Re: [obm-l] Ajuda em geometria
Em 18 de outubro de 2012 10:07, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Muito legal a solução,como também uma enviada por terence(para mim, foram como um gol antológico feito por Neymar,ontem). Para terence,mandei algumas mensagens que não apareceram,agradecendo inclusive por dus soluções bem interessantes em questões de geometria. Meus agradecimentos. É, ei acho que não recebi. Mas essa do Ralph foi matadora! Eu pensei em usar uma Desigualdade das Médias de início, por pensar em somas e produtos iguais. Mas, como não tinha muito futuro, resolvi usar aquela substituição. Bem, minha ideia original era calcular as alturas na raça - mas desisti por pouco :) Date: Wed, 17 Oct 2012 14:55:37 -0300 Subject: Re: [obm-l] Ajuda em geometria From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Note que, dadas a soma A e o produto B de dois números, eles ficam determinados a menos de ordem -- afinal, eles são as raízes da quadrática x^2-Ax+B=0. Então, neste caso, seja A=a+ha=b+hb=c+hc e B=aha=bhb=chc=2S. Então a e ha são as raízes de x^2-Ax+B=0, assim como b e hb, e c e hc. Em suma, a, b, c, assumem apenas (no máximo) dois valores (repetidos 3 vezes cada) -- o triângulo já tem que ser isósceles! Usemos, sem perder generalidade, que a=b. Agora, suponha por contradição que o triângulo não é equilátero. Então a=b=hc. Mas isto é absurdo -- a e b são lados saindo de C, ao menos um deles tem que ser estritamente maior que hc, que é a MENOR distância de C até AB. Abraço, Ralph On Wed, Oct 17, 2012 at 8:52 AM, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com wrote: Seja um triangulo ABC, a,b,c as medidas do lados BC,AC e AB,respectivamente e ha, hb e hc as alturas do triangulo. Se a + ha = b + hb = c + hc,prove que ABC é equilatero. -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] raíz cúbica
Alquém pode me ajudar sobre como simplificar a expressão raíz cúbica de
{10 + 6raiz quadrada de{3}}?
A resposta dá 1 + raiz quadrada de 3, mas não sei como chegar a esse
resultado.
Obrigado
Re: [obm-l] raíz cúbica
Eu fiz assim: primeiro observei (fazendo as contas de trás pra frente) que
r aíz cúbica de {10 + 6raiz quadrada de{3}} é uma solução da equação
a^6-20a^3-8=0
Depois fatorei o primeiro membro e obtive
a^6-20a^3-8=(a^2-2a-2)(a^4+2a^3-4a+4)
No produto acima, vi que a segunda parcela em sempre positiva, pois araiz(2):
De fato: 10 + 6raiz quadrada de{3} 8 = r aíz cúbica de{ 10 + 6raiz quadrada
de{3}}2
Com isso: 2a^3-4a=2a(a^2-2)0 de onde segue-se que
a^4+2a^3-4a+4 2a^3-4a0. Logo, a única possibilidade é a^2-2a-2=0. Como a0,
segue-se que
a=1+raiz{3}.
Arlane Manoel S Silva
- Mensagem original -
De: Mauricio barbosa oliho...@gmail.com
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Sexta-feira, 19 de Outubro de 2012 10:54:34
Assunto: [obm-l] raíz cúbica
Alquém pode me ajudar sobre como simplificar a expressão raíz cúbica
de
{10 + 6raiz quadrada de{3}}?
A resposta dá 1 + raiz quadrada de 3, mas não sei como chegar a esse
resultado.
Obrigado
[obm-l] Re: [obm-l] ajuda em exercício olímpico
Determine uma expressão para S_i, a sequência das somas dos x_n de n=0 a n=i (ie, S_i = x_0 + x_1 + x_2 +... + x_i), em seguida escreva S_2009, aí sai direto. On Oct 19, 2012 9:53 AM, bruno rodrigues bruninhu_1...@hotmail.com wrote: Dados a e b inteiros, defina a sequência x n para n = 0; 1; ... tal que x0 = a, x1 = b e xn+2 = xn+1 - xn. Que relação a e b devem satisfazer para que a2009 = 2009². Alguém pode me ajudar na linha de raciocínio desse exercício? , não sei como resolvê-lo. Muito grato, Bruno
[obm-l] Re: [obm-l] ajuda em exercício olímpico
Oi, Bruno. Tem uma teoria toda pronta para estas equações a diferenças finitas... Mas neste caso particular, não precisa ir tão longe. Eu sugiro a seguinte linha: **Tente escrever os primeiros poucos termos da sequencia para tentar enxergar algum padrão** (Mais exatamente, escreva pelo menos até x7 em função de a e b e veja o que acontece!) Abraço, Ralph 2012/10/19 bruno rodrigues bruninhu_1...@hotmail.com Dados a e b inteiros, defina a sequência x n para n = 0; 1; ... tal que x0 = a, x1 = b e xn+2 = xn+1 - xn. Que relação a e b devem satisfazer para que a2009 = 2009². Alguém pode me ajudar na linha de raciocínio desse exercício? , não sei como resolvê-lo. Muito grato, Bruno
[obm-l] Re: [obm-l] FerroVelho Matemático - Reativando
Boa idéia! Já favoritei. 2012/10/19 terence thirteen peterdirich...@gmail.com Olá pessoas! Estou reativando meu antigo site no Google, FerroVelho Matemático. Minha ideia é postar alguns problemas que andei resolvendo em tempos de olimpíada. Acaso gostem e queiram sugerir algo, fica a dica! https://sites.google.com/site/ferrovelhomatematico/ -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] FerroVelho Matemático - Reativando
Legal, e obrigado! Já deixei um PDF com os problemas da última Eureka! Minha ideia será juntar soluções novas dos problemas antigos também. Em 19 de outubro de 2012 14:37, Luís Junior jrcarped...@gmail.com escreveu: Boa idéia! Já favoritei. 2012/10/19 terence thirteen peterdirich...@gmail.com Olá pessoas! Estou reativando meu antigo site no Google, FerroVelho Matemático. Minha ideia é postar alguns problemas que andei resolvendo em tempos de olimpíada. Acaso gostem e queiram sugerir algo, fica a dica! https://sites.google.com/site/ferrovelhomatematico/ -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- /**/神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema sobre existência de subconjunto divisível
Alguem conseguiu algo nesse problema? Parece uma boa conjectura, cheguei a simular so pra ver o comportamento, a quantidade de subconjuntos em um caso aleatorio eh beem grande e cresce rapido com n. Em 15 de outubro de 2012 21:53, Gabriel Dalalio gabrieldala...@gmail.comescreveu: Eu pensei em casa dos pombos mas não consegui muita coisa, arranjar um subconjunto qualquer que a soma seja divisível por n é facil, o problema é ter exatamente n elementos. Em 15 de outubro de 2012 20:24, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu: Em 15 de outubro de 2012 18:49, Gabriel Dalalio gabrieldala...@gmail.com escreveu: Eae galera, beleza? Eu estou pensando na seguinte situação: É dado um conjunto de inteiros de 2n elementos. Sempre existe um subconjunto de n elementos tal que sua soma é divisível por n? Talvez um casa-dos-pombos? E será que sempre existem pelo menos dois subconjuntos diferentes com essa propriedade? Eu só consegui achar exemplos com no mínimo dois subconjuntos possíveis, por exemplo, um conjunto formado por n elementos 0 e n elementos 1. Alguém sabe responder essas perguntas? Obrigado, Gabriel Dalalio -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema sobre existência de subconjunto divisível
*subconjuntos com a dada propriedade Em 19 de outubro de 2012 16:48, Pedro Nascimento pedromn...@gmail.comescreveu: Alguem conseguiu algo nesse problema? Parece uma boa conjectura, cheguei a simular so pra ver o comportamento, a quantidade de subconjuntos em um caso aleatorio eh beem grande e cresce rapido com n. Em 15 de outubro de 2012 21:53, Gabriel Dalalio gabrieldala...@gmail.comescreveu: Eu pensei em casa dos pombos mas não consegui muita coisa, arranjar um subconjunto qualquer que a soma seja divisível por n é facil, o problema é ter exatamente n elementos. Em 15 de outubro de 2012 20:24, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu: Em 15 de outubro de 2012 18:49, Gabriel Dalalio gabrieldala...@gmail.com escreveu: Eae galera, beleza? Eu estou pensando na seguinte situação: É dado um conjunto de inteiros de 2n elementos. Sempre existe um subconjunto de n elementos tal que sua soma é divisível por n? Talvez um casa-dos-pombos? E será que sempre existem pelo menos dois subconjuntos diferentes com essa propriedade? Eu só consegui achar exemplos com no mínimo dois subconjuntos possíveis, por exemplo, um conjunto formado por n elementos 0 e n elementos 1. Alguém sabe responder essas perguntas? Obrigado, Gabriel Dalalio -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Sequência (1, 2, ..., n, ...) é divergente
Caros colegas, Usando-se tão somente a definição de limite de uma sequência de números reais (quer dizer, sem usar propriedades dos limites), como podemos provar que a sequência (1, 2, ..., n, ...) não é convergente? Refiro-me à definição formal, do tipo: n n_o = |f(n) - L| épsilon Desde já, muitíssimo obrigado pela atenção. Pedro Chaves __ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequência (1, 2, ..., n, ...) é divergente
Seja L um número real e seja eps 0. Existe um inteiro positivo m L + eps. Da definição da sequência x_n, para n m temos x_n = n m L + eps. Como isto vale para todo eps 0, não podemos atender à definição de lim x_n = L. Logo, x_n não converge para nenhum real, sendo portanto divergente. Isto ocorre porque x_n é ilimitada. Artur Artur Costa Steiner Em 19/10/2012, às 20:43, Pedro Chaves brped...@hotmail.com escreveu: Caros colegas, Usando-se tão somente a definição de limite de uma sequência de números reais (quer dizer, sem usar propriedades dos limites), como podemos provar que a sequência (1, 2, ..., n, ...) não é convergente? Refiro-me à definição formal, do tipo: n n_o = |f(n) - L| épsilon Desde já, muitíssimo obrigado pela atenção. Pedro Chaves __ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Sequência (1, 2, ..., n, ...) é divergente
Em 19 de outubro de 2012 20:43, Pedro Chaves brped...@hotmail.com escreveu: Caros colegas, Usando-se tão somente a definição de limite de uma sequência de números reais (quer dizer, sem usar propriedades dos limites), como podemos provar que a sequência (1, 2, ..., n, ...) não é convergente? Refiro-me à definição formal, do tipo: n n_o = |f(n) - L| épsilon Se a sequência a(n) tende para o limite L real, então para todo e0, existe N(e) tal que se nN(e) então |a(n)-L| e (ou equivalente L-e a(n) L+e) Como nossa sequência é a(n)=n, temos L-e n L+e. Em particular, olha a sequência de falas: para todo e0, existe N(e) tal que se nN(e) então n L+e É claro que posso fazer n tão grande quant eu queira. Em especial tomando n L+e, vemos que esta sequência de falas é falsa. Esta contradição veio de pensar que L existisse, Assim, L não existe como número real. Desde já, muitíssimo obrigado pela atenção. Pedro Chaves __ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema sobre existência de subconjunto divisível
Em 19 de outubro de 2012 21:44, Gabriel Dalalio gabrieldala...@gmail.com escreveu: Parece que realmente sempre existe, mas ainda estou em busca de uma prova ou alguém que saiba provar... E também quero obter um algoritmo para achar uma dessas subsequencias... Em 19 de outubro de 2012 16:50, Pedro Nascimento pedromn...@gmail.com escreveu: *subconjuntos com a dada propriedade Em 19 de outubro de 2012 16:48, Pedro Nascimento pedromn...@gmail.com escreveu: Alguem conseguiu algo nesse problema? Parece uma boa conjectura, cheguei a simular so pra ver o comportamento, a quantidade de subconjuntos em um caso aleatorio eh beem grande e cresce rapido com n. Em 15 de outubro de 2012 21:53, Gabriel Dalalio gabrieldala...@gmail.com escreveu: Eu pensei em casa dos pombos mas não consegui muita coisa, arranjar um subconjunto qualquer que a soma seja divisível por n é facil, o problema é ter exatamente n elementos. Em 15 de outubro de 2012 20:24, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu: Em 15 de outubro de 2012 18:49, Gabriel Dalalio gabrieldala...@gmail.com escreveu: Eae galera, beleza? Eu estou pensando na seguinte situação: É dado um conjunto de inteiros de 2n elementos. Sempre existe um subconjunto de n elementos tal que sua soma é divisível por n? Talvez um casa-dos-pombos? Pensei em algo neste estilo: para cada n-conjunto do conjunto de 2n elementos, pareie com seu complementar. A ideia seria provar que a soma 0 módulo n tem que surgir obrigatoriamente em algum momento. Vou pensar um tanto mais nisso aí... E será que sempre existem pelo menos dois subconjuntos diferentes com essa propriedade? Eu só consegui achar exemplos com no mínimo dois subconjuntos possíveis, por exemplo, um conjunto formado por n elementos 0 e n elementos 1. Alguém sabe responder essas perguntas? Obrigado, Gabriel Dalalio -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
