x/3 = sen(u) .. entao: dx = 3cos(u) du assim, fica: integral [3sen(u)]^2 * 3sqrt(1-(sen(u))^2) 3cos(u) du = integral 81*sen^2(u)*cos^2(u) du = = 81 integral [sen(2u)]^2 * 1/4 du = 81/4 integral (sen(2u))^2 du agora fica mais tranquilo né? abraços, Salhab On 10/9/07, Marcus [EMAIL PROTECTED] wrote: Estou tentando resolver uma integral so que to chegando numa resposta muito grande, será que alguém da lista tem uma solução menor? Integral de x^2 sqrt (9-x^2) Marcus Aurélio
