[obm-l] Integral tripla
Calcule a massa do sólido E = {(x,y,z) : x^2+y^2+z^2 = r^2, z=a0} para
d(x,y,z) = z
[obm-l] Exercicios de Analise 3
Ola Pessoal,
Seguem mais alguns Exercicios de Analise. Estou colocando mais de um
numa mesma mensagem porque eles, por enquanto, estao bastante simples.
Vou fazendo como diversao mental nas horas livres. O livro em
referencia e :
Curso de Analise, Vol 1, 11 edicao, 2 impressao, Projeto Euclides, IMPA,
Autor : Prof Elon Lages Lima
( EXERCICIO 4.6 )
Dado um E 0
Como LIM Xn = a, existe N0 tal que n N0 = | Xn – a | E/2.
Igualmente, como LIM(Xn-Yn) = 0, existe N1 tal que n N1 = | Xn – Yn
– 0 | E/2. Vemos portanto que se tomarmos, por exemplo, N2=max{ N0,
N1 }, para todo n N2 ambas as desigualdades anteriores ficarao
satisfeitas. Adotando este N2 e somando as desigualdades, teremos :
n N2 = | Xn – a | + | Xn – Yn | E/2 + E/2
n N2 = | Xn – a | + | Xn – Yn | E = | Xn – a | + | Yn – Xn | E
Pela desigualdade dos modulos, sabemos que | A+B | = | A | + | B |.
Aplicando este desigualdade na ultima conclusao acima :
n N2 = | Xn – a + Yn – Xn | E
n N2 = | Yn – a | E
Assim, para um E 0 qualquer dado, sempre podemos exibir um natural
N2 tal que sempre que n N2 = | Yn – a | E. Isto estabelece que
LIM Yn = a, como queriamos demonstrar.
( EXERCICIO 4.7 )
Dado um E 0
De a # 0 concluimos que | a | 0. Daqui sai que ( E / | a | ) 0.
Como LIM Yn/a = 1, existe um N0 tal que n N0 = | Yn/a - 1 |
E / | a |= | (Yn – a ) / a | E / |a| = |Yn – a | / | a |
E / | a | = | Yn – a | E. Assim, para um E 0 qualquer dado,
sempre podemos exibir um N0 tal que n N0 = |Yn – a | E. Isto
estabelece que LIM Yn = a, como queriamos demonstrar.
(EXERCICIO 4.8 )
Considere a sequencia Zn = 1. E claro que LIM Zn = 1. Como b # 0, das
propriedades aritmeticas dos limites segue que LIM ( Zn / (Xn/Yn) ) =
1 / b = LIM (Yn / Xn ). Destas mesmas propriedades segue que LIM ( Xn
* ( Yn / Xn) ) = a / b = LIM Yn, como queriamos demonstrar.
( EXERCICIO 4.9 )
Considere a sequencia Zn = 1. E claro que LIM Zn = 1. Como a # 0, das
propriedades aritmeticas dos limites segue que LIM (Zn / Xn ) = 1 / a
= LIM (1 / Xn ). Destas mesmas propriedades segue que LIM ( (1 /
Xn)*(XnYn) ) = (1 / a)*b = b / a = LIM Yn, como queriamos demonstrar.
( EXERCICIO 4.10 )
Sejam A e B reais positivos tais que A = B. Usando as propriedades
dos numeros reais, é facil provar que para todo natural N teremos A^(1
/ N) = B^(1 / N). Aplicando este resultado a desigualdade a = Xn
= n^K , seguira :
a^(1/N) = (Xn)^(1/N) = (n^K)^(1/N) = a^(1/N) = (Xn)^(1/N) =
(n^(1/N) )^K
No livro do Prof Elon que estamos considerando aqui, na parte teorica,
esta provado que LIM a^(1/N) = LIM n^(1/N) = 1. De LIM n^(1/N) = 1 e
facil concluir que LIM (n^(1/N))^K=1.
Portanto :
a^(1/N) = (Xn)^(1/N) = (n^(1/N) )^K eLIM a^(1/N) = LIM ( n^(1/N) )^K = 1
Do Teorema do Confronto ( Teorema do Sandwich ) segue que LIM
(Xn)^(1/N) = 1, como queriamos demonstrar.
( EXERCICIO 4.11 )
Calculando as medias geometrica (G), aritmetica (A) e usando G = A :
(1 – (1/N))^(N / (N+1) ) = ( N / (N + 1) )
(1 – (1/N))^(N / (N+1) ) = ( 1 – ( 1/(N+1) ) )
(1 – (1/N))^N = ( 1 – ( 1/(N+1) ) )^(N+1)
Este ultimo resultado mostra que Xn = (1 – (1/N) )^N e crescente. Para
n=2 temos que X2=1/4. Logo Xn = (1 – (1/N) )^N = 1/4 para todo n =
2.
( EXERCICIO 4.11a )
Xn*Yn=((1+(1/N))^N)*((1 – (1/(N+1)))^(N+1))
Xn*Yn = (((N+1)/N)^N)*((N/(N+1))^(N+1)) = (((N+1)/N)^N)*((N/(N+1))^N)*(N/(N+1))
Xn*Yn = N+1)/N)*(N/(N+1)))^N)*(N/(N+1)) = (1^N)*(N/(N+1)) =N/(N+1)
LIM Xn*Yn = LIM N/(N+1) = 1
Como LIM Xn=e entao LIM (1/Xn) = 1/e. Logo : LIM Yn= LIM (1/Xn)*LIM(Xn*Yn) = 1/e
Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
3,0A1A,020408
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] RES: [obm-l] Conjuntos numéricos na Reta...Boas no tícias !!!!
O livro Foundations of Geometry, de Hilbert (inglês, é claro) está disponível digitalmente no Projeto Gutemberg ( http://www.gutenberg.org/wiki/Main_Page http://www.gutenberg.org/wiki/Main_Page) ! Divirtam-se. --- Paulo C. Santos (PC) UNICARIOCA/RJ - Curso de Tecnologia de Redes e-mail: [EMAIL PROTECTED] homepage: http://uniredes.org http://uniredes.org/ Tel.: (21) 2510.8783 - Cel.: (21) 8753-0729 MS-Messenger: [EMAIL PROTECTED] _ De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Fernando A Candeias Enviada em: sexta-feira, 28 de março de 2008 18:43 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Conjuntos numéricos na Reta... Caros colegas de lista Uma outra maneira de responder ao questionamento do Paulo, mais trabalhosa porém mais intuitiva, está descrita em Foundations of Geometry, de Hilbert. Ele desenvolve a geometria de maneira puramente axiomática, e no # 8 trata dos axiomas de continuiidade, que são o de Arquimedes V.1 e o da Completude da Reta, V.2. A partir do que, juntamente com os axiomas que dizem respeito à ordem, é possível demonstrar a equivalência entre os pontos da reta e do conjunto dos reais.
[obm-l] IME-64/65
Pessoal alguém conseguiu resolver essa questão que enviei ano passado Será que e tão sinistra assim?? (IME-64/65) Com os algarismos significativos quantos números constituídos de 3 algarismos ímpares e 3 pares, sem repetição, podem ser formados? Desde já agradeço = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RES: [obm-l] Méidas
Não há uma generalização interessante. O produto é Ma Mh = (x_1+x_n)/(1/x_1+1/x_n). Acho que não dá uma expressão bonita não. A fórmula faz sentido desde que a soma dos pesos não seja nula. Mas não vejo como explicar o que ela significa Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Gustavo Duarte Enviada em: sábado, 29 de março de 2008 15:42 Para: Olimpíada Assunto: [obm-l] Méidas 1)Em méidas é fácil mostrar que para 2 valores positivos ,o quadrado da média geométrica é igual ao produto das médias harmônicas e aritmética, parém essa relação vale tb para 3 ou mais números ? 2) faz sentido média ponderada com alguns pesos negativos ? desde já obrigado.
[obm-l] Um pedido . . .
Olá pessoal, alguém poderia enviar a solução do problema abaixo? Agradeço a ajuda. Fernando Uma escada está apoiada em uma parede, mede 2,50 m de comprimento e tem nove degraus. O primeiro degrau mede 0,84 m e dista 0,69 m do quarto degrau, que mede 18 cm a menos que o primeiro. Então, o penúltimo degrau mede: a) 39 cm b) 45 cm c) 52 cm d) 63 cm
Re: [obm-l] IME-64/65
Ola' Arkon, podemos escolher C(5,3) algarismos pares e C(5,3) algarismos impares. Alem disso, eles podem ser permutados ( 6! ). Precisaremos entao descontar os numeros formados com o ZERO na posicao mais significativa, ou seja, C(4,2) algarismos pares e C(5,3) algarismos impares, podendo permutar todos os 5 algarismos apos o zero ( 5!). Assim temos, (5*4*3) / (3*2*1) * (5*4*3) / (3*2*1) * 6! = 72000 E o desconto vale (4*3) / (2*1) * (5*4*3) / (3*2*1) * 5! = 7200 Logo, o total vale 72000 - 7200 = 64800 []'s Rogerio Ponce Em 01/04/08, [EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] escreveu: Pessoal alguém conseguiu resolver essa questão que enviei ano passado Será que e tão sinistra assim?? (IME-64/65) Com os algarismos significativos quantos números constituídos de 3 algarismos ímpares e 3 pares, sem repetição, podem ser formados? Desde já agradeço = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Dúvidas - Transformações Lineares
Estou com umas dúvidas numas questões do Apostol pra demonstrar que são transformações lineares e dar o posto e nulidade. Os exercìcios sâo do vol.1, pag 582. 25) Seja V um espaço linear de todas as funções diferenciáveis no intervalo aberto (-1,1). Se f pertence a V, g=T(f) significa que g(x)=x.f '(x), para todo x em (-1,1). 26) Seja V o espaço linear de todas as funções reais contínuas no intervalo fechado de a a pra b. Se f pertence a V, g=T(f) significa que: g(x) = (integral de a até b de) f(t)sen(x-t)dt. Com: a=x=b. Na resposta ambos são transformações lineares. Acho que não deve ser muito complicado não... Obrigado. Abraços, Claudio Gustavo. - Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
[obm-l] Modelos matemáticos para auxiliar no combate à dengue
Olá para todos, peço ajuda aos amigos, e qualquer idéia é muito bem vinda. Criar um modelo, que, dado a posição da casa e do trabalho das pessoas contaminadas com dengue, tenta prever os possíveis focos do mosquito. Deste modo, auxiliando o combate contra esta praga que hoje está presente aqui no Rio de Janeiro. Pensei em uma modelo probabilístico, no qual serão geradas funções de probabilidade do foco do mosquito para cada pessoa, e será analisada a combinação linear destas funções, com pesos diferenciados para as pessoas. Por exemplo, uma pessoa que só fica em casa, deve ter um peso maior para a posição de sua casa, já uma pessoa que fica o dia todo em trânsito, deve ter um peso bem reduzido em tudo, já que pode ter contaminado a doença em qualquer local. Estou tentando descobrir sobre o raio de ação do mosquito, horários que ele está mais ativo (encontrei que é pelo período da manhã, mas informação de internet nem sempre é correta.. estou tentando descobrir de alguns centros de estudo), e quaisquer outras informações que possam ajudar no modelo. Com um pouco mais de matemática, vamos tentar simplificar o problema original. Suponhamos que uma mosquito consiga sobrevoar uma circunferência de raio R, e que exista apenas um mosquito. Temos um conjunto de duplas (c[k], t[k]), pertencentes ao C^2, que correspondem as posições no plano de onde moram e trabalham pessoas picadas por este mosquito. Suponhamos também, que cada pessoa fica a[k] por cento do tempo em casa, b[k] por cento do tempo no trabalho e c[k] por cento do tempo em outros locais. Crie um modelo que encontre, com certa probabilidade, o centro da circunferência de alcance do mosquito. agradeço desde já, abraços, Salhab
Re: [obm-l] Inequação 3º grau - Não tá saindo!
Olá MauZ, quem é a? tem alguma restrição? abraços, Salhab On Sun, Mar 30, 2008 at 10:51 PM, MauZ [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal! Abs é MODULO abs(x^2-a)+abs(1-3x) = 2+abs(3/x+1) Obrigado!
Re: [obm-l] Méidas
Olá, veja que: Ma.Mh = (x1+...+x_n)/(1/x_1 + ... + 1/x_n) multiplicando por x1*...*x_n, temos: Ma.Mh = Mg^n * (x_1 + ... + x_n) / (y_1 + ... + y_n), onde y_k = x_1*x_2*...*x_(k-1)*x_(k+1)*...*x_n veja que para n=2, temos y_k = x_(2-k), logo: y_1+y_2 = x_1+x_2, e temos: Ma.Mh = Mg^2. Assim, esta propriedade só vale para 2 termos mesmo! abraços, Salhab 2008/4/1 Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]: Não há uma generalização interessante. O produto é Ma Mh = (x_1+x_n)/(1/x_1+1/x_n). Acho que não dá uma expressão bonita não. A fórmula faz sentido desde que a soma dos pesos não seja nula. Mas não vejo como explicar o que ela significa Artur -Mensagem original- *De:* [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de *Gustavo Duarte *Enviada em:* sábado, 29 de março de 2008 15:42 *Para:* Olimpíada *Assunto:* [obm-l] Méidas 1)Em méidas é fácil mostrar que para *2* valores positivos ,o quadrado da média geométrica é igual ao produto das médias harmônicas e aritmética, parém essa relação vale tb para *3 ou mais números* ? 2) faz sentido média ponderada com alguns pesos negativos ? desde já obrigado.
[obm-l] Resolução . . .
Olá pessoal, parece que as alternativas abaixo não conferem, não é mesmo? Alguém poderia enviar a solução? Agradeço a atenção. Fernando Uma escada está apoiada em uma parede, mede 2,50 m de comprimento e tem nove degraus. O primeiro degrau mede 0,84 m e dista 0,69 m do quarto degrau, que mede 18 cm a menos que o primeiro. Então, o penúltimo degrau mede: a) 39 cm b) 45 cm c) 52 cm d) 63 cm
