[obm-l] equação polinomial difícil
Como resolve? x^3-x^2-2x+1=0 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Diferença finita ( de novo)
Essa sequecncia foi resolvida Pelo Professor Luís lopes (em 2003)de maneira
brilhante, muito mais eficaz do que diferença finita.
Pergunto ao Professor ou os demais da lista.Como demonstrar as fórmulas que
estão em negritos a abaixo.
1)Seja a PA de ordem 3
1,3,19,61,141,271,... a_i
Vamos gerar outras PAs fazendo a_{i+1} - a_i:
2,16,42,80,130Delta a_i
14,26,38,50 Delta^2 a_i
12,12,12 Delta^3 a_i
a_i = a_1 + Delta a_1 binom(i-1,1) + Delta^2 a_1
binom(i-1,2) + Delta^3 a_1 binom(i-1,3)
a_i = 1 + 2(i-1) + 14(i-1)(i-2)/2 + 12(i-1)(i-2)(i-3)/6
a_i = 2i^3 - 5i^2 + 3i + 1
S_n = a_1 binom(n,1) + Delta a_1 binom(n,2) +
Delta^2 a_1 binom(n,3) + Delta^3 binom(n,4)
S_n = n[3n^3 - 4n^2 - 3n + 10] / 6
2) Posso reslver da mesma forma a seguinte questão (arrumando)
Determine o termo geral da sequência { 3, 0, 5, 34 , 135, 452}
e calcule em seguida a soma dos n primeiros termos.
[obm-l] Probabilidade I
1. Num grupo de 10 pessoas, seja o evento escolher 3 pessoas sendo que uma delas sempre será escolhida. Qual o número de elementos desse evento? 2. Lançando 3 dados, considere o evento obter pontos distintos. Qual o número de elementos desse evento? 3. Uma urna contém 7 bolas brancas, 5 vermelhas e 2 azuis. De quantas maneiras podemos retirar 4 bolas dessa urna, não importando a ordem em que são retiradas, sem recolocá-las? Valeu, Turma!!! Alexandre Bastos Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
Re: [obm-l] equação polinomial difícil
Se você não tiver raizes inteiras/racionais (o que vc pode determinar por tentativa e erro dentro do conjunto de possiveis raizes), vc pode aplicar a formula de Cardano/Tartaglia. No caso de não sabe-la de cabeça, um procedimento simples permite vc determinar as raizes (ou a formula, se fizer para o caso geral). Vamos inicialmente tentar simplificar ao maximo a equacao. Sempre é possível eliminar um termo (nao fora o de terceiro grau, obviamente) de uma equação polinomial de terceiro grau com uma mudanca de variaveis: um deslocamento no eixo x. Vamos eliminar o termo quadratico. Procuramos um k tal que a substituição y = x + k não tenha termo em x^2. (y + k)^3 - (y + k)^2 - 2(y+k) + 1 Os termos em y^2 serão: 3ky^2 - y^2, donde k = 1/3 (se vc fizer o caso geral, obtem facilmente k = -b/3a) A sua equacao fica entao: y^3 + (3k^2 - 2k -2)y + k^3 - k^2 - 2k + 1 = 0 == y^3 - 7/3 * y + 7/27 = 0 Pronto, agora não temos mais o termo quadratico. A idéia agora é eliminar o termo linear. Assim, teremos resolvido a equação. Se fizermos y = a + b, temos y^3 = a^3 + 3ba^2 + 3ab^2 + b^3, e, colocando em evidencia um termo ab, ficamos com y^3 = a^3 + b^3 + 3aby. Podemos agora impor uma relação entre a e b que esteja a nosso favor: 3ab = 7/3. Repare que isso elimina o termo - 7/3 * y na equação, nos dando: a^3 + b^3 + 7/27 = 0 Substituindo b agora por (7/3) / (3a) = 7/(9a) (a partir de nossa imposicao da relacao entre a e b), obtemos (multiplicando também os dois lados por a^3): (a^3)^2 + 7/27 * (a^3) + (7/9)^3 = 0 que é uma equação quadratica em a^3 e que pode ser facilmente resolvida. Isso ai não é nada mais do que o procedimento de Tartaglia, que, se feito no caso geral, dara a famosa formula. Menos conhecidos são a formula e o procedimento de Ferrari, para obter a solução de equações de quarto grau. A idéia é. elimine um termo (o de terceiro grau), isole o termo linear restante e dar um jeito de chegar em algo da forma ( )^2 = ( )^2. Para isso, provavelmente vc chegara em uma situação em que tem que determinar uma constante, cuja determinação cai numa equação cubica. Vc usa então o método acima, e resolve o problema. Pode dar MUITO trabalho. Abraço Bruno On Sun, Feb 24, 2008 at 8:05 PM, [EMAIL PROTECTED] wrote: Como resolve? x^3-x^2-2x+1=0 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: [EMAIL PROTECTED] skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] Diferença finita ( de novo)
a fórmula você pode deduzir assim,
vou chamar o operador delta, de D (nao confundir com derivada), o
operador delta faz Df(x)=f(x+1)-f(x), seja o operador E que faz
Ef(x)= f(x+1), entao podemos escrever D f(x)= Ef(x)-f(x) (é possivel
definir operaçãoes analogas a soma, produto , potenciação, com esses
operadores e mostrar que formam um anel , sendo valida tb uma
propriedade similar ao binomio de newton, vou usar ela pra deduzir as
formulas das PA),
podemos escrever D f(x)= (E-1) f(x)
as diferenças de ordem superior são definidas assim
D^0 f(x)=f(x)
D^(k+1) f(x)= D^k f(x+1) - D^kf(x) para k0 , k natural
definindo tb E^k f(x)= f(x+k)
é válido fazer o seguinte
primeiro
D^n f(x)= (E-1)^n f(x) expandindo esse segundo termo por teoremade
binomio de newton
vou escrever o coeficiente binomial como c(n,k)= n!/k!(n-k)!, temos
D^nf(x)= somatorio [k=0 ate n] de c(n,k) E^(n-k) .(-1)^k f(x)
assim voce tem as diferenças escritas em função de valores sucessivos da função
mas da relação D=E-1, temos D+1=E, tomando potencias n em cada temos
(D+1)^n =E^n, aplicando numa função f(x) temos
E^n f(x)= (D+1)^n f(x) expande por teorema binomial
E^n f(x)= somatorio [k=0 até n] c(n,k) D^k f(x)
f(x+n)= somatorio [k=0 até n] c(n,k) D^k f(x)
se voce fizer x=0 tem
f(n)= somatorio [k=0 até n] c(n,k) D^k f(0)
se fizer x=1 e n=p-1 temos
f(p-1+1)=f(p)= somatorio [k=0 até p-1] c(p-1,k) D^k f(1)
que é a formula que se quer
Em 31/10/01, Pedro[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Essa sequecncia foi resolvida Pelo Professor Luís lopes (em 2003)de maneira
brilhante, muito mais eficaz do que diferença finita.
Pergunto ao Professor ou os demais da lista.Como demonstrar as fórmulas que
estão em negritos a abaixo.
1)Seja a PA de ordem 3
1,3,19,61,141,271,... a_i
Vamos gerar outras PAs fazendo a_{i+1} - a_i:
2,16,42,80,130Delta a_i
14,26,38,50 Delta^2 a_i
12,12,12 Delta^3 a_i
a_i = a_1 + Delta a_1 binom(i-1,1) + Delta^2 a_1
binom(i-1,2) + Delta^3 a_1 binom(i-1,3)
a_i = 1 + 2(i-1) + 14(i-1)(i-2)/2 + 12(i-1)(i-2)(i-3)/6
a_i = 2i^3 - 5i^2 + 3i + 1
S_n = a_1 binom(n,1) + Delta a_1 binom(n,2) +
Delta^2 a_1 binom(n,3) + Delta^3 binom(n,4)
S_n = n[3n^3 - 4n^2 - 3n + 10] / 6
2) Posso reslver da mesma forma a seguinte questão (arrumando)
Determine o termo geral da sequência { 3, 0, 5, 34 , 135,
452} e calcule em seguida a soma dos n primeiros termos.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
