[obm-l] Equação de variáveis inteiras
Questões 02 e 03 da 2ª Parte da XXIV OCM - 2011 Nível 03, que ocorreu neste último sábado dia 28 de Maio: *02.* Um triângulo ABC é tal que o ângulo A=2C e AC = 2BC.. Mostre que este triângulo é retângulo. Usei a lei dos senos e lei dos cossenos mas não consegui concluir, favor quem tiver alguma ideia, contribuir... *03.* Determine todos os pares de inteiros não negativos que são soluções da equação (xy - 7)^2 = x^2 + y^2. Sem nenhuma estratégia descobrir que os pares (3,4); (4,3); (0,7); (7,0) satisfazem tal equação. Tentei enxergar o teo. de Pitágoras, fazendo x e y como catetos e xy - 7 como hipotenusa. Há alguma resolução algébrica, alguma substituição que torne a equação com uma só incórnita? Desde já aradeço. -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB
[obm-l] Re: [obm-l] Equação de variáveis inteiras
2) Com este enunciado, não há triângulo nestas condições... Tracei a bissetriz interna AX do ângulo A, fiz CX=x. Note que AXC é isósceles, então AC=2xcosC, então BC=xcosCx=XC. Em outras palavras, a bissetriz interna AX corta o lado BC *fora* de BC, absurdo. Não seria ângulo C=2A? Aí seria um triângulo 30-60-90 bonitinho... 3) Bom, se x=0 então y=7, e vice-versa. Se x=1, note que y não dá inteiro, e vice-versa. Vamos então supor logo que x,y=2 no resto do problema. Eu passei o x^2 pro lado de lá para fatorar: (xy-7+x)(xy-7-x)=y^2. (Agora, minha intuição me diz que, em geral, ambos xy-7+x e xy-7-x devem ser BEM maiores que y, então isto vai restringir o problema... AH-HA!) Note que xy-7-xxy-7+x (pois x=2). Assim, devemos ter xy-7-xy (caso contrário, ambos os fatores seriam maiores ou iguais a y, e então o produto seria maior que y^2). xy-7+x-y0 (x-1)(y+1)=5 Como x-1=1, devemos ter y+1=5, isto é, basta analisar y=2,3,4. Abraço, Ralph 2011/5/30 Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com Questões 02 e 03 da 2ª Parte da XXIV OCM - 2011 Nível 03, que ocorreu neste último sábado dia 28 de Maio: *02.* Um triângulo ABC é tal que o ângulo A=2C e AC = 2BC.. Mostre que este triângulo é retângulo. Usei a lei dos senos e lei dos cossenos mas não consegui concluir, favor quem tiver alguma ideia, contribuir... *03.* Determine todos os pares de inteiros não negativos que são soluções da equação (xy - 7)^2 = x^2 + y^2. Sem nenhuma estratégia descobrir que os pares (3,4); (4,3); (0,7); (7,0) satisfazem tal equação. Tentei enxergar o teo. de Pitágoras, fazendo x e y como catetos e xy - 7 como hipotenusa. Há alguma resolução algébrica, alguma substituição que torne a equação com uma só incórnita? Desde já aradeço. -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] FW: Teoria dos números
O que eu posso fazer se eu sou lento e preguiçoso no computador? Ah, deixa eu ficar ninja no dvorak... huahuahuahua! Em 27/05/11, Rogerio Ponceabrlw...@gmail.com escreveu: Pois e', Dirichlet, o Ralph tem este pessimo habito... :) []'s Rogerio Ponce Em 27 de maio de 2011 17:39, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Yeah! Ninjei de novo! :) :) :) ;) 2011/5/27 Johann Dirichlet peterdirich...@gmail.com Poxa! O Ralph destruiu minha mensagem! Mas acabei respondendo do mesmo jeito (ou nao!:)) Em 27/05/11, Johann Dirichletpeterdirich...@gmail.com escreveu: Ce já estudou congruencias? Um bom começo é pegar a Eureka! 2 na página da OBM, www.obm.org.br (ou comprar da OBM! É baratinho, uma anuidade de uns 30 reais e uns 4 contos por cada atrasado que quiser). Anyway, vou tentar deixar fácil... 1) 2^n=(x-1)(x^2+x+1) Vamos tentar calcular o MDC: d|x-1 d|x^2+x+1 x =1 (mod d) x^2+x+1=0 (mod d) primeira na segunda, d|3. Como d=3 é impossível (potencias de 2 nao tem fatores 3 :) ), d=1. Em especial, x-1=1 ou x^2+x+1=1 (ambos sao potencias de 2, e o MDC é 1, logo um deles é 1). Ou seja, x=2 ou 0. Substitui e chora! 2) 7|4n^2-3 Multiplica por 2 7|8n^2-6=n^2+1+(7n^2-7) 7|n^2+1 Por congruências, é possível provar que basta testar n de 0 a 6.Mas vou usar descenso infinito. Teste de 0 a 6 (larga a mão de ser preguiçoso!). Vai falhar (eu acho :) ). Se funcionar para algum cara maior que 6, seja F o menor dos caras para os quais funciona (se existe, existe o menor, este é o lema da boa ordem). Seja J=F-7. Então J é maior ou igual a 0. 7|(J+7)^2+1=J^2+2*7*J+7^2+1=7*(um termo chato que não interessa)+J^2+1 7|J^2+1 Mas epa! Achei um cara (J) menor que o menor(F)! E este é um absurdo, que surgiu quando eu disse que funcionava para algum cara maior que 6! Então, só faltaria testar para caras menores que 7. Você já testou, então sabe que não funciona! É isso. P.S.: otruque de multiplicar por 2 facilita a vida pacas, mas não precisava aplica-lo: a ideia do descenso infinito ainda daria conta. Em 27/05/11, marcone augusto araújo borgesmarconeborge...@hotmail.com escreveu: From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Teoria dos números Date: Fri, 27 May 2011 12:28:34 + 1) Mostrar que para nenhum número natural n ,( 2^n)+1 nunca é um cubo. Pensei:2^n=x^3-1=(x-1)(x^2+x+1).Se eu conseguisse mostrar q mdc((x-1,x^2+x+1)=1 e que x-1 e x^2+x+1 não podem ser cubos ao mesmo tempo,acredito q resolveria a questão. Tentei outras formas também ,mas não consegui. 2) Provar q não exiiste número natural n tal q 7 divide 4n^2-3. Considerei n= 7k+ 1 ou 7k-1 ou 7k+2 ou 7k-2 ou 7k+3 ou 7k-3 e verifiquei q 4n^2-3 não é múltiplo de 7. Sei q há outras formas(e talvez mais interessantes). -- /**/ 神が祝福 Torres -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
