Re: [obm-l] teste
Oi, gente, Conforme j havia comentado pelo telefone com o Ponce, desisti do gmail na Lista Agora na lista meu email [EMAIL PROTECTED] sem redirecionamento para nada, mas infelizmente t sem tempo para participar... S t na paquera (lendo) ... Nehab Rogerio Ponce escreveu: Ola' pessoal, tambem estou com problemas no recebimento de emails. []'s Rogerio Ponce = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] PROFESSOR DE MATEMÁTICA
Oi Amigos da lista. Alguém conseguiu resolver esta além do Victor??? E Victor, como que chegaste a 40%?? Obrigada... Vivian Em 09/11/07, Victor [EMAIL PROTECTED] escreveu: 40% - Original Message - *From:* arkon [EMAIL PROTECTED] *To:* obm-l obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Thursday, November 08, 2007 3:16 PM *Subject:* [obm-l] PROFESSOR DE MATEMÁTICA *ALGUÉM PODE RESOLVER, POR FAVOR, ESTA:* * * *Numa aula de aritmética, um professor de Matemática desafiou seus alunos. Disse que era capaz de adivinhar o número de palitos numa caixa de fósforos sem abrí-la. Para tal brincadeira, este professor deu para uma turma de alunos uma caixa de fósforos que continha um número de palitos entre 50 e 60, e orientou-os dizendo:* *- Queridos alunos, sigam corretamente as minhas instruções, mas não me digam nada, apenas executem-nas em silêncio.* *Primeiro: Tirem todos os palitos da caixa.* *Segundo: Coloquem quantos palitos vocês quiserem dentro da caixa.* *Terceiro: Retirem da caixa o número de palitos igual a soma dos algarismos do número de palitos que foram colocados na caixa na segunda instrução.* *Ao finalizar a terceira instrução os alunos devolveram a caixa fechada ao professor e sem dizerem absolutamente nada ao mestre, guardaram o restante dos palitos, escondendo-os. Sabendo que o professor notou, pelo barulho, que havia alguns palitos dentro da caixa, calcular, em porcentagem, a probabilidade de que este professor venha a adivinhar em duas tentativas, no máximo, o número correto de palitos, deixados pelos alunos, dentro da caixa. * *DESDE JÁ AGRADEÇO*
Re: [obm-l] Re: [obm-l] PROFESSOR DE MATEMÁTICA
Suponha que os alunos colocaram 10x + y palitos na segunda instrução. Pela terceira, os palitos restantes serão 10x + y - (x + y) = 9x. Logo os números restantes possíveis são os múltiplos de 9: 0, 9, 18, 27, 36, 45 e 54 (se a caixa tinha mais de 54). Como havia palitos dentro da caixa, descartamos o 0. Chamando o número total de palitos de z, a probabilidade de ocorrer os números menores que 45 são: 9 - 10/z 18 - 10/z 27 - 10/z 36 - 10/z Obviamente a melhor estratégia para o professor é adivinhar dois desses números de probabilidade 10/z, já que a probabilidade de ocorrerem 45 ou 54 é no máximo igual. Vamos assumir sem perda de generalidade 9 e 18. A chance de ser ou 9 ou 18 é obviamente de 20/z. Se z = 51 (chance 1/9): chance de ser 9 ou 18 - 20/51 chance total - 20/51 * 1/9 Se z = 52 (chance 1/9): chance de ser 9 ou 18 - 20/52 chance total - 20/52 * 1/9 etc... chance total de ser 9 ou 18 = 20/(51*9) + 20/(52*9) + 20/(53*9) + ... + 20/(59*9) = 5193090205879/14249471209974 ~ 36.4% Não me pergunte como fazer essa conta no papel, a não ser que eu tenha perdido alguma coisa... -- Fernando Oliveira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] PROFESSOR DE MATEMÁTICA
Eu considerei possibilidades demais, aí foi meu erro. Como 0 não é possível, o número total de números possíveis no passo 2 é z - 9, ou seja, só aqueles no intervalo [10, z]. Fazendo essa mudança, o total é de 43.7%, o que é muito estranho dado que há mais de 5 possibilidades. Se eu errei em mais alguma outra coisa, por favor me corrijam. -- Fernando Oliveira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Idade III
Palmerim, realmente estava faltando alguns dados , o texto abaixo está corigido. - Original Message - From: Palmerim Soares To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, November 12, 2007 11:45 AM Subject: Re: [obm-l] Idade III Ola Pedro, nao eh mais difícil, soh eh diferente e mais trabalhosa, alem de exigir uma boa interpretacao do texto. Este tambem eh o tipo que fica mais facil de resolver de trás para frente. Mas tem alguma coisa estranha neste enunciado. O que exatamente significa ...idade atual de Antígone quando Brangânia tinha a idade que tinha Antígone... . Talvez fizesse algum sentido se fosse: a idade de Antigone quando Bragannia tinha a A idade atual de Antígone eh diferente de a idade de Antigone quando Bragancia tinha... Ou então sou eu que não estou conseguindo entender este trecho. Verifique se esta correto este enunciado, ok? Abraços, Palmerim Em 01/11/01, Pedro [EMAIL PROTECTED] escreveu: Palmerim, obrigado pela resolução. Tem mais uma raridade, penso que seja mais difícil ou não? Antígone, que não terá mais filhos, tem atualmente uma certa idade e, atualmente a jovem Brangânia tem o número de anos que tinha Antígone quando Brangânia tinha a idade que tinha Antígone no momento que Brangânia tinha um número de anos que, acrescido à idade atual de Antígone,dá o número de anos que esta terá quando Brangânia tiver exatamente a idade que tinha Antigone quando Brangânia tinha a idade que tinha Antígone quando Brangânia tinha um número de anos que, multiplicando por cinco, dá o número de anos que terá Antígone quando Brangânia tiver exatamente o número de anos que Antígone terá no ano que vem. Qual é a diferença de idade entre Antígone e Brangânia?
RE: [obm-l] identidade binomial Mathematics Magazine June 2007 p. 225
Sauda¸c~oes,
Retomo uma velha mensagem.
Na revista Mathematics Magazine June 2007 p. 225
deparei-me com a identidade
\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n-k+1}{k} \frac{1}{n-k+1}
\binom{2n-2k}{n-k} = \delta_{n,0} .
Ela aparece como corolário de uma longa exposição.
Tentando prová-la, seja
S_n := \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n-k+1}{k} \frac{1}{n-k+1}
\binom{2n-2k}{n-k} .
Uma das idéias é fazer S_n = [x^n] F(x) (coeficiente de x^n em F(x)),
onde F(x) é dada por
F(x) = \sum_{k\geq 0} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k (1-x)^{k+1}
Fazendo k=0,1,2,3,4 vem:
S_n = [x^n] {1 -14x^4 + 28x^5 - 20x^6 + 5x^7 + 14x^4(1-x)^5 +
\sum_{k\geq 5} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k (1-x)^{k+1} }
Assim, S_0=1 e S_1=S_2=S_3=S_4=0.
Falta provar que [x^n] F(x) = 0 para n\geq 5.
Dá pra fazer isso?
[]'s,
Luis
Dá sim. Escreva
F(x) = (1-x) \sum_{k\geq 0} C_k (x(1-x))^k
onde $C_k$ é o k-ésimo número de Catalan (NC).
Tendo em vista a função geratriz dos NC,
F(x) = (1-x) \frac{1-\sqrt{1 – 4x(1-x)}}{2x(1-x)} =
\frac{1-(1-2x)}{2x} = 1.
Na dedução acima teve a passagem 1 – 4x(1-x) = (1-2x)^2.
Logo, S_0=1 e S_n=0 para n\geq1.
[]'s
Luís
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] PROFESSOR DE MATEMÁTICA
A maioria das pessoas faz algo como pode ser 9, 18, 27, 36 ou 45, então ele tem 2 chances em 5 de acertar, que dá 40% -- é uma primeira aproximação, mas, na minha humilde opinião, está errado -- quem disse que estas 5 hipóteses são igualmente prováveis? A minha solução discorda da do Fernando milimetricamente -- para mim, ao saber que não há palitos na caixa, a distribuição de probabilidade do número original de palitos na caixa deixa de ser 1/9 para cada número de 51 a 59, levemente (pense assim: 51 é agora um pouco menos verossímil que 59, pois com 51 a chance dos alunos escolherem de 0 a 9 palitos para pôr na caixa era levemente maior, e agora sabemos que isto não aconteceu). Acho que a solução do Fernando estaria correta se o professor tivesse mandado os alunos porem 10 ou mais palitos na caixa **desde o começo**, ao invés de ter verificado isso ao final (isto faz diferença!). Minha solução é assim: sejam Z = número de palitos na caixa que o professor deu aos alunos X = número de palitos que os alunos botaram de volta na caixa Y = número de palitos na caixa ao final Para resolver o problema, temos que fazer alguma hipótese sobre as distribuições de X e Z. Vou copiar o Fernando i) Suponho que A PRIORI Z assume cada valor de 51 a 59 com probabilidade 1/9 (interpretei *entre* 50 e 60 sem extremos!). ii) Suponho que (dado Z) X assume qualquer valor entre 0 e Z com probabilidade 1/(z+1) (o enunciado não deixa claro se os alunos podiam pôr 0 palitos na caixa; pior, o enunciado sugere que os alunos não puseram Z nem Z-1 palitos na caixa quando diz esconderam oS palitoS restanteS, mas eu vou ignorar esta complicação). Note-se que as pessoas não costumam escolher números assim, mas alguma hipótese tem de ser feita, e esta é a mais simples. Com essas hipóteses, a tabela abaixo mostra a distribuição conjunta de X e Z antes de sacudir a caixa: Z X=0... 50 51 52 ... 59 51 1/(52*9)... 1/(52*9) 1/(52*9)0 ...0 52 1/(53*9)... 1/(53*9) 1/(53*9) 1/(53*9) ...0 .. 59 1/(60*9)... 1/(60*9) 1/(60*9) 1/(60*9) ... 1/(60*9) Por exemplo, Pr(Z=52 e X=51)=1/53*1/9, a priori. Note que Y=[X/10]*9, ou seja: Y=0 se X=0,1,...,9 Y=9 se X=10,11,...,19 Y=18 se X=20,...,29 etc. Então, juntando as colunas certas, fica o seguinte para Y e Z: ZY=09 18273645 51 10/(52*9) 10/(52*9) 10/(52*9) 10/(52*9) 10/(52*9) 2/(52*9) 52 10/(53*9) 10/(53*9) 10/(53*9) 10/(53*9) 10/(53*9) 3/(53*9) . 59 10/(60*9) 10/(60*9) 10/(60*9) 10/(60*9) 10/(60*9) 10/(60*9) Para facilitar, escreva S=1/52+1/53+...+1/60. O que a gente tá vendo é que as probabilidades para Y são (antes de sacudir a caixa): Pr(Y=0)=Pr(Y=9)=...=Pr(Y=36)=10S/9; Pr(Y=45)=o resto. Como o Fernando disse, Pr(Y=45) é menor que as outras, então o professor não deve tentar adivinhar este número. Ele deve tentar algo como 9 e 18, digamos, se for esperto. Quando ele sacode a caixa, a possibilidade Y=0 é jogada fora, e as outras probabilidades têm de ser re-escaladas para que a soma ainda dê 1. Então: APÓS SACUDIDA: Pr(Y=9)=...=Pr(Y=36)=(10S/9)/(1-10S/9)=10S/(9-10S) Então a chance de ele adivinhar nas duas tentativas é 2*10S/(9-10S) onde S=1/52+...+1/60. Não vejo nenhuma outra simplificação possível -- fazendo a conta com o computador, achei 54871426/1376410941931= 43.591% -- que ficou BEM perto do que o Fernando achou. Tá razoável -- há 5 possibilidades, mas a 5a é um pouco menos provável que as 4 primeiras, e a gente escolheu duas das 4 primeiras. Abraço, Ralph On Nov 13, 2007 10:02 AM, Fernando Oliveira [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu considerei possibilidades demais, aí foi meu erro. Como 0 não é possível, o número total de números possíveis no passo 2 é z - 9, ou seja, só aqueles no intervalo [10, z]. Fazendo essa mudança, o total é de 43.7%, o que é muito estranho dado que há mais de 5 possibilidades. Se eu errei em mais alguma outra coisa, por favor me corrijam. -- Fernando Oliveira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Vetores e complexos
Colegas, Qual a diferença do plano cartesiano para o plano complexo, ou seja, entre (a,b) representando um vetor e um número complexo? Um abraço, Sérgio
Re: [obm-l] Vetores e complexos
Não tem nenhuma diferença, a única coisa que muda é que quando estamos no plano complexo podemos multiplicar os vetores (a,b)(c,d), o que não existia no plano cartesiano. E lógico quando podemos multiplicar os vetores, dizemos que estamos multiplicando números complexos. t+ Jones On Nov 13, 2007 1:12 PM, Sérgio Martins [EMAIL PROTECTED] wrote: Colegas, Qual a diferença do plano cartesiano para o plano complexo, ou seja, entre (a,b) representando um vetor e um número complexo? Um abraço, Sérgio
[obm-l] Autovalor
Dado A E R n x n Se A= A^T então todo autovalor de A é real Se A=-A^T então todo autovalor de é da forma ir, r E R Também como que eu mostro que o produto dos autovalores de uma matriz é igual ao seu determinante e o traço igual a soma dos autovalores. Grato. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
Re: [obm-l] Vetores e complexos etc
Oi, Srgio, Interessante a pergunta e tive um ataque maluco de prolixidade na resposta Virou quase uma aula de introduo a como "criar intuio sobre isto" mas j que escrevi , ai vai :-) Ficou ENOORME Espero que te ajuda... e que o majordomo no me "cape"... 0) No fundo no fundo, um "par de eixos" um belo artifcio para modelar inmeros objetos ou situaes em matemtica (e fsica, etc), que ajudam um bocado a gente. Vamos a seu primeiro exemplo, o Plano Cartesiano... (no fundo voc falou pelo menos em 3 abstraes: plano cartesiano, vetores e complexos... vamos devagar... 1) Primeiro pensemos no problema de posicionar um ponto em um plano, usando os dois eixos como "referenciais" (como poderamos estar interessados em posicionar um ponto na Terra, atravs da longitude e latitude; ou a posio de uma casa no jogo de batalha naval, etc). Ai, claro, que dois nmeros (a tal da abscissa e da ordenada) resolvem adequadamente esta situao. Ento conseguimos associar (biunivocamente) um ponto do plano a um par de nmeros e reciprocamente (sem entrar no merito - nem agora nem depois - , que a reta e os reais so amiguinhos). Veja que, concretamente, um ponto (uma abstrao geomtrica) no tem NADA, absolutamente NADA que haver com um par de nmeros (outra abstrao), mas esta "identificao" nos pemite trabalhar em dois "ambientes" diferentes e nos permite associar, portanto, conjunto de pares de nmeros a um conjunto de pontos do plano (que no fundo uma figura - ou seja, um objeto da geometria) Portanto, associamos pares de nmeros a figura da geometria plana. 2) Vejamos, agora outra associao. Dada uma "relao real - uma equao ou inequao" envolvendo duas variveis, por exemplo, y = 2x + 1, podemos imaginar que ela verdadeira para vrios pares de nmeros x e y e como j pensamos em pares de nmeros reais h pouco, poderamos ento imaginar que o conjunto soluo desta "relao" identificvel com um conjunto de pontos do plano... Ento, olha que genial: conseguimos (viva Descartes etc) associar um conjunto de pontos do plano (uma figura geomtrica) a uma equao (uma outra abstrao)... Da, "olhamos" para a equao x^2 + y^2 = 1 e "vemos" uma circunferncia. No brbaro a naturalidade com que fazemos isto sem muitas vezes perceber a brutal abstrao envolvida ? Ah, adoraria que todos os profesores do mundo percebessem como isto um novo paradigma para o(a)s menino(a)s de 7a e 8a srie (agora 8a e 9a)... No a toa que neguinho chega no segundo grau - muitas vezes no vestiba - , e no consegue entender NADA, mas NADA de NADA de NDA de geometria analitica... Foram maltratados l no incio... e tambm no fim :-) . 3) Vetorzinhos da Fsica... A gente aprende que um vetor fica definido quando conhecemos sua direo, sentido e mdulo. Bem, ai adoraramos que as setinhas nos ajudassem (pois setinhas possuem tamanho, direo e sentido...). Mas uma setinha de um ponto A a um ponto B NO um vetor. Verdade que outras setinhas tambm podem ter o mesmo mdulo direo e sentido e ento um vetor identificado com o conjunto das setinhas bl, bl, bl (ta uma boa oportunidade para falar em relaes de equivalncia - entre setinhas, etc, etc) Ento, podemos imaginar que til pr caramba representar um vetor de tal mdulo, direo e sentido por uma setinha na origem de um sistema de eixos (ortogonais). A, d para perceber que suas projees sobre os eixos coincidem com as coordenadas do ponto extremo da setinha anterior... (um pulo do gato!). Ento ficou interessante identificarmos um vetor por um par de nmeros que representam suas projees sobre os dois eixos e ao mesmo tempo tal par de numeros seria (tambm) o ponto extremidade da setinha de origem na origem e que o representa Depois, o professor de Fsica nos ensina como somar vetores, subtrair e a gente fica feliz da vida pois descobrimos que basta somar ou subtaris as componentes dos dois vetores que obtemos o vetor soma. Ou seja, descobrirmos que til imaginar que estamos somando e subtraindo pares de nmeros reais pois isto MUITO til para a Fsica Ento, os pares de nmeros que antes serviam para "localizar" um ponto no plano, tiveram outra funcionalidade. Quando imaginamso que os pares de nmeros representam vetores do plano (suas componentes) j botamos as manguinas de fora e estamos somando e subtarindo pares de nmeros reais PORQUE TILpelo menos pros nossos vetorzinhos... Mas ai (para no me alongar quase infinitamente...) a Fsica vem com o papo que interessante calcular a projeo de um vetor u = (u1, u2) sobre outro vetor v = (v1, v2), por exemplo, onde u1 e v1 so as projees de u e v sobre Ox e u2 e v2 sobre Oy. Ai a gente percebe que a conta a fazer |u|. cos alfa, onde alfa o ngulo entre u e v... e esta conta d u1.v1 + u2.v2 que a Fsica (e ns tambm) adoramos chamar de produto escalar de dois vetores(usando a lei dos cosenos a gente mostra isto). Ento, os tadinhos dos pares de pontos que comearam apenas sendo uma forma til de localizar pontos no plano, alm de j terem sido "somados" e
[obm-l] OFF TOPIC - Receberam o e-mail anterior?
Olá pessoal! Com toda a discussão sobre problemas no e-mail, eu gostaria de saber se vocês receberam um e-mail anterior meu com o título Quadrando quadrados + teorema das 4 cores. Conta aqui no gmail na caixa de itens enviados, mas se foi respondido eu não recebi nada. Aliás, alguém ao menos pensou no caso? Em caso positivo, se não quiser se manifestar na lista pode me mandar um e-mail privado. Desculpem qualquer incomodo. Abraços, Douglas Ribeiro = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
