2011/11/16 Luan Gabriel luan_gabrie...@hotmail.com:
Galera:
Determine todas as funções F: R - R tais que,para todo x real,
f(x^2+f(y)) = y + f(x)^2 .
Bom, dá um trabalhinho...
Faça x = 0. f(f(y)) = y + f(0)^2.
Assim, f(y) = f(z) = f(f(y)) = f(f(z)) = y + f(0)^2 = z + f(0)^2 =
y = z. Logo f é injetiva.
Além disso, como y + f(0)^2 percorre R quando y percorre R, f é
sobrejetiva. Logo f é bijetiva. Seja g a inversa de f (vamos precisar
dela).
Note que a fórmula do enunciado pode ser escrita com y = g(z) da seguinte forma:
f(x^2 + z) = g(z) + f(x)^2.
Note também que dada a forma da função, temos f(x^2) = g(0) + f(x)^2 =
g(0) + f(-x)^2, ou seja, f(x)^2 = f(-x)^2. Para x != 0, x != -x, logo
f(x) != f(-x) porque f é injetiva. Assim, f(-x) = -f(x) para x != 0.
Agora, calcule f(f(x^2 + f(y))) de duas formas diferentes.
A primeira é usando f(f(y)) = y + f(0)^2, que dá f(f( x^2 + f(y) )) =
x^2 + f(y) + f(0)^2.
A segunda é usando primeiro a igualdade do enunciado, que dá
f( f(x^2 + f(y)) ) = f( y + f(x)^2 ) = f( f(x)^2 + y ) = g(y) +
f(f(x))^2 = g(y) + (x + f(0)^2)^2.
Igualando as duas expressões, temos
x^2 + f(y) + f(0)^2 = g(y) + x^2 + 2*x*f(0)^2 + f(0)^4, ou seja
f(y) + f(0)^2 = g(y) + f(0)^4 + 2*x*f(0)^2.
Note que a igualdade acima vale para todos os x, o que implica que o
coeficiente de x é zero. Ou seja, f(0) = 0. Isso dá uma limpeza
geral na equação, que fica
f(y) = g(y). f é a sua própria inversa!
Agora falta pouco. f(x^2+f(0)) = 0 + f(x)^2, então f(x^2) = f(x)^2 =
0. Suponha que f(x) != x para algum x 0. Assim, x = z^2 e f(z^2) !=
z^2. Podemos assim calcular
0 != f(z^2 - f(z^2)) = f(z^2 + f(-z^2)) = -z^2 + f(z)^2 = -z^2 + f(z^2).
Chame z^2 - f(z^2) = t, temos portanto que f(t) = -t. Isso é absurdo,
porque f envia positivos em positivos pela primeira desigualdade desse
parágrafo, e por ser ímpar, negativos em negativos.
Ufa: f(x) = x para todo x 0. Como f(-x) = -f(x), e que f(0) = 0
temos f(x) = x. Não deixe de conferir os argumentos, esse tipo de
questão é fácil de errar uma continha besta e tudo vai pro espaço.
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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