[obm-l] Inequação com resto
Olá, recentemente encontrei a seguinte conjectura (que ele diz parecer evidente para ele, mas que eu não consigo provar pra mim mesmo) num trabalho acadêmico de um colega: Seja a, b naturais diferentes de 0, com a = b. Seja b%a o resto de b na divisão por 'a'. Então 2*(b%a) = b Alguém poderia provar (ou dar contra-exemplo)? Eu tentei fazer uma busca por pelos 'a' e 'b' primos entre si (usando sequências de Farey), mas não consegui encontrar um contraxemplo com b = 1. -- []'s Lucas
[obm-l] Re: [obm-l] Inequação com resto
Dado b=a, escreva b=ma+r onde m eh inteiro positivo e 0=ra. Como m=1 (pois b=a), temos b=ma+r=a+rr+r=2r. Ou seja, 2rb. Abraco, Ralph 2010/12/14 Lucas Prado Melo luca...@dcc.ufba.br Olá, recentemente encontrei a seguinte conjectura (que ele diz parecer evidente para ele, mas que eu não consigo provar pra mim mesmo) num trabalho acadêmico de um colega: Seja a, b naturais diferentes de 0, com a = b. Seja b%a o resto de b na divisão por 'a'. Então 2*(b%a) = b Alguém poderia provar (ou dar contra-exemplo)? Eu tentei fazer uma busca por pelos 'a' e 'b' primos entre si (usando sequências de Farey), mas não consegui encontrar um contraxemplo com b = 1. -- []'s Lucas
[obm-l] Re: [obm-l] Inequação com resto
Caso 2a b, a divisão b/a dá 1, com resto igual a b-a, que é menor que b/2. Caso 2a=b, o resto é zero. Caso 2ab, já que o resto deve ser menor que a, temos (b%a) a b/2 acho que é isso. abraço = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Inequação com resto
2010/12/14 Lucas Prado Melo luca...@dcc.ufba.br: Olá, Oi, recentemente encontrei a seguinte conjectura (que ele diz parecer evidente para ele, mas que eu não consigo provar pra mim mesmo) num trabalho acadêmico de um colega: Seja a, b naturais diferentes de 0, com a = b. Seja b%a o resto de b na divisão por 'a'. Então 2*(b%a) = b Alguém poderia provar (ou dar contra-exemplo)? Eu tentei fazer uma busca por pelos 'a' e 'b' primos entre si (usando sequências de Farey), mas não consegui encontrar um contraxemplo com b = 1. Já é uma boa iniciativa (não sei porque Farey ajuda, mas você deve saber...) e não achar nada até 1 deveria ser um sinal bom para começar a procurar uma demonstração :) Escreva b = q*a + r (a divisão euclidiana de b por a, quociente q, resto r). A gente quer mostrar que 2*r = b. O que a gente sabe : 0 = r a 0 = a = b, logo q = 1 Então r = b - q*a, 2*r = r + b - q*a = b + (r - q*a). Como q = 1, q*a = a r, logo o termo entre parênteses é negativo (estritamente) e assim 2r = b + Negativo b. Veja que a idéia de provar isso foi a seguinte: fixe o a, e faça variar o b. Se b for muito perto do a, o resto r vai ser pequeno, e daí não funciona. Se b for muito maior, o resto r vai ser pequeno porque menor do que a. No meio do caminho, você tem b = 2a - 1, que deixa resto (a-1), mas, nem assim, dá certo, já que 2(a-1) 2a - 1 = b. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Indução?
Prove que,se x + 1/x = 2cosa,então x^n +( 1/x^n) =2cos(na). Dá para provar mostrando que o segundo membro vale para x = 2 e (já que vale para n = 1),se vale para um certo k = 2 e para k - 1,então vale para k + 1 ?.E,no caso,usando:cos((n+1)x) = 2cos(x)cos(nx) - cos((n-1)x)? Desde já,agradeço.
[obm-l] RE: [obm-l] Indução?
Corrigindo: a igualdade vale para n = 2,e não x = 2. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Indução? Date: Wed, 15 Dec 2010 01:26:24 + Prove que,se x + 1/x = 2cosa,então x^n +( 1/x^n) =2cos(na). Dá para provar mostrando que o segundo membro vale para x = 2 e (já que vale para n = 1),se vale para um certo k = 2 e para k - 1,então vale para k + 1 ?.E,no caso,usando:cos((n+1)x) = 2cos(x)cos(nx) - cos((n-1)x)? Desde já,agradeço.
