[obm-l] Função de Euler - T. Números
Alguém sabe uma demonstração bem legal para a propriedade phi(x.y) = phi(x) . phi(y), onde essa função é a phi de Euler? -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB
[obm-l] Re: [obm-l] Função de Euler - T. Números
Aqui na página da Wikipedia tem uma boa demonstração dessa propriedade quando x e y são coprimos. http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_totient_function 2011/9/26 Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com: Alguém sabe uma demonstração bem legal para a propriedade phi(x.y) = phi(x) . phi(y), onde essa função é a phi de Euler? -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função de Euler - T. Números
2011/9/26 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com: Aqui na página da Wikipedia tem uma boa demonstração dessa propriedade quando x e y são coprimos. Aliás, quando x e y não são coprimos, não vale! phi(2) = 1, phi(4) = 2. Em geral, phi(p^n) = (p-1)p^(n-1), ou seja, phi não é completamente multiplicativa, é apenas aritmeticamente multiplicativa. Note que se f(a*b) = f(a)*f(b) para TODOS a e b inteiros (e f tem valores inteiros) restam menos possibilidades : f(1) = f(1*1) = f(1)*f(1), logo f(1) = 1 ou 0. Se for zero, f(a) = f(1*a) = f(1)*f(a) = 0, uma função pouco interessante. As outras funções dependem apenas da fatoração prima de a = produto de p_i^(e_i) (p como primo, e como expoente, i como índice), e daí f(a) = produto (f(p_i))^(e_i). Se a função é apenas aritmeticamente multiplicativa, depende do valor de f em todas as potências de primos, não apenas nos primos. http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_totient_function Tem uma referência em português também, do Nicolau do Gugu: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/mersenne.pdf (a prova está dividida em duas partes, a parte legal está no meio do Teorema Chinês dos restos). -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2011/9/26 Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com: Alguém sabe uma demonstração bem legal para a propriedade phi(x.y) = phi(x) . phi(y), onde essa função é a phi de Euler? -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função de Euler - T. Números
Bom existe uma demostraçao no livro introducao a teoria dos numeros do josé plinio dos santos. On Mon, 26 Sep 2011 16:32:00 +0200, Bernardo Freitas Paulo da Costa wrote: 2011/9/26 Henrique Rennó : Aqui na página da Wikipedia tem uma boa demonstração dessa propriedade quando x e y são coprimos. Aliás, quando x e y não são coprimos, não vale! phi(2) = 1, phi(4) = 2. Em geral, phi(p^n) = (p-1)p^(n-1), ou seja, phi não é completamente multiplicativa, é apenas aritmeticamente multiplicativa. Note que se f(a*b) = f(a)*f(b) para TODOS a e b inteiros (e f tem valores inteiros) restam menos possibilidades : f(1) = f(1*1) = f(1)*f(1), logo f(1) = 1 ou 0. Se for zero, f(a) = f(1*a) = f(1)*f(a) = 0, uma função pouco interessante. As outras funções dependem apenas da fatoração prima de a = produto de p_i^(e_i) (p como primo, e como expoente, i como índice), e daí f(a) = produto (f(p_i))^(e_i). Se a função é apenas aritmeticamente multiplicativa, depende do valor de f em todas as potências de primos, não apenas nos primos. http://en.wikipedia.org/wiki/Euler [1]'s_totient_function Tem uma referência em português também, do Nicolau do Gugu: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/mersenne.pdf [3](a prova está dividida em duas partes, a parte legal está no meio do Teorema Chinês dos restos). -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2011/9/26 Pedro Juac ype=cite style=padding-left:5px; border-left:#1010ff 2px solid; margin-left:5px; width:100%Alguém sabe uma demonstração bem legal para a propriedade phi(x.y) = phi(x) . phi(y), onde essa função é a phi de Euler? -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior = Instruções para entra air da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html [4] = Links: -- [1] http://en.wikipedia.org/wiki/Euler [2] mailto:henrique.re...@gmail.com [3] http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/mersenne.pdf [4] http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
[obm-l] Re: [obm-l] Questão de probabilidade(dúvida sobre gabarito)
Ola' Marcone e colegas da lista, uma vez posicionada a 1a pessoa numa cadeira qualquer, as outras 3 pessoas do mesmo sexo tem apenas 3 cadeiras para se sentar, de um total de 7 cadeiras. Assim, o numero de arrumacoes favoraveis vale 3! (sao as outras 3 pessoas dispostas nas 3 cadeiras favoraveis). E o numero de arrumacoes possiveis vale 7*6*5 (7 escolhas para a primeira pessoa, 6 para a segunda e 5 para a terceira). Logo a probabilidade vale 1/35 (letra A). []'s Rogerio Ponce Em 25 de setembro de 2011 02:14, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Um grupo de pessoas,composto por 4 homens e 4 mulheres,compra 8 cadeiras consecutivas na mesma fila de um teatro.Se eles se sentarem aleatóriamente,nessas cadeiras,a probabilidade de que homens e mulheres se sentem em cadeiras alternadas é aproximadamente: a) 2,86% b) 5,71% c) 1,43%d) 11,42% O primeiro homem pode sentar em 8 lugares.O segundo pode sentar em 6 lugares.O terceiro,em 4 lugares e o quarto,em 2 lugares.Como sobram 4 lugares,é só permutar as 4 mulheres.Então o número de possibilidades de que homens e mulheres sentem em cadeiras alternadas é 8x6x4x2x4x3x2x1.Dividindo esse número por 8!(que é o total de possibilidades) temos 5/35 = 0,2285. O que me intriga é que esse resultado é o dobro dos 11,42% do item d Alguem poderia esclarecer?
[obm-l] Texto Inacabo: Permutação Circular com Repetição
Oi pessoal, Procurando alguma fórmula para permutação circular com repetição, encontrei a bela exposição do Paulo Santa Rita no link abaixo http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.24/msg00050.html O texto, porém, ficou pela metade. Alguém tem o link do texto completo? Grato, Jorge Paulino da Silva Filho
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de probabilidade(dúvida sobre gabarito)
Mais uma idéia bem interessante. Date: Mon, 26 Sep 2011 14:25:40 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de probabilidade(dúvida sobre gabarito) From: abrlw...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola' Marcone e colegas da lista, uma vez posicionada a 1a pessoa numa cadeira qualquer, as outras 3 pessoas do mesmo sexo tem apenas 3 cadeiras para se sentar, de um total de 7 cadeiras. Assim, o numero de arrumacoes favoraveis vale 3! (sao as outras 3 pessoas dispostas nas 3 cadeiras favoraveis). E o numero de arrumacoes possiveis vale 7*6*5 (7 escolhas para a primeira pessoa, 6 para a segunda e 5 para a terceira). Logo a probabilidade vale 1/35 (letra A). []'s Rogerio Ponce Em 25 de setembro de 2011 02:14, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Um grupo de pessoas,composto por 4 homens e 4 mulheres,compra 8 cadeiras consecutivas na mesma fila de um teatro.Se eles se sentarem aleatóriamente,nessas cadeiras,a probabilidade de que homens e mulheres se sentem em cadeiras alternadas é aproximadamente: a) 2,86% b) 5,71% c) 1,43%d) 11,42% O primeiro homem pode sentar em 8 lugares.O segundo pode sentar em 6 lugares.O terceiro,em 4 lugares e o quarto,em 2 lugares.Como sobram 4 lugares,é só permutar as 4 mulheres.Então o número de possibilidades de que homens e mulheres sentem em cadeiras alternadas é 8x6x4x2x4x3x2x1.Dividindo esse número por 8!(que é o total de possibilidades) temos 5/35 = 0,2285. O que me intriga é que esse resultado é o dobro dos 11,42% do item d Alguem poderia esclarecer?
