Olá
1)2^n + 1=k³2^n = (k-1).(k²+k+1)para k>=2, k-1 e k²+k+1 > 0, e temos que ter
(k-1) e (k²+k+1) pares OU algum igual a 1 e o outro 2^nA primeira possibilidade
não é possível já que se k-1 é par, k é ímpar e k²+k+1 é ímparPara que um dos
produtos se iguale a 1, a única solução >=2 é 2, que não serve, logo isso
também não é possívelPara k = <= 1, 2^n <=0, impossívelLogo o problema não tem
soluções
2) m=(4n²-3)/7n = 7k+x, com x = 1,2,3,4,5 ou 6m = (4(7k+x)²-3)/7 = 28k² + 8 k
+ (x²-3)/7, para m inteiro (x²-3)/7 deve ser inteiroTestando vemos que nenhuma
solução serveLogo o problema não tem soluções
[]'sJoão
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Teoria dos números
Date: Fri, 27 May 2011 12:28:34 +0000
1) Mostrar que para nenhum número natural n ,( 2^n)+1 nunca é um cubo.
Pensei:2^n=x^3-1=(x-1)(x^2+x+1).Se eu conseguisse mostrar q
mdc((x-1,x^2+x+1)=1 e que x-1 e
x^2+x+1 não podem ser cubos ao mesmo tempo,acredito q resolveria a
questão.
Tentei outras formas também ,mas não consegui.
2) Provar q não exiiste número natural n tal q 7 divide 4n^2-3.
Considerei n= 7k+ 1 ou 7k-1 ou 7k+2 ou 7k-2 ou 7k+3 ou 7k-3 e
verifiquei q 4n^2-3 não é múltiplo de 7.
Sei q há outras formas(e talvez mais interessantes).
