[obm-l] Geometria plana- tri ângulo retângulo
No triângulo retângulo ABC, sendo med(B)=50º, o ângulo formado pela altura e pela mediana traçadas a partir do vértice do ângulo reto A mede quanto?
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Limite de série
2010/11/16 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com Sauda,c~oes, oi Lucas, Entendido. Aguardo os comentários do seu professor. Eu falei com ele e parece que encontrar a soma da série pode envolver conhecimentos de análise funcional (se não me engano) que estão acima da alçada de um estudante de cálculo C. Então (acho) não poderei dar mais detalhes sobre a solução, infelizmente. =/ (isso sugere que essa série não devia estar na lista de exercícios...) -- []'s Lucas
[obm-l] Re: [obm-l] RES: Sequência
Olá :) Tem um resultado de onde sai com facilidade essa propriedade da média de Cesáro , a seguinte( cuja demonstração não é complicada ) (Stolz-Cesàro) Seja (y_n) uma sequência crescente e ilimitada ( logo lim y_n= infinito) (Vou denotar D x(n)= x(n+1) -x(n)) Se vale lim (D x(n) ) / ( D y(n)) =L então vale lim x(n)/y(n) = L Demonstração, para n grande vale (nn_0) L-eD x_n /Dy_n L+e com D y(n) 0 pois y(n) é crescente e y(n)0 pois y(n) tende infinito logo podemos multiplicar por D y(n) (L-e)Dy_n D x_n (L+e) Dy_n somamos de n_0+1 até n de cada lado ( as somas são telescópicas), de onde segue (L-e)(y(n+1)- y(n_0+1 )) x_(n+1) -x(n_0+1) (L+e) (y(n+1) - y(n_0 +1)) podemos dividir por y(n+1)0 (L-e)(1- y(n_0+1 )/y(n+1)) +x(n_0+1) /y(n+1) x_(n+1)/y(n+1) (L+e) (1- y(n_0 +1)/y(n+1)) +x(n_0+1) /y(n+1) para n grande ( como lim yn = infinito ) segue dessa desigualdade que (L-e) x_(n+1)/y(n+1) (L+e) logo lim x(n)/ y(n) =L . Agora como corolário Olá :) Tem um resultado de onde sai com facilidade essa propriedade da média de Cesáro , a seguinte( cuja demonstração não é complicada ) (Stolz-Cesàro) Seja (y_n) uma sequência crescente e ilimitada ( logo lim y_n= infinito) (Vou denotar D x(n)= x(n+1) -x(n)) Se vale lim (D x(n) ) / ( D y(n)) =L então vale lim x(n)/y(n) = L Demonstração, para n grande vale (nn_0) L-eD x_n /Dy_n L+e com D y(n) 0 pois y(n) é crescente e y(n)0 pois y(n) tende infinito logo podemos multiplicar por D y(n) (L-e)Dy_n D x_n (L+e) Dy_n somamos de n_0+1 até n de cada lado ( as somas são telescópicas), de onde segue (L-e)(y(n+1)- y(n_0+1 )) x_(n+1) -x(n_0+1) (L+e) (y(n+1) - y(n_0 +1)) podemos dividir por y(n+1)0 (L-e)(1- y(n_0+1 )/y(n+1)) +x(n_0+1) /y(n+1) x_(n+1)/y(n+1) (L+e) (1- y(n_0 +1)/y(n+1)) +x(n_0+1) /y(n+1) para n grande ( como lim yn = infinito ) segue dessa desigualdade que (L-e) x_(n+1)/y(n+1) (L+e) logo lim x(n)/ y(n) =L . Agora como corolário (média de cesàro) Se lim x_n= a então lim ( x_1 ++x_n)/ n= a tomando s_n= x_1 ++x_n e b_n=n tem-se Ds_n= x(n+1) e D b_n=1 logo pela hipótese lim D s_n /D b_n = lim x(n+1) =a como, b_n=n é crescente e ilimitada então vale Stolz-Cesáro logo lim s_n/ n= lim ( x_1 ++x_n)/ n =a . Esse resultado de Stolz-Cesàro, pode ser visto como análogo a regra de L hospital para sequências . O operador D ( que normalmente se escreve como um Delta ), pode ser pensado como o análogo de derivada para sequências ( tem varias analogias entre esses operadores) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RES: Sequência
Fiz um pequena besteira no email anterior =/ ( colei de novo a mesma mensagem, pois tinha tirado a formatação ), então estou enviando de novo com alguns comentários adicionais Olá :) Tem um resultado de onde sai com facilidade essa propriedade da média de Cesáro , a seguinte( cuja demonstração não é complicada ) (Stolz-Cesàro) Seja (y_n) uma sequência crescente e ilimitada ( logo lim y_n= infinito) (Vou denotar D x(n)= x(n+1) -x(n)) Se vale lim (D x(n) ) / ( D y(n)) =L então vale lim x(n)/y(n) = L Demonstração, para n grande vale (nn_0) L-eD x_n /Dy_n L+e com D y(n) 0 pois y(n) é crescente e y(n)0 pois y(n) tende infinito logo podemos multiplicar por D y(n) (L-e)Dy_n D x_n (L+e) Dy_n somamos de n_0+1 até n de cada lado ( as somas são telescópicas), de onde segue (L-e)(y(n+1)- y(n_0+1 )) x_(n+1) -x(n_0+1) (L+e) (y(n+1) - y(n_0 +1)) podemos dividir por y(n+1)0 (L-e)(1- y(n_0+1 )/y(n+1)) +x(n_0+1) /y(n+1) x_(n+1)/y(n+1) (L+e) (1- y(n_0 +1)/y(n+1)) +x(n_0+1) /y(n+1) para n grande ( como lim yn = infinito ) segue dessa desigualdade que (L-e) x_(n+1)/y(n+1) (L+e) logo lim x(n)/ y(n) =L . Agora como corolário (média de cesàro) Se lim x_n= a então lim ( x_1 ++x_n)/ n= a tomando s_n= x_1 ++x_n e b_n=n tem-se Ds_n= x(n+1) e D b_n=1 logo pela hipótese lim D s_n /D b_n = lim x(n+1) =a como, b_n=n é crescente e ilimitada então vale Stolz-Cesáro logo lim s_n/ n= lim ( x_1 ++x_n)/ n =a . Esse resultado de Stolz-Cesàro, pode ser visto como análogo a regra de L hospital para sequências . O operador D ( que normalmente se escreve como um Delta ), pode ser pensado como o análogo de derivada para sequências ( tem varias analogias entre esses operadores. Ah, esse resultado tem no livro do elon de análise, como exercício . Pra limite infinito também vale a mesma propriedade (Stolz-Cesáro para limite infinito) Se b_n é crescente e ilimitada e vale lim D a_n /Db_n = infinito então lim a_n /b_n = infinito demonstração no mesmo esquema para nn_0 vale e qualquer A0 vale D a_n /Db_n A daí podemos multiplicar por D b_n pois Db_n0 ( b_n é crescente) D a_n A .D b_n somamos de n_0+1 até n com o indice variando e usando a propriedade telescópica a(n+1)-a(n_0 +1) A (b(n+1) - b(n_0+1)) a(n+1) A (b(n+1) - b(n_0+1)) +a(n_0 +1) dividimos por b_(n+1)0 a(n+1) /b(n+1) A (1 - b(n_0+1) /b(n+1)) +a(n_0 +1)/b(n+1) como lim b(n+1) = infinito, para n grande vale a(n+1) /b(n+1) A logo lim a(n) /b(n)= infinito daí de novo o resultado que gerou esse email sai como corolário . Se lim a_n= infinito então lim (a1 +...+an) /n= infinito tomamos s_n=a1+...+an, vale D s_n= a(n+1) e b_n=n, b_n é crescente e ilimitada e vale lim D s_n / D b_n = lim a(n+1) /1= infinito logo lim s_n /n = lim (a1 +...+an) /n = infinito abraço = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Números binomiais: i gualdade
Poderia algum colega provar a propriedade seguinte? Sendo p diferente de q, se os números binomiais n sobre p e n sobre q são iguais, então p + q = n. Desde já, muito obrigado. Pedro Chaves
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm -l] Limite de série
Sauda,c~oes, oi Lucas, Gostaria de voltar ao assunto. Não me importarei se não entender a solução. Mas realmente gostaria de vê-la. Ou se não for possível (será mesmo que podemos calcular a soma da série??) gostaria de ter pelo menos a resposta. Se vc preferir, favor pedir pro seu professor me escrever diretamente. []'s Luís From: luca...@dcc.ufba.br Date: Thu, 18 Nov 2010 06:34:24 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Limite de série To: obm-l@mat.puc-rio.br 2010/11/16 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com Sauda,c~oes, oi Lucas, Entendido. Aguardo os comentários do seu professor. Eu falei com ele e parece que encontrar a soma da série pode envolver conhecimentos de análise funcional (se não me engano) que estão acima da alçada de um estudante de cálculo C. Então (acho) não poderei dar mais detalhes sobre a solução, infelizmente. =/ (isso sugere que essa série não devia estar na lista de exercícios...) -- []'s Lucas
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Limite de série
2010/11/18 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com Sauda,c~oes, oi Lucas, Gostaria de voltar ao assunto. Não me importarei se não entender a solução. Mas realmente gostaria de vê-la. Ou se não for possível (será mesmo que podemos calcular a soma da série??) gostaria de ter pelo menos a resposta. Se vc preferir, favor pedir pro seu professor me escrever diretamente. Ele me deu a entender que não conhecia a resolução. =/ -- []'s Lucas
[obm-l] Re: [obm-l] mdc(bbb...b, bbb...b) é bbb...b
Olá Paulo, Considere genericamente uma base q. Se X = bbb...b e Y = bbb...bbb nessa base, então X = b*(1 + q + ... + q^(a*d-1)) e Y = b*(1 + q + ... + q^(m*d-1)), onde n = a*d, k = m*d e o d = mdc(n,k). Note também que X = b*[(q^d - 1)/(q - 1)]*[(Q^a - 1)/(Q - 1)] e Y = b*[(q^d - 1)/(q - 1)]*[(Q^m - 1)/(Q - 1)], onde Q = q^d. Isso mostra que v = b*[(q^d - 1)/(q - 1)] = b*(1 + q + ... + q^(d-1)) é divisor comum de X e Y. Resta mostrar que é máximo. Para tanto, basta verificar que se p é primo e divide W = [(Q^a - 1)/(Q - 1)] e Z = [(Q^m - 1)/(Q - 1)], então p divide 1, absurdo, donde p não existe e mdc (Z,W) = 1. Em outras palavras, v será o mdc de X e Y. Suponhamos, sem perda de generalidade, que W Z, ou seja, a m. p | Z = 1 + Q + ... + Q^(a-1) p | W = 1 + Q + ... + Q^(m-1) Logo, p | (Z - W) = Q^m*(1 + Q + ... + Q^(a - m - 1)). É fácil ver que p não pode dividir Q, do contrário, de p | Z teríamos que p | 1. Assim, p | (1 + Q + ... + Q^(a - m - 1)). Existe um natural s mínimo tal que m a - s*m 0. Ao repetir o processo acima trocando a por a - m, e depois por a - 2*m, e assim por diante, obteremos indutivamente, para vários r, que p | 1 + Q + ... + Q^(a - (r+1)*m - 1). Esse processo não pode ser aplicado indefinidamente! Só vale até chegarmos a s-1, gerando implicações sobre s. Em particular, p | 1 + Q + ... + Q^(a - s*m - 1), com c_0 = m a - s*m = c_1 0. Repetindo o processo, agora trocando c_0 por c_1, e assim sucessivamente, obteremos uma seqüência decrescente de naturais c_t tais que p | 1 + Q + ... + Q^(c_t - 1). Ora, por sua natureza decrescente, inteira e positiva, em algum momento o processo termina, com c_t = 1. Isso implica que não teremos saída, e necessariamente p | 1, absurdo. Isso demonstra que v = b*[(q^d - 1)/(q - 1)] = b*(1 + q + ... + q^(d-1)) é o mdc de X e Y. Abraços, Daniel Em 16 de novembro de 2010 22:06, Paulo Argolo pauloarg...@bol.com.brescreveu: Caros Colegas, Como podemos provar o teorema abaixo: O máximo divisor comum dos números naturais bbb...b (n dígitos iguais a b) e bbb...n (k dígitos iguais a b) é bbb...b (d dígitos iguais a b), d é o máximo divisor comum de n e k. Abraços! Paulo = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
