*Aproveitando o momento probabilistico vejamos tem este problema que estive
pensando e nao consegui:
Voce esta em um programa de auditorio. O apresentador tem dois envelope cada
um com um numero dentro (numeros diferentes).
Voce escolhe um envelope, abre e ve o numero 173.
Ele te pergunta:voce gostaria de trocar o seu envelope por este outro ou
nao?
Ao final se o envelope que voce esolher tiver o maior numero voce ganha
R$1.000.000.000,00 !!!
E ai voce quer trocar ou nao?
Em outras palavras, existe uma estrategia que ele possa adotar para este
jogo que te de uma probabilidade estritamente
maior que 1/2 de vencer?
*
Eu vi certa vez a solução para esse problema e demorei um pouco pra aceitar.
Coisas que vou assumir:
*O programa escolheu dois números aleatórios, regidos por uma distribuição
que eu não conheço, mas que nunca gera 2 números iguais. (ou eu poderia
assumir que se os números forem iguais ganha o jogador)
*Os números já foram determinados e escritos nos envelopes antes de eu
escolher (ou seja não existe essa história de distribuição regida a
questões de meta-jogo, conforme dito pelo Lucas )
*Eu vou escolher um dos envelopes uniformemente, ou seja eu tenho 1/2 de
chance de receber o maior número na minha mão e 1/2 de receber o menor.
* Vou calcular a minha probabilidade antes de abrir o envelope, ou seja, vou
definir minha estratégia, escolher meu envelope e seguir minha estratégia.
Isso é importante porque parece que o enunciado pede pra vc escolher a
estratégia depois de ter o número, o que eu não farei.
Agora eu vou escolher uma função que seja uma função de probabilidade
acumulada estritamente cresente (nada a ver com a função com que foram
escolhidos os números do jogo, que eu não tenho a menor ideia). Ou seja eu
vou entrar no auditório munido de uma função f tal que:
* f seja estritamente crescente, ou seja xy == f(x) f(y) *[f ser função
de probabilidade acumulada já significa que ela é crescente, mas eu quero
que seja estritamente]*
* f(-infinito) = 0
* f(+infinito) = 1
Por exemplo, f =
(e^x)/2, se x=0
1- (e^-x)/2, se x0
Agora à estratégia: Após receber meu número x, eu fico com o envelope com
probabilidade f(x) e troco com probabilidade 1 - f(x).
Prova de que a estratégia funciona:
Sejam x y os números nos envelopes (que já foram determinados antes de eu
escolher meu envelope). A minha chance de ganhar seguindo esse estratégia
será:
P(receber x)*P(decidir ficar) + P(receber y)*P(decidir trocar) = 1/2 * f(x)
+ 1/2 * (1 - f(y)) = 1/2 +(f(x) - f(y))/2, e como f é estritamente crescente
e xy, temos que f(x) - f(y) 0 e portanto a minha probabilidade de ganhar é
superior a 1/2!
Considerações:
Essa estratégia tem chance superior a 50% antes de eu escolher meu envelope.
Após eu receber meu número, a minha chance muda para algo que eu não sei.
A minha função pode ser qualquer coisa (dentro do estipulado), e todas elas
funcionarão independente de como foram escolhidos os números. Obviamente
dependendo de qual foi a distribuição escolhida pelo jogo, eu terei f boas e
ruins (que darão probabilidades grandes ou bem próximas de 50%). Por exemplo
se eu sei que os números são inteiros, eu vou querer uma função que só muda
nos inteiros, e permanece constante em [n,n+1). Ou se eu sei que o jogo
sempre escolhe números entre 0 e 1, eu farei uma f tal que f(1) = 1
e f(0) = 0. A função que usei como exemplo só seria boa se os números
estivessem próximos de 0, visto que ela se aproxima dos estremos muito
rapidamente.
Obviamente eu só vou querer usar essa estratégia se eu não sei como foram
escolhidos os números.
Sim, parece mágica, e não, eu não estudei em Hogwarts :)
